1963年全国高考数学试题及其解析 8页

1963 年全国高考数学试题及其解析 把OA绕着O点按反时针方向旋转150°,设A点到达的位置为B,写出B点所表示 的复数的代数式. 3.如图,AB为半圆的直径,CD⊥AB.已知AB=1,AC:CB=4:1,求 CD. 4.从二面角内任意一点向二面角的两个面作垂线,求证这 两条垂线所决定的平面垂直于二面角的棱.(要求画图) 5.利用下列常用对数表,计算lg23.28-1.1 6.解方程:sin3x-sinx+cos2x=0. 7.用1,2,3,4,7,9组成没有重复数字的五位数,问; (1)这样的五位数一共有多少个? (2)在这些五位数中,有多少个是偶数? (3)在这些五位数中,有多少个是3的倍数? (限定在实数范围内) 9.如图,线段CD与⊙O相交于A、B两点,且AC=BD, 又CE、DF分别与⊙O相切于E、F. 求证:△OEC≌△OFD. 10.如图,半径为1的球,内切于圆锥(即直圆锥),已知圆锥的母线与底面的夹 角是2θ. (3)当θ是什么值的时候,圆锥的全面积最小?(θ用反三角函数表示) (图中V是圆锥的顶点,VB是母线,O是球心,A是球和圆锥底面的切点.) 1963年试题答案 以cosθ除分式的分子和分母,得 2.解: ∴辐角是k·360°+60°. (其中k为任何整数) (2)B点所表示的复数的模数是2,而辐角的主值是60°+150°=210°, ∴B点所表示的复数是: 2(cos210°+isin210°) 3.解:∵AB=1,AC:CB=4:1, 4.证法一: 已知:二面角M-AB-N,P是M-AB-N内任意一点,PC垂直平面M于C,PD垂直平面N 于D. 求证:平面PCD⊥AB. 证明:∵PC⊥平面M, ∴PC和AB垂直, ∵PD⊥平面N, ∴PD和AB垂直. ∴平面PCD⊥AB. 证法二: 已知:同证法一. 求证:同证法一. 证明:∵PC⊥平面M, ∴过PC的平面PCD⊥平面M. ∵PD⊥平面N, ∴过PD的平面PCD⊥平面N. ∴平面PCD垂直平面M和N的交线. 而AB即是平面M和N的交线, ∴平面PCD⊥AB. 5.解:lg23.28-1.1=-1.1×lg23.28 =-1.1×1.3670 =-1.5037 ∴23.28-1.1=0.03135. 6.解法一: sin3x-sinx+cos2x=0, 2cos2xsinx+cos2x=0, cos2x(2sinx+1)=0 (n是整数) (n是整数) 解法二: sin3x-sinx+cos2x=0, (3sinx-4sin3x)-sinx+(1-2sin2x)=0, 整理,得 4sin3x+2sin2x-2sinx-1=0. 分解,得 (2sinx+1)(2sin2x-1)=0. (n是整数) 7.解: (1)从这六个数字中,取出五个数字,共能排成 个五位数. (2)在所求的偶数中,末位必须取2、4这两个数字中的一个,这有两种方法,取 定末位后,再从其余五个数字中任取四个,排成其他四位,这有 种方法.因此,共有 个五位数是偶数. (3)一个整数是不是3的倍数,要看它的各位数字之和是不是3的倍数,这六个 数字1,2,3,4,7,9之和是26,因此只有除去2,余下的五个数字之和才是3的倍 数.由此可知,所取的五个数字必须是1,3,4,7,9.因此,共有 P5=5!=120 个五位数是3的倍数. 8.解法一: (2)的两边平方,得 xy+3=x2, 即 x2-xy=3. (3) 将(1)的两边乘以3,得 3x2-6xy-3y2=3. (4) 从(4)的两边分别减去(3)的两边,得 2x2-5xy-3y2=0. 分解,得 (2x+y)(x-3y)=0, 2x+y=0,x-3y=0. 检验后,x1,y1与x3,y3是原方程组的两组解;x2,y2与x4,y4不适合方程(2). ∴方程组的解是: 解法二: (2)的两边平方,得 代入(1),得 整理,得 2x4-11x2+9=0. 分解,得 (x2-1)(2x2-9)=0. x2-1=0,∴x1=1,x2=-1; 将x的值代入(3),得 检验后,x1,y1与x3,y3是原方程组的两组解 ;x2,y2与x4,y4不适合方程(2). ∴方程组的解是: 9.证法一: 连结OA,OB. ∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA; ∴∠OAC=∠OBD. 又AC=BD,∴△OAC≌△OBD,∴OC=OD. ∵CE、DF分别切⊙O于E、F,∴∠OEC、OFD都是直角. 在△OEC与△OFD中: ∵∠OEC=∠OFD=90°,OE=OF,OC=OD, ∴△OEC≌△OFD. 证法二: ∵CE、CB分别是⊙O的切线与割线, ∴CE2=CA·CB=CA(CA+AB). 同理,DF2=DB·DA=DB(DB+AB). ∵CA=DB,∴CE2=DF2,∴CE=DF ∵CE、DF分别切⊙O于E、F,∴∠OEC、∠OFD都是直角. 在△OEC与△OFD中: ∵∠OEC=∠OFD=90°,OE=OF,CE=DF, ∴△OEC≌△OFD. 10.解:(1)设C为母线VB与球相切的切点. 连OA、OB、OC,则OA=OC=1,OB=OB, ∠OAB=∠OCB=90°, 故 △OAB≌△OCB. 由此可知, ∠OBA=∠OBC=θ. 设 圆锥的底面半径为r,母线为l,则 于是 (2)设圆锥的全面积为T,则 (3)欲使T最小,只要使tg2θ(1-tg2θ)最大即可. 由于