高考一轮复习抛物线 9页

抛物线 ‎1.抛物线的定义 ‎(1)平面内与________________________________________轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的_______，定直线l叫做抛物线的_________.‎ ‎(2)其数学表达式：‎ ‎2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 y2＝2px(p>0)‎ y2＝‎ ‎－2px(p>0)‎ x2＝2py(p>0)‎ x2＝‎ ‎－2py(p>0)‎ 性质 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线 方程 范围 开口 方向 ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于_________，通径是过焦点最短的______.‎ ‎2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝________，也称为抛物线的焦半径 ‎3.直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．‎ ‎(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.‎ ‎(2)|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.‎ ‎(3)＋为定值.‎ ‎(4)弦长AB＝(α为AB的倾斜角)．‎ ‎(5)以AB为直径的圆与准线相切．‎ ‎(6)焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.‎ 一．‎ ‎1.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点D到y轴的距离为(　　)‎ A. B.1 C. D. ‎2.若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时点P的坐标为________.‎ ‎3.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.‎ ‎4.(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.‎ ‎5.(2016·邢台模拟)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝‎ ‎1上，则|MA|＋|MF|的最小值是______‎ ‎6.已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d＋|PC|的最小值为(　　)‎ A．　 　B．7　　 C．6　　 D．9‎ ‎7.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为(　　)‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎8.(2016·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值为M的坐标为(　　)‎ A．(0,0) B．(，1) C．(1，) D．(2,2)‎ 二．‎ ‎9.(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎10.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________.‎ ‎11.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|＝3，则△AOB的面积为________.‎ ‎12.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)‎ ‎，则C的方程为(　　)‎ A．y2＝4x或y2＝8x　B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x ‎13.(2016·石家庄调研)若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为(　　)‎ A．y2＝4x　　　　　　B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x ‎14.(2016·全国卷Ⅱ，5分)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)‎ A． B．1 C． D．2‎ 课后练习（1）‎ 一、选择题 ‎1.(2018·济南月考)若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0，1)，则a等于(　　)‎ A.1 B. C.2 D. ‎2.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)‎ A. B.1 C. D.2‎ ‎3.(2018·张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(　　)‎ A.9 B.8 C.7 D.6‎ ‎4.(2018·铁岭质检)设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为(　　)‎ A. B. C.或 D.或 ‎5.(2018·衡水调研)已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值为(　　)‎ A.12 B.24 C.16 D.32‎ ‎6.已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)‎ A.x2＝y B.x2＝y C.x2＝8y D.x2＝16y ‎7.(2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)‎ A.16 B.14 C.12 D.10‎ ‎8.(2018·南昌模拟)已知抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于点M(M在第一象限)，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　　)‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎9.(2018·广东省际名校联考)圆(x＋1)2＋y2＝1的圆心是抛物线y2＝px(p<0)的焦点，则p＝________.‎ ‎10.(2018·黄山模拟)已知抛物线C：y2＝8x，焦点为F，点P(0，4)，点A在抛物线上，当点A到抛物线准线l的距离与点A到点P的距离之和最小时，延长AF交抛物线于点B，则△AOB的面积为________.‎ ‎11.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.‎ ‎12.已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.‎ 三．‎ ‎15.(2016·临沂模拟)如图，已知直线与抛物线y2＝2px(p>0)相交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥‎ AB交AB于D，且点D的坐标为(3，).‎ ‎(1)求p的值；‎ ‎(2)若F为抛物线的焦点，M为抛物线上任一点，求|MD|＋|MF|的最小值 ‎16.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8. (1)求抛物线C的方程； (2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积.‎ 课后练习（2）‎ ‎1.抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为(　　)‎ A. B. C.2 D. ‎2.(2018·太原一模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|＝(　　)‎ A.6 B.8 C.12 D.16‎ ‎3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)‎ A.16 B.14 C.12 D.10‎ ‎4.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．4 ‎5.(2017·江苏省扬州市邗江中学期中数学试题)抛物线y＝3x2的准线方程是 _______‎ ‎6.(2016·浙江)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________‎ ‎7.(2016·唐山模拟)过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则|AB|＝__________‎ ‎8.(2018·赣州调研)在直角坐标系xOy中，有一定点M(－1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________.‎ ‎9.(2018·郑州一模)已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|＝________.‎ ‎10.若抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则实数m的值为________.‎ ‎11.顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截得直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3，求此抛物线方程.‎ ‎12. 已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.‎ ‎(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．‎ ‎13..(2017·全国Ⅰ卷)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.‎ ‎(1)求直线AB的斜率； (2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.‎ ‎14.(2018·大连双基测试)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点F1与抛物线y2＝‎ ‎－4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M(m，0)作斜率存在且不为0的直线l，交椭圆E于A，C两点，点P，且·为定值.‎ ‎(1)求椭圆E的方程； (2)求m的值.‎ ‎(2018·河北百校联考)已知抛物线y2＝4x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A，B两点(A在第一象限内)，＝3 ，过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为＝3，‎ 所以y1＝－3y2，设直线l的方程为x＝my＋1，‎ 由消去x得y2－4my－4＝0，∴y1y2＝－4，‎ ‎∴∴y1＋y2＝4m＝，‎ ‎∴m＝，∴x1＋x2＝，AB的中点坐标为，过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y－＝－，令y＝0，可得x＝，所以S△ABG＝××＝.‎ 答案　C