广东高考文科数学试题与参考答案 9页

‎ ‎ 绝密★启用前 试卷类型：A ‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（文）‎ 本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。‎ 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场 号、座位号填写在答题卡上。 用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相 应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上； 如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答 案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。‎ 漏涂、错涂、多涂的，答案无效。‎ ‎5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式：锥体体积公式，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高． ‎ 一组数据的方差，‎ 其中表示这组数据的平均数．‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则=‎ A．　　　 B． C． D．‎ ‎2．已知复数满足，则 ‎ A．　　　 B． C． D．‎ ‎3．已知向量a，b，则 ba A．　　　 B． C． D．‎ ‎4．若变量满足约束条件，则的最大值等于 A．7　　　 B．8 C．10 D．‎ 数学（文科） 试卷A 第 9 页 共 9 页 ‎ ‎ ‎5．下列函数为奇函数的是 A．　　　 B． C． D．‎ ‎6．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段 的间隔为 A．50　　　 B．40 C．25 D．20‎ ‎7．在中，角A,B,C所对应的边分别为则“”是 “”的 A．充分必要条件 B．充分非必要条件 ‎ C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 ‎8．若实数满足，则曲线与曲线的 A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等 ‎ C．离心率相等 D．焦距相等 ‎ ‎9．若空间中四条两两不同的直线，满足，∥，，则下列结论一定正 确的是 A． B． ‎ C．与既不垂直也不平行 D．与的位置关系不确定 ‎10．对任意复数，定义其中是的共轭复数，对任意复数，‎ 有如下四个命题：‎ ‎① ； ② ；‎ ‎③ ； ④ ‎ 则真命题的个数是 A．1　　　 B．2 C．3 D．4‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎（一）必做题（11~ 13题）‎ ‎11．曲线在点处的切线方程为________． ‎ ‎12．从字母中任取两个不同字母，则取字母的概率为________．‎ ‎13．等比数列的各项均为正数，且，则 ‎=________．‎ ‎ ‎ 数学（文科） 试卷A 第 9 页 共 9 页 ‎ ‎ （二） 选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与的方程分别为 与．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标 系，则曲线与的直角坐标为________．‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形 中,点在上且,与交于点,‎ 图1 ‎ 则________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 某车间20名工人年龄数据如下表：‎ ‎（1）求这20名工人年龄的众数与极差；‎ ‎（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；‎ ‎（3）求这20名工人年龄的方差． ‎ 数学（文科） 试卷A 第 9 页 共 9 页 ‎ ‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 如图2, 四边形为矩形,⊥平面,,, 作如图3折叠, 折 痕∥．其中点分别在线段上，沿折叠后点在线段上的点记为 M, 并且．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ 图3 ‎ 图2 ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 设各项均为正数的数列的前项和为，且满足 ‎.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数，有 ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的一个焦点为，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的 轨迹方程．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，试讨论是否存在，使得．‎ 数学（文科） 试卷A 第 9 页 共 9 页 ‎ ‎ ‎2014年广东高考文科数学（A）卷参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 选项 B ‎ D B C A ‎ C ‎ A ‎ D D B 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎（一）必做题（11 ~ 13题）‎ ‎11、 或 12、 13、5 ‎ ‎（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14、 15、3‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16、（本题满分12分）‎ 解：（1）， 即， 易得：；‎ ‎（2）， ‎ ‎ 由可得：‎ 即，‎ ‎ 从而有，‎ ‎ 即，，化简得：，‎ ‎ ∵ ，∴ ‎ ‎ 于是，．‎ 数学（文科） 试卷A 第 9 页 共 9 页 ‎ ‎ ‎17、（本题满分12分）‎ 解：（1）易得：众数为30，极差为；‎ ‎（2）茎叶图为： ‎ ‎（3）工人平均年龄 =岁；‎ ‎ 方差 =‎ ‎= ‎ ‎ ‎ ‎18、解：（1）如右图所示，‎ ‎∵ ⊥平面，平面 ‎∴‎ 又∵ 矩形中，，‎ ‎∴平面 ‎∵ 平面，‎ ‎∴ ，即 又∵ ，‎ ‎∴ 平面．‎ ‎（2）易知⊥，‎ 而，∴ ，‎ 又∵ 平面， ∴ ，‎ 又，则，；‎ 由可知，，‎ ‎∵ ∥，则，‎ 于是，，‎ 数学（文科） 试卷A 第 9 页 共 9 页 ‎ ‎ 由（1）可知：平面，则，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ．‎ ‎19、解：（1）令题中的条件的，可得：‎ ‎ 即，，解得：或，‎ 因为各项均为正数，则．‎ ‎（2）等价于 ‎ ‎ 易得，则，即；‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由于，所以，．‎ ‎（3），，‎ 当时，（从第一项开始放缩则得不到结果）‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数学（文科） 试卷A 第 9 页 共 9 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20、解：（1）易知：，，；‎ ‎ 从而有，‎ ‎ 椭圆的方程为：．‎ ‎（2）设两条切线分别为，‎ ‎①当中有一条与坐标轴平行时，易得点为 ‎②当均与坐标轴不平行时，设的斜率为，则的斜率为，‎ 于是，的方程为：，将其带入椭圆方程中，‎ 化简可得：‎ 由与椭圆相切可得：‎ 即 化简得： ‎ 同理由与椭圆相切可得：‎ 从而可知：和是方程的两个根，‎ 根据韦达定理可得，，即，‎ 化简得：‎ 因为①中的点满足上式，则点P的轨迹方程为．‎ 数学（文科） 试卷A 第 9 页 共 9 页 ‎ ‎ ‎21、解：（1），‎ ‎，‎ ‎①当，即时，恒成立，易知，在上单调递增；‎ ‎②当，即时，令，可得：，；‎ 于是，当时，，‎ 则在区间和上单调递增；‎ 当时，，‎ 则在区间上单调递减．‎ ‎（2）令，其中，‎ 则命题：是否存在使得，等价于 是否在上有不等于的零点．‎ ‎∵，，则；‎ 易知，，在区间上单调递减，在上单调递增．‎ 若在上有不等于的零点，则在上不单调，‎ 从而，则，此时，且．‎ 于是， ‎ 从而可知，此时在上有不等于的零点的充要条件为：‎ ‎，且；‎ 解得：；‎ 综上可得，存在使得的充要条件为 且．‎ 数学（文科） 试卷A 第 9 页 共 9 页