创新方案浙江专版高考数学一轮复习空间几何体的表面积和体积突破热点题型文 6页

第二节　空间几何体的表面积和体积 考点一 空间几何体的表面积 　‎ ‎[例1]　(1)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(　　)‎ A．28＋6B．30＋6 C．56＋12D．60＋12 ‎(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．‎ ‎[自主解答]　(1)该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P在底面上的投影D在棱AB上，且∠ABC＝90°，‎ 据正、俯视图知，AD＝2，BD＝3，PD＝4，‎ 据侧视图知，BC＝4.‎ 综上所述，可知BC⊥平面PAB，‎ PB＝＝5，‎ PC＝＝＝，‎ AC＝＝，‎ PA＝＝2.‎ ‎∵PC＝AC＝，‎ ‎∴△PAC的边PA上的高为 h＝ ＝6.‎ ‎∴S△PAB＝AB·PD＝10，S△ABC＝AB·BC＝10，‎ S△PBC＝PB·BC＝10，S△APC＝PA·h＝6.‎ 故三棱锥的表面积为 S△PAB＋S△ABC＋S△PBC＋S△APC＝30＋6.‎ ‎(2)该几何体的直观图如图所示：‎ 该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱．‎ ‎∴S表＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.‎ ‎[答案]　(1)B　(2)38‎ ‎【方法规律】‎ 空间几何体的表面积的求法技巧 ‎(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．‎ ‎(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．‎ 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是(　　)‎ A．372 B．‎360 C．292 D．280‎ 解析：选B　由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．‎ ‎∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，‎ 又∵长方体表面积重叠一部分，‎ ‎∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.‎ 高频考点 考点二空间几何体的体积　　‎ ‎1．空间几何体的体积是每年高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度偏小，属容易题．‎ ‎2．高考对空间几何体的体积的考查常有以下几个命题角度：‎ ‎(1)求简单几何体的体积；‎ ‎(2)求组合体的体积；‎ ‎(3)求以三视图为背景的几何体的体积．‎ ‎[例2]　(1)(2013·湖北高考)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有(　　)‎ A．V1＜V2＜V4＜V3 B．V1＜V3＜V2＜V4‎ C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4‎ ‎(2)(2013·浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　)‎ A．‎108 cm3B．‎100 cm3‎ C．‎92 cm3D．‎84 cm3‎ ‎(3)(2012·江苏高考)如图所示，在长方体ABCD A1B‎1C1D1中，AB＝AD＝‎3 cm，AA1＝‎2 cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为________cm3.‎ ‎[自主解答]　(1)由题意可知，由于上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体．根据三视图可知，最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为1，高为1的圆台，其体积V1＝π×(12＋22＋1×2)×1＝π；从上到下的第二个简单几何体是一个底面圆半径为1，高为2的圆柱，其体积V2＝π×12×2＝2π；从上到下的第三个简单几何体是边长为2的正方体，其体积V3＝23＝8；从上到下的第四个简单几何体是一个棱台，其上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，棱台的高为1，故体积V4＝×(22＋2×4＋42)×1＝，比较大小可知答案选C.‎ ‎(2)根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，则几何体的体积V＝6×6×3－××4×4×3＝‎100 cm3.‎ ‎(3)由题意，四边形ABCD为正方形，连接AC，交BD于O，则AC⊥BD.由面面垂直的性质定理，可证AO⊥平面BB1D1D.四棱锥底面BB1D1D的面积为3×2＝6，从而VABB1D1D＝×OA×S长方形BB1D1D＝6.‎ ‎[答案]　(1)C　(2)B　(3)6‎ 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．‎ ‎(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．‎ ‎(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎1．(2013·广东高考)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是(　　)‎ A．4 B. C.D．6‎ 解析：选B　由四棱台的三视图可知，台体上底面积S1＝1×1＝1，下底面积S2＝2×2＝4，高h＝2，代入台体的体积公式V＝(S1＋＋S2)h＝×(1＋＋4)×2＝.‎ ‎2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．200＋9π B．200＋18π C．140＋9π D．140＋18π 解析：选A　这个几何体由上、下两部分组成，下半部分是一个长方体，其中长、宽、高分别为6＋2＋2＝10,1＋2＋1＝4,5；上半部分是一个横放的半圆柱，其中底面半径为＝3，母线长为2，故V＝10×4×5＋π×32×2＝200＋9π.‎ 考点三 与球有关的组合体 　‎ ‎[例3]　(2014·沈阳模拟)已知直三棱柱ABCA1B‎1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)‎ A.B．‎2 C. D．3 ‎[自主解答]　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.‎ 又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，‎ 所以球O的半径R＝OA＝ ＝.‎ ‎[答案]　C ‎【互动探究】‎ 侧棱和底面边长都是3的正四棱锥的外接球半径是多少？‎ 解：依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3×＝6，高为 ＝3，‎ 因此底面中心到各顶点的距离均等于3，‎ 所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.　　　　　 ‎ ‎【方法规律】‎ 与球有关的组合体的类型及解法 ‎(1)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题．‎ ‎(2)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．‎ ‎(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高‎8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为‎6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为(　　)‎ A.cm3B. cm3‎ C. cm3 D. cm3‎ 解析：选A　设球半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为‎4 cm，球心到截面的距离为(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝πR3＝π×53＝ cm3.‎ ‎——————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————‎ 1种思想——转化与化归思想 ‎　计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．‎ 2种方法——割补法与等积法 ‎　(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．‎ ‎(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．‎ 2个注意点——求空间几何体的表面积应注意两点 ‎　(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．‎ ‎(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.‎