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  • 2021-05-13 发布

2014高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练导数及其应用

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上海交通大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练:导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.若函数图象上任意点处切线的斜率为,则的最小值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎2.曲线在点(1,1)处的切线方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎3.曲线在点P(1,0)处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎4.曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x,则点P0的坐标是( )‎ A.(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或(1,0) D.(-1,-4)‎ ‎【答案】B ‎5.设,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎6.设函数f′(x)=x2+3x-4,则y=f(x+1)的单调递减区间为( )‎ A.(-4,1) B.(-5,0) C.() D.()‎ ‎【答案】B ‎7.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量x( )‎ A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不等于零 ‎【答案】D ‎8.函数的定义域为,,对任意,,则的解集为( )‎ A.(,1) B.(,+) C.(,) D.(,+)‎ ‎【答案】B ‎9.已知等差数列的前n项和为,又知,且,,则为 ( )‎ A.33 B.46 C.48 D.50‎ ‎【答案】C ‎10.曲线在处的切线平行于直线,则点的坐标为( )‎ A.( 1 , 0 ) B.( 2 , 8 )‎ C.( 1 , 0 )或(-1, -4) D.( 2 , 8 )和或(-1, -4)‎ ‎【答案】C ‎11.设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处切线的斜率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎12.曲线在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )‎ A.-9 B.-3 C.9 D.15‎ ‎【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则=____________‎ ‎【答案】‎ ‎14.函数的单调增区间为 .‎ ‎【答案】‎ ‎15.曲线y=3x2与x轴及直线x=1所围成的图形的面积为 .‎ ‎【答案】1‎ ‎16.= 。‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3元和5元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?‎ ‎【答案】解法一:根据题意知,只有点C在线段AD上某一适当位置,才能使总运费最省,设C点距D点x km, 则 ∵BD=40,AC=50-,∴BC=‎ 又设总的水管费用为y元,依题意有:=3(50-x)+5‎ y′=-3+,令y′=0,解得=30‎ 在(0,50)上,y只有一个极值点,根据实际问题的意义,‎ 函数在=30(km)处取得最小值,此时AC=50-=20(km)‎ ‎∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省.‎ 解法二:设∠BCD=,则BC=,CD=, ‎ 设总的水管费用为f(θ),依题意,有 ‎(θ)=3(50-40·cotθ)+5=150+40·‎ ‎∴(θ)=40‎ 令(θ)=0,得cosθ=‎ 根据问题的实际意义,当cosθ=时,函数取得最小值,此时sinθ=,∴cotθ=,‎ ‎∴AC=50-40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省.‎ ‎18. 已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值.‎ ‎(I)求a,b的值;‎ ‎ (II)判断函数y=f(x)的单调性并求出单调区间.‎ ‎【答案】(1)因为函数f(x)=ax2+blnx,所以f′(x)=2ax+.又函数f(x)在x=1处有极值,‎ 所以即解得 ‎(2)由(1)可知f(x)=x2-lnx,其定义域是(0,+∞),且f′(x)=x-=.‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ 所以函数y=f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).‎ ‎19.设,向量,函数的图象经过坐标原点,是函数的导函数.已知,,.‎ ‎(Ⅰ)求的解析式;‎ ‎(Ⅱ)若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根,求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)若,设数列满足.‎ 求证:.‎ ‎【答案】(I)∵,‎ ‎∴ .‎ 令,则,解得.‎ ‎∴.‎ ‎∵的图象过原点,‎ ‎∴.‎ ‎(II)原方程可以整理为.‎ 令,则.‎ 由有或,‎ 且当或时,当时.‎ ‎∴ 在时,在上是减函数,在上是增函数,‎ ‎∴ 在上.‎ 又,‎ ‎∴ 要使原方程在上有两个不相等的实数根,则须使.‎ 即的取值范围为.‎ ‎(III)时,.‎ ‎∴ ),整理得 ().‎ 变形得 ,‎ 令,则,() .‎ 两边同取对数有 ,即.‎ 令,则,且,‎ ‎∴-1>2(-1)( ),‎ ‎∴-1>2(-1) >22(-1)>……>(-1)=,‎ ‎∴>1+>,∴=,‎ ‎∴ ().‎ 当时,=3>-1=1,即不等式也成立,‎ ‎∴.‎ ‎20.已知函数,‎ ‎(Ⅰ)若求曲线在处的切线的斜率;(Ⅱ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)设若存在对于任意使 求 的范围。‎ ‎【答案】‎ ‎(Ⅰ)若 ‎(Ⅱ)当 ‎ 当令 综上:‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,一定符合题意;‎ ‎ 当 ‎ ‎ 由题意知,只需满足 综上:‎ ‎21.已知函数。‎ ‎(Ⅰ)设,讨论的单调性; ‎ ‎(Ⅱ)若对任意恒有,求的取值范围 ‎【答案】 (Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= e-ax. ‎ ‎(ⅰ)当a=2时, f '(x)= e-2x, f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(-∞,1), (1,+∞).为增函数.‎ ‎(ⅱ)当0 0, f(x)在(-∞,1), (1,+∞)为增函数. ‎ ‎(ⅲ)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)= 0 ,解得x1= - , x2= .‎ 当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表: ‎ f(x)在(-∞, -), (,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(-,)为减函数.‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1.‎ ‎(ⅱ)当a>2时, 取x0= ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)1且e-ax≥1,得 ‎ f(x)= e-ax≥ >1. 综上当且仅当a∈(-∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1‎ ‎22.函数 ‎(I)当时,求函数的极值;‎ ‎(II)设,若,‎ 求证:对任意,且,都有.‎ ‎【答案】(1)当时,‎ 函数定义域为()且 令,解得或 ‎ 当变化时,的变化情况如下表:‎ 所以当时,,‎ 当时,; ‎ ‎(2)因为,‎ 所以,‎ 因为,所以(当且仅当时等号成立),‎ 所以在区间上是增函数, ‎ 从而对任意,当时,,‎ 即,所以. ‎