高考数学高考必备知识点汇 15页

高中数学知识点回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为 ； ②空集是任何集合的子集，记为 ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有 2n 个. n 个元素的真子集有 2n －1 个. n 个元素的非空真子集有 2n－2 个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题 逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或 q(记作“p∨q” )；p 且 q(记作“p∧q” )；非 p(记作“┑q” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若 P 则 q； 逆命题：若 q 则 p； 否命题：若┑P 则┑q；逆否命题：若┑q 则┑p。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知 p q 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。 若 p q 且 q p,则称 p 是 q 的充要条件，记为 p⇔q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） AA ⊆ A⊆φ ⇔ ⇔ { | , } { | } { , } A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔ ∈ ∈ ⇔ ∈ ∈ ⇔ ∈ ∉   U 交： 且 并： 或 补： 且C ⇒ ⇒ ⇒ ①定义：偶函数： ，奇函数： ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 ；d.比较 或 的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当 x1f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 二、指数函数与对数函数 指数函数 的图象和性质 a>1 00 时，y>1;x<0 时，00 时，01. 性 质 （5）在 R 上是增函数 （5）在 R 上是减函数 对数函数 y=logax（a>0 且 a 1）的图象和性质: )()( xfxf =− )()( xfxf −=− )10( ≠>= aaay x 且 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y=1 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y=1 )( xf − )()( xfxf 与− )()( xfxf −− 与 ≠ ⑴对数、指数运算： ⑵ （ ）与 （ ）互为反函数. 第三章 数列 1. ⑴等差、等比数列： xay = 1,0 ≠aa  xy alog= 1,0 ≠aa  图 象 （1）定义域：（0，+∞） （2）值域：R （3）过点（1，0），即当 x=1 时，y=0 （4） 时 时 y>0 时 时 性 质 （5）在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数 等差数列 等比数列 定义 递 推 公 ； ； log ( ) log log log log log log log a a a a a a n a a M N M N M M NN M n M ⋅ = + = − = ( ) ( ) r s r s r s r s r r r a a a a a a b a b += = = y=logax O y x a>1 a<1x=1 )1,0(∈x 0y ),1( +∞∈x 00 时, 同向; <0 时, 异向; =0 时 , . 向 量 的 数 量 积 是一个数 1. 时， (8)两个向量平行的充要条件 ∥ (  ) (9)两个向量垂直的充要条件 ⊥ · =0 x1·x2+y1·y2=0 AB BA= −  ABOAOB =− aλ | | | || |a aλ λ=  λ a aλ 与 λ a aλ 与 λ 0aλ =  ( , )a x yλ λ λ= ( ) ( )a aλ µ λµ=  ( )a a aλ µ λ µ+ = +   ( )a b a bλ λ λ+ = +    //a b a bλ⇔ =    a b•  0 0a b= =   或 0a b• =  0 0 | || | cos( , ) a b a b a b a b ≠ ≠ =          且 时， 1 2 1 2a b x x y y• = +  a b b a• = •    ( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ• = • = •      ( )a b c a c b c+ • = • + •       2 2 2 2| | | |=a a a x y= +  即 | | | || |a b a b• ≤    ( )cos 0, 0,0 180a b a b a bθ θ⋅ = ≠ ≠ ≤ ≤       a b b 0 01221 =− =⇔ yxyx ba 或 λ a b ⇔ a b ⇔ (10)两向量的夹角公式：cosθ= = 0≤θ≤180°, 附：三角形的四个“心”； 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点 (11)△ABC 的判定： △ABC 为直角△ ∠A + ∠B = ＜ △ABC 为钝角△ ∠A + ∠B＜ ＞ △ABC 为锐角△ ∠A + ∠B＞ (11)平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和. 第六章-不等式 1.几个重要不等式 （1） 当且仅当 ，(a－b)2≥0(a、b∈R) （2） （3） ，则 ； （4） ； ⑸若 a、b∈R+，，则 ； 2、解不等式 （1）一元一次不等式 ① ② （2）一元二次不等式 第七章-直线和圆的方程直线和圆的方程 一、解析几何中的基本公式 1.两点间距离：若 ，则 2.平行线间距离：若 ⇔+= 222 bac ⇔ 2 π 2c ⇔+ 22 ba ⇔ 2 π 2c ⇔+ 22 ba ⇔ 2 π ||·|| · ba ba 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx +•+ + 0,0, 2 ≥≥∈ aaRa ”取“ == ,0a abbaRba 2,, 22 ≥+∈ 则 +∈ Rba, abba 2≥+ 2 22 )2(2 baba +≥+ ),()2( 222 Rbababa ∈+≥+ ),(22 2 22 +∈+≤+≤≤+ Rbababaabba ab )0( ≠> abax       >> a bxxa ,0       << a bxxa ,0 )0(,02 >>++ acbxax )y,x(B),y,x(A 2211 2 12 2 12 )()( yyxxAB −+−= 0CByAx:l,0CByAx:l 2211 =++=++ 则： 注意：x，y 对应项系数应相等。 3.点到直线的距离： 则 P 到 l 的距离为： 4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式： 消 y： ，务必注意 若 l 与曲线交于 A 则： 5.若 A ，P（x，y）,P 为 AB 中点，则 6.直线的倾斜角（0°≤ ＜180°）、斜率: 7.过两点 . 8.直线 l1 与直线 l2 的的平行与垂直 （1）若 l1，l2 均存在斜率且不重合：①l1//l2 k1=k2 ②l1 l2 k1k2=－1 （2）若 若 A1、A2、B1、B2 都不为零 l1//l2 ； l1 l2 A1A2+B1B2=0； 9.直线方程的五种形式 名称 方程 斜截式： y=kx+b 点斜式： 两点式： （x1≠x2 ） 截距式： 一般式： （其中 A、B 不同时为零） 10.圆的方程 （1）标准方程： ， 。 （2）一般方程： ，（ 半径 特例：圆心在坐标原点，半径为 的圆的方程是： . 注：圆的参数方程： （ 为参数）. 特别地，以(0，0)为圆心，以 r 为半径的圆的参数方程为 α αtan=k 12 12 222111 ),(),,( xx yykyxPyxP − −=的直线的斜率公式： 1 2( )x x≠ r 222 ryx =+    += += θ θ sin cos rby rax θ 22 21 BA CCd + −= 0CByAx:l),y,x(P =++  22 BA CByAxd + ++=     = += 0)y,x(F bkxy 02 =++ cbxax .0>∆ ),(),,( 2211 yxByx 2 12 2 ))(1( xxkAB −+= ( ) ( )22 1 2 1 21 4k x x x x = + + −  ),(),,( 2211 yxByx      += += 2 2 21 21 yyy xxx ⇔ ⊥ ⇔ 0:,0: 22221111 =++=++ CyBxAlCyBxAl ⇔ 2 1 2 1 2 1 C C B B A A ≠= ⊥ ⇔ )(  xxkyy −=− 12 1 12 1 xx xx yy yy − −=− − 1=+ b y a x 0=++ CByAx 222 )()( rbyax =−+− 半径圆心， −−−− rba ),( 022 =++++ FEyDxyx )0422 >−+ FED ,)2,2( 圆心−−−− ED 2 422 FEDr −+= （3）点和圆的位置关系：给定点 及圆 . ① 在圆 内 ② 在圆 上 ③ 在圆 外 （4）直线和圆的位置关系： 设圆圆 ： ； 直线 ： ； 圆心 到直线 的距离 . ① 时， 与 相切； ② 时， 与 相交； ③ 时， 与 相离. 第八章-圆锥曲线方程 一、椭圆 1.定义Ⅰ：若 F1，F2 是两定点，P 为动点，且 （ 为常数）则 P 点的 轨迹是椭圆。 2.标准方程： 长轴长= ，短轴长=2b 焦距：2c 准线方程： ， 离心率： 焦点： 或 . 二、双曲线 1、定义：若 F1，F2 是两定点， （ 为常数），则动点 P 的轨迹是双曲线。 2.性质 （1）方程： 实轴长= ，虚轴长=2b 焦距：2c 准线方程： ),( 00 yxM 222 )()(: rbyaxC =−+− M C 22 0 2 0 )()( rbyax −+−⇔ M C 22 0 2 0 )() rbyax =−+−⇔（ M C 22 0 2 0 )()( rbyax −+−⇔ C )0()()( 222 rrbyax =−+− l )0(0 22 ≠+=++ BACByAx ),( baC l 22 BA CBbAa d + ++ = rd = l C rd  l C rd  l C )0(12 2 2 2  ba b x a y =+ )10(  ea ce = )0,)(0,( cc− ),0)(,0( cc−    = =⇔=+ 为参数）θθ θ (sin cos222 ry rxryx 2121 2 FFaPFPF >=+ a 12 2 2 2 =+ b y a x )0( >> ba a2 c ax 2 ±= 2121 2 FFaPFPF <=− a 12 2 2 2 =− b y a x )0,0( >> ba 12 2 2 2 =− b x a y )0,0( >> ba a2 c ax 2 ±= 离心率 . 准线距 （两准线的距离）；通径 . 参数关系 . （2）若双曲线方程为 渐近线方程： ⑶等轴双曲线：双曲线 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 ，离心率 . 三、抛物线 1.定义：到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即：到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e（e=1）。 2.图形： 3.性质：方程： （焦点到准线的距离）； 焦点： ，通径 ； 准线： ；离心率 第九章-立体几何 一、判定两线平行的方法 1、 平行于同一直线的两条直线互相平行 2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线 平行 4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 二．判定线面平行的方法 a) 据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 b) 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 c) 两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 d) 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 e) 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平 行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 a ce = c a 22 a b 22 a cebac =+= ,222 222 ayx ±=− xy ±= 2=e 1=e 12 2 2 2 =− b y a x ⇒ xa by ±= 焦参数−−>= pppxy ),0(,22 )0,2( p pAB 2= 2 px −= 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、 定义：成 角 2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、 定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、 二面角的平面角为 2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是： 2、直线与平面所成的角的取值范围是： 3、斜线与平面所成的角的取值范围是： 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是： 十、面积和体积 1. 2、 3、球的表面积公式： .球的体积公式： . 4、圆柱体积： （ 为半径， 为高） 圆锥体积： （ 为半径， 为高） 锥体体积： （ 为底面积， 为高） 5、面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方 第十章-概率与统计 24 RS π= r h r h S h °90 °90 °≤<° 900 θ ( ]°° 90,0 °≤≤° 900 θ [ ]°° 90,0 °≤<° 900 θ ( ]°° 90,0 °≤<° 1800 θ ( ]°°180,0 chs =直棱柱侧 ( )为直截面周长斜棱柱侧 `` clcs = rhcls π2==圆柱侧 rlcls π== 2 1 圆锥侧 3 3 4 RV π=球 shhrV =⋅= 2π圆柱 shhrV 3 1 3 1 2 =⋅= π圆锥 shV 3 1=棱锥 1.必然事件 P(A)=1，不可能事件 P(A)=0，随机事件的定义 0′ xf 0)( <′ xf biaz −= baz 22 += 1、极坐标与直角坐标互换 2、圆的参数方程 3、椭圆参数方程 2 2 2 cos , sin , t n ( 0). x y yx y a xx ρ θ ρ θ ρ θ = = = + = ≠ cos sin x a r y b r θ θ = +  = + cos sin x a y b ϕ ϕ =  =