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‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（2新课标Ⅱ卷）(3)‎ 数学(理)试题 一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)‎ 1、 已知集合,,则（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ 2、 若为实数，且，则（ ）‎ A、-1 B、0 C、1 D、2‎ ‎3、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下 ‎ 结论中不正确的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A、逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最明显 ‎ B、2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 ‎ C、2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 ‎ D、2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4、 已知等比数列满足，，则（ ）‎ ‎ A、21 B、42 C、63 D、84‎ 5、 设函数 ,,则（ ）‎ ‎ A、3 B、6 C、9 D、12‎ 6、 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图 ‎ 如图所示，则截去部分体积与所剩部分体积的比值为（ ）‎ 8‎ ‎ A、 B、‎ C、 ‎ D、‎ ‎7、过三点，，的圆与轴交于、两点，则（ ）‎ A、 ‎ B、 C、 D、‎ ‎8、右边程序框图的算法思路源于我国古代算术名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的，分别为14,18，则输出的（ ） 1 ‎ ‎0 B、2 C、4 D、14‎ ‎9、已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点。若三菱锥 ‎ 体积的最大值为36，则求的表面积为（ ）‎ A、 ‎ B、 C、 D、‎ ‎10、如图，长方形的边，，是的中点。点沿着，‎ ‎ 与运动，记，将点到，两点的距离之和表示为的函数,‎ 则的图像大致为（ ）‎ ‎ ‎ 8‎ ‎ ‎ ‎ A、 B、‎ ‎11、已知、为双曲线的左右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为 ‎ ，则的离心率为（ ）‎ A、 B、2 C、 D、‎ ‎12、设函数是奇函数的导函数，，当时，‎ ‎ ，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ 二、 填空题：‎ 13、 设向量，不平行，向量与平行，则实数_________。‎ 8‎ 13、 若，满足约束条件，则的最大值为_________。‎ 14、 的展开式中奇数次幂项的系数之和为32，则_______。‎ 15、 设是数列的前项和，且，，则________。‎ 三、 解答题 17、 ‎（本小题12分）‎ ‎ 在中，是上的点，平分，面积是面积的2倍。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求和的长。‎ 8‎ 17、 ‎（本小题12分）‎ ‎ 某公司为了解用户对其产品的满意度，从、两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：‎ ‎ 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76‎ ‎ 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89‎ ‎ 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82‎ ‎ 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79‎ ‎ A地区 ︱ ︱ B地区 ‎ ‎ ｜4｜‎ ‎ ｜5｜‎ ‎ ｜6｜‎ ‎ ｜7｜‎ ‎ ｜8｜‎ ‎ ｜9｜‎ （1） 根据数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；‎ ‎（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 ‎ 记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率。‎ 8‎ 19、 ‎（本小题12分）‎ ‎ 如图，长方体中，，，，点、分别在、上，且。过点、的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。‎ ‎ ‎ ‎ （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；‎ ‎ （2）求直线与平面所成角的正弦值。‎ 20、 ‎（本小题12分）‎ ‎ 已知椭圆：，直线不过原点且不平行于坐标轴，与 ‎ 有两个交点和，线段的中点为。‎ ‎（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；‎ ‎（2）若过点,延长线段与相交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时的斜率，若不能，说明理由。‎ 8‎ 19、 ‎（本小题12分）‎ ‎ 设函数。‎ ‎ （1）证明：在单调递减，在单调递增；‎ ‎ （2）若对于任意，,都有，求的取值范围。‎ 20、 ‎（本小题10分）几何证明选讲 ‎ 如图，为等腰三角形内一点，⊙O与的底边交于、两 点，与底边上的高交于点，且与、分别相切于、两点。‎ （1） 证明：；‎ （2） 若等于⊙O的半径，且，求四边形的面积。‎ ‎ ‎ 8‎ ‎23、（本小题10分）极坐标与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，曲线：,（为参数，）其中，‎ 在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，‎ ‎：。‎ （1） 求与交点的直角坐标；‎ （2） 若与相交于点，与相交于点，求的最大值。‎ 24、 ‎（本小题10分）不等式选讲 ‎ 设、、、均为正数，且,证明：‎ ‎ （1）若，则；‎ ‎ （2）是的充要条件。‎ 8‎