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- 2021-05-13 发布
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2017 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 I 卷)
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ,则()
A. B.
C. D.
2. 如图,正方形 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色
部分位于正方形的中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概
率是()
A. B. C. D.
3. 设有下面四个命题,则正确的是()
:若复数 满足 ,则 ;
:若复数 满足 ,则 ;
:若复数 满足 ,则 ;
:若复数 ,则 .
A. B. C. D.
4. 记 为等差数列 的前 项和,若 ,则 的公差为()
A.1 B.2 C.4 D.8
5. 函数 在 单调递减,且为奇函数.若 ,则满足 的
的取值范围是()
A. B. C. D.
{ } { }1 3 1xA x x B x= < = <,
{ }0= <A B x x A B = R
{ }1= >A B x x A B = ∅
ABCD
1
4
π
8
1
2
π
4
1p z 1
z
∈R z ∈R
2p z 2z ∈R z ∈R
3p 1 2z z, 1 2z z ∈R 1 2z z=
4p z ∈R z ∈R
1 3p p, 1 4p p, 2 3p p, 2 4p p,
nS { }na n 4 5 624 48a a S+ = =, { }na
( )f x ( )−∞ + ∞, ( )1 1f = − ( )1 2 1f x− −≤ ≤ x
[ ]2 2− , [ ]1 1− , [ ]0 4, [ ]1 3,
6. 展开式中 的系数为
A. B. C. D.
7. 某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,
正方形的边长为 ,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形,这些
梯形的面积之和为
A. B. C. D.
8. 右面程序框图是为了求出满足 的最小偶数 ,那么在 和 两个
空白框中,可以分别填入
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
9. 已知曲线 , ,则下面结论正确的是()
A.把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个
单位长度,得到曲线
B.把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线
C.把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线
D.把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线
( )6
2
11 1 xx
+ +
2x
15 20 30 35
2
10 12 14 16
3 2 1000n n− > n
1000A > 1n n= + 1000A > 2n n= +
1000A≤ 1n n= + 1000A≤ 2n n= +
1 : cosC y x= 2
2π: sin 2 3C y x = +
1C 2 π
6
2C
1C 2 π
12
2C
1C 1
2
π
6
2C
1C 2 π
12
2C
10. 已知 为抛物线 : 的交点,过 作两条互相垂直 , ,直线 与 交于 、
两点,直线 与 交于 , 两点, 的最小值为()
A. B. C. D.
11. 设 , , 为正数,且 ,则()
A. B. C.
D.
12. 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,
他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的
答案:已知数列 ,…,其中第一项是 ,
接下来的两项是 , ,在接下来的三项式 , , ,依次类推,求满足如下条件的
最小整数 : 且该数列的前 项和为 的整数幂.那么该款软件的激活码是
( )
A. B. C. D.
二、 填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13. 已知向量 , 的夹角为 , , ,则 ________.
14. 设 , 满足约束条件 ,则 的最小值为_______.
15. 已知双曲线 ,( , )的右顶点为 ,以 为圆心, 为半径作圆 ,
圆 与双曲线 的一条渐近线交于 , 两点,若 ,则 的离心率为
_______.
16. 如图,圆形纸片的圆心为 ,半径为 ,该纸片上的等边三角形 的中心为 ,
、 、 为元 上的点, , , 分别是一 , , 为底边
的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以 , , 为折痕折起 , ,
,使得 , , 重合,得到三棱锥.当 的边长变化时,所得三棱锥体积
(单位: )的最大值为_______.
三、 解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17. 的内角 , , 的对边分别为 , , ,已知 的面积为 .
(1)求 ;
(2)若 , ,求 的周长.
F C 2 4y x= F 1l 2l 1l C A
B 2l C D E AB DE+
16 14 12 10
x y z 2 3 5x y z= =
2 3 5x y z< < 5 2 3z x y< < 3 5 2y z x< <
3 2 5y x z< <
1, 1, 2 , 1, 2 , 4 , 1, 2 , 4 , 8 , 1, 2 , 4 , 8 , 16 02
02 12 62 12 22
N 100N > N 2
440 330 220 110
a b 60° 2a = 1b = 2a b+ =
x y
2 1
2 1
0
x y
x y
x y
+ ≤
+ ≥ −
− ≤
3 2z x y= −
2 2
2 2: x yC a b
− 0a > 0b > A A b A
A C M N 60MAN∠ = ° C
O 5 cm ABC O
D E F O DBC△ ECA△ FAB△ BC CA AB
BC CA AB DBC△ ECA△
FAB△ D E F ABC△
3cm
ABC△ A B C a b c ABC△
2
3sin
a
A
sin sinB C
6cos cos 1B C = 3a = ABC△
18. (12 分)
如图,在四棱锥 中, 中,且 .
(1)证明:平面 平面 ;
(2)若 , ,求二面角 的余弦值.
P ABCD− AB CD∥ 90BAP CDP∠ = ∠ = °
PAB ⊥ PAD
PA PD AB DC= = = 90APD∠ = ° A PB C− −
19. (12 分)
为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程,实验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零
件,并测量其尺寸(单位: ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下
生产的零件的尺寸服从正态分布 .
(1)假设生产状态正常,记 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在
之外的零件数,求 及 的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 之外的零件,就认为这条
生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(I)试说明上述监控生产过程方法的合理性:
(II)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:
经计算得 , ,其中 为抽
取的第 个零件的尺寸, .
用样本平均数 作为 的估计值 ,用样本标准差 作为 的估计值 ,利用估计值
判断是否需对当天的生产过程进行检查,剔除 之外的数据,用剩下的数
据估计 和 (精确到 ).
附:若随机变量 服从正态分布 ,则 .
, .
cm
( )2N µ σ,
X ( )3 3µ σ µ σ− +,
( )1P X ≥ X
( )3 3µ σ µ σ− +,
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
16
1
9.97i
i
x x
=
= =∑ ( )16 162 2 2
1 1
1 1 16 0.21216 16i i
i i
s x x x x
= =
= − = − ≈
∑ ∑ ix
i 1 2 16i = , , ,
x µ ˆµ s σ ˆσ
( )ˆ ˆ ˆ ˆ3 3µ σ µ σ− +,
µ σ 0.01
Z ( )2N µ σ, ( )3 3 0.997 4P Zµ σ µ σ− < < + =
160.997 4 0.9592≈ 0.008 0.09≈
20. (12 分)已知椭圆 : ,四点 , , ,
中恰有三点在椭圆 上.
(1)求 的方程;
(2)设直线 不经过 点且与 相交于 、 两点,若直线 与直线 的斜率的和
为 ,证明: 过定点.
C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( )0a b> > ( )1 1 1P , ( )2 0 1P , 3
31 2P
−
,
4
31 2P
, C
C
l 2P C A B 2P A 2P B
1− l
21. (12 分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若 有两个零点,求 的取值范围.
( ) ( )2e 2 ex xf x a a x= + − −
( )f x
( )f x a
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第
一题计分。
22. [选修 4-4:坐标系与参考方程]
在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),直线 的参数方
程为 ( 为参数).
(1)若 ,求 与 的交点坐标;
(2)若 上的点到 距离的最大值为 ,求 .
23. [选修 4-5:不等式选讲]
已知函数 .
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)若不等式 的解集包含 ,求 的取值范围.
xOy C 3cos
sin
x
y
θ
θ
=
=
,
,
θ l
4
1
x a t
y t
= +
= −
,
, t
1a = − C l
C l 17 a
( ) ( )2 4 1 1f x x ax g x x x= − + + = + + −,
1a = ( ) ( )f x g x≥
( ) ( )f x g x≥ [ ]1 1− , a
答案及解析
一、 选择题
1.A
【解析】 ,
∴ , ,
选 A
2.B
【解析】设正方形边长为 ,则圆半径为
则正方形的面积为 ,圆的面积为 ,图中黑色部分的概率为
则此点取自黑色部分的概率为
故选 B
3.B
【解析】 设 ,则 ,得到 ,所以 .故 正确;
若 ,满足 ,而 ,不满足 ,故 不正确;
若 , ,则 ,满足 ,而它们实部不相等,不是共轭复数,
故 不正确;
实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故 正确;
4.C
【解析】
联立求得
得
选 C
5.D
【解析】因为 为奇函数,所以 ,
于是 等价于 |
又 在 单调递减
{ }1A x x= < { } { }3 1 0xB x x x= < = <
{ }0A B x x= < { }1A B x x= <
2 1
2 2 4× = 2π 1 π× = π
2
π
π2
4 8
=
1 :p z a bi= + 2 2
1 1 a bi
z a bi a b
−= = ∈+ + R 0b = z ∈R 1P
2 :p z = −2 1 2z ∈R z i= 2z ∈R 2p
3 :p 1z 1= 2z 2= 1 2z z 2= 1 2z z ∈R
3p
4 :p 4p
4 5 1 13 4 24a a a d a d+ = + + + =
6 1
6 56 482S a d
×= + =
1
1
2 7 24
6 15 48
a d
a d
+ = + =
①
②
3× −① ② ( )21 15 24− =d
6 24d =
4d =∴
( )f x ( ) ( )1 1 1f f− = − =
( )1 2 1f x− −≤ ≤ ( ) ( ) ( )1 2 1f f x f− −≤ ≤
( )f x ( )−∞ + ∞,
故选 D
6.C.
【解析】
对 的 项系数为
对 的 项系数为 ,
∴ 的系数为
故选 C
7.B
【解析】由三视图可画出立体图
该立体图平面内只有两个相同的梯形的面
故选 B
8.D
【答案】因为要求 大于 1000 时输出,且框图中在“否”时输出
∴“ ”中不能输入
排除 A、B
又要求 为偶数,且 初始值为 0,
“ ”中 依次加 2 可保证其为偶
故选 D
9.D
【解析】 ,
首先曲线 、 统一为一三角函数名,可将 用诱导公式处理.
.横坐标变换需将 变成 ,
即
.
1 2 1x∴− −≤ ≤
3x∴1≤ ≤
( ) ( ) ( )6 6 6
2 2
1 11+ 1 1 1 1x x xx x
+ = ⋅ + + ⋅ +
( )61 x+ 2x 2
6
6 5C 152
×= =
( )6
2
1 1 xx
⋅ + 2x 4
6C =15
2x 15 15 30+ =
( )2 4 2 2 6S = + × ÷ =梯
6 2 12S = × =全梯
A
A 1000>
n n
n
1 : cosC y x= 2
2π: sin 2 3
= + C y x
1C 2C 1 : cosC y x=
π π πcos cos sin2 2 2
= = + − = + y x x x 1=ω 2=ω
1
1
2π π πsin sin 2 sin22 2 4
= + → = + = +
C 上各 坐 短它原
y x y x x点横 标缩 来
2π πsin 2 sin23 3
→ = + = + y x x
注意 的系数,在右平移需将 提到括号外面,这时 平移至 ,
根据“左加右减”原则,“ ”到“ ”需加上 ,即再向左平移 .
10.A
【解析】
设 倾斜角为 .作 垂直准线, 垂直 轴
易知
同理 ,
又 与 垂直,即 的倾斜角为
而 ,即 .
,当 取等号
即 最小值为 ,故选 A
11.D
【解析】取对数: .
ω 2=ω π
4
+x π
3
+x
π
4
+x π
3
+x π
12
π
12
AB θ 1AK 2AK x
1
1
cos
2 2
⋅ + = =
= − − =
AF GF AK
AK AF
P PGP P
θ (几何关系)
(抛物线特性)
cosAF P AFθ⋅ + =∴
1 cos
PAF θ= − 1 cos
PBF θ= +
∴ 2 2
2 2
1 cos sin
P PAB θ θ= =−
DE AB DE π
2
θ+
2
2
2 2
π cossin 2
P PDE θθ
= =
+
2 4y x= 2P =
∴ 2 2
1 12 sin cosAB DE P θ θ
+ = +
2 2
2 2
sin cos4 sin cos
θ θ
θ θ
+= 2 2
4
sin cosθ θ= 2
4
1 sin 24
=
θ
2
16 16sin 2θ= ≥ π
4
θ =
AB DE+ 16
ln 2 ln3 ln5x y= =
ln3 3
ln 2 2
x
y
= >
∴ 2 3x y>
ln 2 ln5x z=
则
,故选 D
12.A
【解析】设首项为第 1 组,接下来两项为第 2 组,再接下来三项为第 3 组,以此类推.
设第 组的项数为 ,则 组的项数和为
由题, ,令 → 且 ,即 出现在第 13 组之后
第 组的和为
组总共的和为
若要使前 项和为 2 的整数幂,则 项的和 应与 互为相反数
即
→
则
故选 A
二、 填空题
13.
【解析】
∴
14.
不等式组 表示的平面区域如图所示
y
x
2x+y+1=0
x+2y-1=0
1
C
BA
ln5 5
ln 2 2
x
z
= <
∴ 2 5x z< ∴ 3 2 5y x z< <
n n n ( )1
2
n n+
100N > ( )1 1002
n n+ > 14n≥ *n∈N N
n 1 2 2 11 2
n
n− = −−
n ( )2 1 2
2 21 2
n
nn n
−
− = − −−
N
( )1
2
n nN
+− 2 1k − 2 n− −
( )*2 1 2 14k n k n− = + ∈N , ≥
( )2log 3k n= +
29 5n k= =,
( )29 1 29 5 4402N
× += + =
2 3
( )22 222 ( 2 ) 2 2 cos60 2a b a b a a b b+ = + = + ⋅ ⋅ ⋅ ° + 2 212 2 2 2 22
= + × × × + 4 4 4= + +
12=
2 12 2 3a b+ = =
5−
2 1
2 1
0
x y
x y
x y
+ ≤
+ ≥ −
− ≤
由 得 ,
求 的最小值,即求直线 的纵截距的最大值
当直线 过图中点 时,纵截距最大
由 解得 点坐标为 ,此时
15.
【解析】如图,
,
∵ ,∴ ,
∴
又∵ ,∴ ,解得
∴
16.
【解析】由题,连接 ,交 与点 ,由题,
,即 的长度与 的长度或成正比
设 ,则 ,
三棱锥的高
则
令 , ,
3 2z x y= − 3
2 2
zy x= −
z 3
2 2
zy x= −
3
2 2
zy x= − A
2 1
2 1
x y
x y
+ = −
+ = A ( 1,1)− 3 ( 1) 2 1 5z = × − − × = −
2 3
3
OA a= AN AM b= =
60MAN∠ = ° 3
2AP b= 2 2 2 23
4OP OA PA a b= − = −
2 2
3
2tan
3
4
bAP
OP a b
θ = =
−
tan b
a
θ =
2 2
3
2
3
4
b b
aa b
=
−
2 23a b=
2
2
1 2 31 1 3 3
be a
= + = + =
4 15
OD BC G OD BC⊥
3
6OG BC= OG BC
OG x= 2 3BC x= 5DG x= −
2 2 225 10 25 10h DG OG x x x x= − = − + − = −
212 3 3 3 32ABCS x x= ⋅ ⋅ =△
21 3 25 103 ABCV S h x x= ⋅ = ⋅ −△ 4 5= 3 25 10x x⋅ −
( ) 4 525 10f x x x= − 5(0, )2x∈ ( ) 3 4100 50f x x x′ = −
令 ,即 ,
则
则
体积最大值为
三、 解答题(必考题)
17. (1) 面积 .且
由正弦定理得 ,
由 得 .
(2)由(1)得 ,
又
, ,
由余弦定理得 ①
由正弦定理得 ,
②
由①②得
,即 周长为
18.(1)证明:∵
∴ ,
又∵ ,∴
( ) 0f x′ > 4 32 0x x− < 2x <
( ) ( )2 80f x f =≤
3 80 45V × =≤
∴ 34 15 cm
∵ ABC△
2
3sin
aS A
= 1 sin2S bc A=
∴
2 1 sin3sin 2
a bc AA
=
∴ 2 23 sin2a bc A=
∵ 2 23sin sin sin sin2A B C A=
sin 0A ≠ 2sin sin 3B C =
2sin sin 3B C = 1cos cos 6B C =
∵ πA B C+ + =
∴ ( ) ( ) 1cos cos π cos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C= − − = − + = − =
∵ ( )0 πA∈ ,
∴ 60A = ° 3sin 2A = 1cos 2A =
2 2 2 9a b c bc= + − =
sinsin
ab BA
= ⋅ sinsin
ac CA
= ⋅
∴
2
2 sin sin 8sin
abc B CA
= ⋅ =
33b c+ =
∴ 3 33a b c+ + = + ABC△ 3 33+
90BAP CDP∠ = ∠ = °
PA AB⊥ PD CD⊥
AB CD∥ PD AB⊥
又∵ , 、 平面
∴ 平面 ,又 平面
∴平面 平面
(2)取 中点 , 中点 ,连接 ,
∵
∴四边形 为平行四边形
∴
由(1)知, 平面
∴ 平面 ,又 、 平面
∴ ,
又∵ ,∴
∴ 、 、 两两垂直
∴以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
设 ,∴ 、 、 、 ,
∴ 、 、
设 为平面 的法向量
由 ,得
令 ,则 , ,可得平面 的一个法向量
∵ ,∴
又知 平面 , 平面
∴ ,又
∴ 平面
即 是平面 的一个法向量,
∴
由图知二面角 为钝角,所以它的余弦值为
19.(1)由题可知尺寸落在 之内的概率为 ,落在 之
外的概率为 .
由题可知
(2)(i)尺寸落在 之外的概率为 ,
由正态分布知尺寸落在 之外为小概率事件,
PD PA P= PD PA ⊂ PAD
AB ⊥ PAD AB ⊂ PAB
PAB ⊥ PAD
AD O BC E PO OE
AB CD
ABCD
OE AB
AB ⊥ PAD
OE ⊥ PAD PO AD ⊂ PAD
OE PO⊥ OE AD⊥
PA PD= PO AD⊥
PO OE AD
O O xyz−
2PA = ( )0 02D − , , ( )22 0B , , ( )00 2P , , ( )2 02C − , ,
( )02 2PD = − − , , ( )22 2PB = − , , ( )2 2 0 0BC = − , ,
( )n x y z= , , PBC
0
0
n PB
n BC
⋅ = ⋅ =
2 2 2 0
2 2 0
x y z
x
+ − =
− =
1y = 2z = 0x = PBC ( )0 1 2n = , ,
90APD∠ = ° PD PA⊥
AB ⊥ PAD PD ⊂ PAD
PD AB⊥ PA AB A=
PD ⊥ PAB
PD PAB ( )02 2PD = − − , ,
2 3cos 32 3
PD nPD n
PD n
⋅ −= = = −
⋅
,
A PB C− − 3
3
−
( )3 3µ σ µ σ− +, 0.9974 ( )3 3µ σ µ σ− +,
0.0026
( ) ( )00 16
160 C 1 0.9974 0.9974 0.9592P X = = − ≈
( ) ( )1 1 0 1 0.9592 0.0408P X P X≥ = − = ≈ − =
( )~ 16 0.0026X B ,
( ) 16 0.0026 0.0416E X∴ = × =
( )3 3µ σ µ σ− +, 0.0026
( )3 3µ σ µ σ− +,
因此上述监控生产过程的方法合理.
(ii)
, 需对当天的生产过程检查.
因此剔除
剔除数据之后: .
20.(1)根据椭圆对称性,必过 、
又 横坐标为 1,椭圆必不过 ,所以过 三点
将 代入椭圆方程得
,解得 ,
∴椭圆 的方程为: .
(2) 当斜率不存在时,设
得 ,此时 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.
当斜率存在时,设
联立 ,整理得
,
则
3 9.97 3 0.212 9.334µ σ− = − × =
3 9.97 3 0.212 10.606µ σ+ = + × =
( ) ( )3 3 9.334 10.606µ σ µ σ− + =, ,
( )9.22 9.334 10.606∉ , ∴
9.22
9.97 16 9.22 10.0215
µ × −= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 22
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
[ 9.95 10.02 10.12 10.02 9.96 10.02 9.96 10.02 10.01 10.02
9.92 10.02 9.98 10.02 10.04 10.02 10.26 10.02 9.91 10.02
110.13 10.02 10.02 10.02 10.04 10.02 10.05 10.02 9.95 10.02 ] 15
0.0
σ = − + − + − + − + −
+ − + − + − + − + −
+ − + − + − + − + − ×
≈ 08
0.008 0.09σ∴ = ≈
3P 4P
4P 1P 2 3 4P P P, ,
( )2 3
30 1 1 2P P
−
, , ,
2
2 2
1 1
3
1 4 1
b
a b
=
+ =
2 4a = 2 1b =
C
2
2 14
x y+ =
① ( ) ( ): A Al x m A m y B m y= −, , , ,
2 2
1 1 2 1A A
P A P B
y yk k m m m
− − − −+ = + = = −
2m = l
② ( )1l y kx b b= + ≠∶
( ) ( )1 1 2 2A x y B x y, , ,
2 24 4 0
y kx b
x y
= +
+ − =
( )2 2 21 4 8 4 4 0k x kbx b+ + + − =
1 2 2
8
1 4
kbx x k
−+ = +
2
1 2 2
4 4
1 4
bx x k
−⋅ = +
2 2
1 2
1 2
1 1
P A P B
y yk k x x
− −+ = + ( ) ( )2 1 2 1 2 1
1 2
x kx b x x kx b x
x x
+ − + + −=
2 2
2
2
2
8 8 8 8
1 4
4 4
1 4
kb k kb kb
k
b
k
− − +
+= −
+
又
,此时 ,存在 使得 成立.
∴直线 的方程为
当 时,
所以 过定点 .
21.(1)由于
故
当 时, , .从而 恒成立.
在 上单调递减
当 时,令 ,从而 ,得 .
单调减 极小值 单调增
综上,当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增
(2)由(1)知,
当 时, 在 上单调减,故 在 上至多一个零点,不满足条件.
当 时, .
令 .
令 ,则 .从而 在 上单调增,
而 .故当 时, .当 时 .当 时
若 ,则 ,故 恒成立,从而 无零点,不
满足条件.
若 ,则 ,故 仅有一个实根 ,不满足条
件.
若 ,则 ,注意到 . .
故 在 上有一个实根,而又 .
且
.
故 在 上有一个实根.
( )
( )( )
8 1 14 1 1
k b
b b
−= = −+ − , 1b ≠
2 1b k⇒ = − − 64k∆ = − k 0∆ >
l 2 1y kx k= − −
2x = 1y = −
l ( )2 1−,
( ) ( )2e 2 ex xf x a a x= + − −
( ) ( ) ( )( )22 e 2 e 1 e 1 2e 1x x x xf x a a a′ = + − − = − +
① 0a ≤ e 1 0xa − < 2e 1 0x + > ( ) 0f x′ <
( )f x R
② 0a > ( ) 0f x′ = e 1 0xa − = lnx a= −
x ( )ln a−∞ −, ln a− ( )ln a− + ∞,
( )f x′ − 0 +
( )f x
0a ≤ ( )f x R
0a > ( )f x ( , ln )a−∞ − ( ln , )a− +∞
0a ≤ ( )f x R ( )f x R
0a > ( )min
1ln 1 lnf f a aa
= − = − +
( ) 11 lng a aa
= − +
( ) ( )11 ln 0g a a aa
= − + > ( ) 2
1 1' 0g a a a
= + > ( )g a ( )0 + ∞,
( )1 0g = 0 1a< < ( ) 0g a < 1a = ( ) 0g a = 1a > ( ) 0g a >
1a > ( )min
11 ln 0f a g aa
= − + = > ( ) 0f x > ( )f x
1a = min
11 ln 0f aa
= − + = ( ) 0f x = ln 0x a= − =
0 1a< < min
11 ln 0f aa
= − + < ln 0a− > ( ) 2
21 1 0e e e
a af − = + + − >
( )f x ( )1 ln a− −, 3 1ln 1 ln ln aa a
− > = −
3 3ln 1 ln 13 3ln( 1) e e 2 ln 1a af a aa a
− −
− = ⋅ + − − −
( )3 3 3 31 3 2 ln 1 1 ln 1 0a aa a a a
= − ⋅ − + − − − = − − − >
( )f x 3ln ln 1a a
− −
,
又 在 上单调减,在 单调增,故 在 上至多两个
实根.
又 在 及 上均至少有一个实数根,故 在 上
恰有两个实根.
综上, .
四、 解答题(选考题)
22.(1) 时,直线 的方程为 .
曲线 的标准方程是 ,
联立方程 ,解得: 或 ,
则 与 交点坐标是 和
(2)直线 一般式方程是 .
设曲线 上点 .
则 到 距离 ,其中 .
依题意得: ,解得 或
23.(1)当 时, ,是开口向下,对称轴 的二次函数.
,
当 时,令 ,解得
在 上单调递增, 在 上单调递减
∴此时 解集为 .
当 时, , .
当 时, 单调递减, 单调递增,且 .
综上所述, 解集 .
(2)依题意得: 在 恒成立.
即 在 恒成立.
( )f x ( )ln a−∞ −, ( )ln a− + ∞, ( )f x R
( )f x ( )1 ln a− −, 3ln ln 1a a
− −
, ( )f x R
0 1a< <
1a = − l 4 3 0x y+ − =
C
2
2 19
x y+ =
2
2
4 3 0
19
x y
x y
+ − = + =
3
0
x
y
=
=
21
25
24
25
x
y
= −
=
C l ( )3 0, 21 24
25 25
− ,
l 4 4 0x y a+ − − =
C ( )3cos sinp θ θ,
P l
( )5sin 43cos 4sin 4
17 17
aad
θ ϕθ θ + − −+ − −= = 3tan 4
ϕ =
17maxd = 16a = − 8a =
1a = ( ) 2 4f x x x= − + + 1
2x =
( )
2 1
1 1 2 1 1
2 1
x x
g x x x
x x
>
= + + − = −
− < −
,
, ≤x≤
,
(1, )x∈ +∞ 2 4 2x x x− + + = 17 1
2x
−=
( )g x ( )1 + ∞, ( )f x ( )1 + ∞,
( ) ( )f x g x≥ 17 11 2
−
,
[ ]1 1x∈ − , ( ) 2g x = ( ) ( )1 2f x f − =≥
( )1x∈ −∞ −, ( )g x ( )f x ( ) ( )1 1 2g f− = − =
( ) ( )f x g x≥ 17 11 2
−−
,
2 4 2x ax− + + ≥ [ ]1 1− ,
2 2 0x ax− − ≤ [ ]1 1− ,
则只须 ,解出: .
故 取值范围是 .
( ) ( )
2
2
1 1 2 0
1 1 2 0
a
a
− ⋅ − − − − −
≤
≤ 1 1a− ≤ ≤
a [ ]1 1− ,