2010年全国高考理科数学试题及答案-广东 7页

‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（理科）‎ 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若集合则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数则 A． B． C． D．‎ ‎3．若函数与的定义域均为，则 A．均为偶函数 B．为偶函数，为奇函数 C．均为奇函数 D．为奇函数，为偶函数 ‎4．已知数列为等比数列，是它的前项和．若且与的等差中项为，则 A．35 B．33 C．31 D．29‎ ‎5．“”是“一元二次方程有实数解”的 A．充分非必要条件 B．充分必要条件 ‎ C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 ‎6．如图1，为正三角形，，，‎ ‎，则多面体的正视图(也称主视图)是 ‎7．已知随机变量服从正态分布,且,则 A．0．1588 B．0．1587 C．0．1586 D．0．1585‎ ‎8．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固 定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮 的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，‎ 每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要是 实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 A．1205秒 B． 1200秒 C．1195秒 D．1190秒 二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． ‎ ‎（一）必做题(9～13题)‎ ‎9．函数的定义域是____________． ‎ ‎10．若向量满足，则_______．‎ ‎11．已知分别是的三个内角所对的边，若 ‎，则____________．‎ ‎12．已知圆心在轴上，半径为的圆位于轴左侧，‎ 且与直线相切，则圆的方程是___________．‎ ‎13．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，‎ 对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中 位居民的月均用水量分别为（单位：吨），‎ 根据图2所示的程序框图，若，且分别为1，2，则输出的结果为__________．‎ ‎（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（几何证明选讲选做题）如图3，是半径为的圆的两条弦，它们相较于的中点，，，则 ‎ ‎15．（参数方程极坐标选做题）在极坐标系中，‎ 曲线与的交点的极坐标为 ． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 已知函数在时取得最大值4．‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求的解析式； ‎ ‎（3）若，求． ‎ 资料来源：数学驿站 www.maths168.com ‎17．（本小题满分12分）‎ 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为，,…,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．‎ ‎（1）根据频率分布直方图，求重量超过‎505克的产品数量． ‎ ‎（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设为重量超过‎505克的产品数量，求的分布列．‎ ‎（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过‎505克的概率．料来源：数学驿站 ‎ www.maths168.com ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图5，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点。平面外一点F满足.‎ ‎（1）证明； ‎ ‎（2）已知点Q、R分别为线段FE、FB上的点，‎ 使得，求平面BED与 平面RQD所成二面角的正弦值。‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．‎ 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2．5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ ‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知双曲线的左、右顶点分别为,,点，是双曲线上不同的两个动点．‎ （1） 求直线与交点的轨迹的方程； ‎ （2） 若过点的两直线和与轨迹都只有一个交点，且求的值。‎ 资料来源：数学驿站 www.maths168.com ‎21．（本小题满分14分）‎ 设是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种折线距离为．‎ 对于平面上给定的不同的两点 ‎（1）若点是平面上的点，试证明：;‎ ‎（2）在平面上是否存在点，同时满足 ①；②．‎ 若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明．‎ 一、选择题 1、 D；2、A；3、B；4、C；5、A；6、D；7、B；8、C 二、 填空题 ‎9、；10、2；11、1；12、；13、；14、；15、‎ 三、解答题 16. 解：（1）最小正周期为：；‎ ‎ （2）由题意得：；‎ ‎ ，解得：；‎ ‎ ‎ ‎ （3）‎ ‎ 。‎ 17. 解：（1）12 ‎ ‎ （2）‎ Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ （3）‎ 18. 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ 19. 解：4个单位午餐，3个单位晚餐。‎ 20. 解：（1） （2）‎ 21. 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ （2）不妨假设.‎ ‎ 由题意可得：‎ ‎ ；‎ ‎ 则：，即；‎ ‎ （）。‎ ‎ ‎