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- 2021-05-13 发布
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绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
本试卷共5页，满分150分。
考生注意：
1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A=，B=，则
A．AB= B．AB
C．AB D．AB=R
【答案】A
【解析】由得，所以，选A．
2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中能够用来评估这种农作物亩产量稳定水准的是
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
【答案】B
【解析】评估这种农作物亩产量稳定水准的指标是标准差或方差，故选B.
3．下列各式的运算结果为纯虚数的是
A．i(1+i)2 B．i2(1−i) C．(1+i)2 D．i(1+i)
【答案】C
【解析】由为纯虚数知选C．
4．如图，正方形ABCD
内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A． B． C． D．
【答案】B
5．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，学/网点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，选D．
6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于B，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于C，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于D，易知AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故排除B，C，D，选A．
7．设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．
8．函数的部分图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，故排除D；当时，，故排除A．故选C．
9．已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．y=的图像关于直线x=1对称 D．y=的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
10．下面程序框图是为了求出满足的最小偶数n，那么在和两个空白框中，能够分别填入
A．A>1000和n=n+1 B．A>1000和n=n+2
C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2
【答案】D
【解析】由题意，因为，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入，故填，又要求为偶数且初始值为0，所以矩形框内填，故选D.
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，a=2，c=，则C=
A． B． C． D．
【答案】B
12．设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存有点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，焦点在轴上，要使C上存有点M满足，则，即，得；当时，焦点在轴上，要使C上存有点M满足，则，即，得，故的取值范围为，选A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．
【答案】7
【解析】由题得，因为，所以，解得．
14．曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．
【答案】
【解析】设，则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
15．已知，tan α=2，则=__________．
【答案】
16．已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
【答案】
【解析】取的中点，连接，
因为，
所以，
因为平面平面，
所以平面，
设，则，
所以，所以球的表面积为.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=−6．
（1）求的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
【解析】（1）设的公比为．由题设可得解得，．
故的通项公式为．
（2）由（1）可得．
因为，
故，，成等差数列．
18．（12分）
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P−ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．
【解析】（1）由已知，得，．
因为，故，从而平面．
又平面，所以平面平面．
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的学科*程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得，，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
（1）求的相关系数，并回答是否能够认为这个天生产的零件尺寸不随生产过程的实行而系统地变大或变小（若，则能够认为零件的尺寸不随生产过程的实行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这个天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程实行检查．
（ⅰ）从这个天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程实行检查？
（ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
附：样本的相关系数，．
【解析】（1）由样本数据得的相关系数为
．
因为，所以能够认为这个天生产的零件尺寸不随生产过程的实行而系统地变大或变小．
（2）（i）因为，由样本数据能够看出抽取的第13个零件的尺寸在以外，所以需对当天的生产过程实行检查．
（ii）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02．
，
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为，
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为．
20．（12分）
设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．
【解析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，x1+x2=4，
于是直线AB的斜率．
21．（12分）
已知函数=ex(ex−a)−a2x．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求a的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为，，
①若，则，在单调递增．
②若，则由得．
当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．
③若，则由得．
当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．
（2）①若，则，所以．
②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时，．
③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时．
综上，的取值范围为．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为
．
（1）若，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求．
【解析】（1）曲线的普通方程为．
当时，直线的普通方程为．
由解得或
从而与的交点坐标为，．
（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
．
当时，的最大值为．由题设得，所以；
当时，的最大值为．由题设得，所以．
综上，或．
23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）
已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．
（2）当时，．
所以的解集包含，等价于当时．
又在的最小值必为与之一，所以且，得．
所以的取值范围为．
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