高考椭圆题型总结 9页

椭圆题型总结 ‎ 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c 1. 命题甲:动点到两点的距离之和命题乙: 的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知、是两个定点，且,若动点满足则动点的轨迹是（ ）‎ A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知、是椭圆的两个焦点, 是椭圆上的一个动点,如果延长到,使得,那么动点的轨迹是( )‎ A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 已知、是平面内的定点，并且，是内的动点，且,判断动点的轨迹.‎ 5. 椭圆上一点到焦点的距离为2，为的中点，是椭圆的中心，则的值是 。‎ (二) 标准方程求参数范围 ‎ 1. 若方程表示椭圆，求k的范围.（3，4）U（4，5）‎ 2. ‎( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1. 已知方程表示焦点在Y轴上的椭圆,则实数m的范围是 . ‎ 2. 已知方程表示焦点在Y轴上的椭圆,则实数k的范围是 . ‎ 3. 方程所表示的曲线是 .‎ 4. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围。‎ 5. 已知椭圆的一个焦点为，求的值。‎ 6. 已知方程表示焦点在X轴上的椭圆,则实数k的范围是 .‎ (一) 待定系数法求椭圆的标准方程 ‎ 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：‎ ‎（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点到两焦点的距离之和为26；‎ ‎（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；‎ ‎（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,求椭圆方程.‎ 2. 以和为焦点的椭圆经过点点，则该椭圆的方程为 。‎ 3. 如果椭圆：上两点间的最大距离为8，则的值为 。‎ 4. 已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆的两个焦点一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（2，－3），求椭圆C的方程。‎ 5. 已知P点在坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离为和，过点P作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。‎ 6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1） 长轴长是短轴长的2倍，且过点；‎ （2） 在轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.‎ (一) 与椭圆相关的轨迹方程 1. 已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程.‎ 2. 一动圆与定圆内切且过定点，求动圆圆心的轨迹方程.‎ 3. 已知圆,圆，动圆与外切，与内切，求动圆圆心的轨迹方程.‎ 4. 已知，是圆（为圆心）上一动点,线段的垂直平分线交于,则动点的轨迹方程为 ‎ 5. 已知三边、、的长成等差数列，且点、的坐标、，求点的轨迹方程.‎ 6. 一条线段的长为，两端点分别在轴、轴上滑动 ，点在线段上，且,求点的轨迹方程.‎ 7. 已知椭圆的焦点坐标是，直线被椭圆截得线段中点的横坐标为，求椭圆方程.‎ 8. 若的两个顶点坐标分别是和，另两边、的斜率的乘积是，顶点的轨迹方程为 。‎ 9. 是椭圆上的任意一点，、是它的两个焦点，为坐标原点，，求动点的轨迹方程。‎ 10. ‎ 已知圆，从这个圆上任意一点向轴引垂线段，垂足为，点 在上，并且，求点的轨迹。‎ 11. 已知圆，从这个圆上任意一点向轴引垂线段，则线段的中点的轨迹方程是 ‎ 。‎ 1. 已知，，的周长为6，则的顶点C的轨迹方程是 ‎ 。‎ 2. 已知椭圆，A、B分别是长轴的左右两个端点，P为椭圆上一个动点，求AP中点的轨迹方程。‎ 3. ‎ ‎ (一) 焦点三角形4a 1. 已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点。若，则 。‎ 2. 已知、为椭圆的两个焦点，过且斜率不为0的直线交椭圆于、两点，则的周长是 。‎ 3. 已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长为 。‎ (二) 焦点三角形的面积： ‎ 1. 设是椭圆上的一点，、为焦点，，求的面积。‎ 2. 已知点是椭圆上的一点，、为焦点，，求点到轴的距离。‎ 1. 已知点是椭圆上的一点，、为焦点，若，则的面积为 。‎ 2. 椭圆的两个焦点为、，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为，则 。‎ 3. 已知AB为经过椭圆的中心的弦，为椭圆的右焦点，则的面积的最大值为 。‎ (一) 焦点三角形 1. 设椭圆的两焦点分别为和，为椭圆上一点，求的最大值，并求此时点的坐标。‎ 2. 椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则 ； 。‎ 3. 椭圆的焦点为、，为其上一动点，当为钝角时，点的横坐标的取值范围为 。‎ 4. P为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点。（1）若的中点是，求证：；（2）若，求的值。‎ (二) 中心不在原点的椭圆 1. 椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点F的准线方程为 ‎，则这个椭圆的方程是 。‎ 一、 椭圆的简单几何性质 （一） 已知、、、、求椭圆方程 1． 求下列椭圆的标准方程 ‎（1）； （2），一条准线方程为。‎ 2． 椭圆过（3，0）点，离心率为，求椭圆的标准方程。‎ 3． 椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为？‎ 4． 椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为，两准线间的距离为4，则此椭圆的方程为？‎ 5． 根据下列条件，写出椭圆的标准方程：‎ （1） 椭圆的焦点为、，其中一条准线方程是；‎ （2） 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，并且椭圆和直线恰有一个公共点；‎ （3） 椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是。‎ 6． 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，右准线方程为。求椭圆的方程。答案：‎ 7． 根据下列条件求椭圆的方程：‎ （1） 两准线间的距离为，焦距为；答案：或 （1） 和椭圆共准线，且离心率为；‎ （2） 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点煌距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。‎ （一） 根据椭圆方程研究其性质 1． 已知椭圆的离心率为，求的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。‎ 2． 已知椭圆的长轴长是6，焦距是，那么中心在原点，长轴所在直线与轴重合的椭圆的准线方程是 。‎ 3． 椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，离心率为 ，准线方程为 。‎ （二） 求离心率 1． 过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）‎ 2． 在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率＝ 。‎ 3． 若椭圆的两个焦点把长轴分成三等份，则椭圆的离心率为？‎ 4． 椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足为等边三角形的椭圆的离心率是？‎ 1． 设椭圆的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 。答案： ‎ 2． 已知点，为椭圆的左准线与轴的交点，若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为 。答案：‎ （一） 第二定义 1． 设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为 2 。‎ （二） 参数方程 （三） 椭圆系 1． 椭圆与的关系为（ ） A．相同的焦点 B。有相同的准线 C。有相等的长、短轴 D。有相等的焦距 一、 直线和椭圆的位置关系 ‎ (一)判断位置关系 1． 当为何值时,直线和椭圆 (1)相交；(2)相切；(3)相离。‎ 1． 若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围为 。‎ ‎ (二)弦长问题 1. 已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点,交椭圆于A、B两点,求AB的弦长 2. ‎.‎ 2． 设椭圆的左右两个焦点分别为、，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为。‎ （1） 求椭圆的方程；‎ （2） 设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），直线交椭圆C于另一点N，求的面积。‎ ‎(三)点差法 1. 已知一直线与椭圆 相交于、两点,弦的中点坐标为，求直线AB的方程. ‎ 2. 椭圆C以坐标轴为对称轴，并与直线l:x+2y=7相交于P、Q两点，点R的坐标为（2，5），若为等腰三角形，，求椭圆C的方程。‎ ‎(四)向量结合 ‎(五)对称问题 1. 已知椭圆，试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称。‎