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  • 2021-05-13 发布

高考数学考点讲解考点11定积分的概念与微积分基本定理新课标解析版

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考点11 定积分的概念与微积分基本定理 ‎【高考再现】‎ 热点一 定积分的基本计算 ‎1.(2012年高考江西卷理科11)计算定积分___________‎ ‎【方法总结】1.计算简单定积分的步骤:‎ ‎(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差;‎ ‎(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差;‎ ‎(3)分别用求导公式求出F(x),使得F′(x)=f(x);‎ ‎(4)利用牛顿-莱布尼兹公式求出各个定积分的值;‎ ‎(5)计算所求定积分的值.‎ ‎2.求定积分的常用技巧:‎ ‎(1)求被积函数,要先化简,再求积分.‎ ‎(2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.‎ ‎(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号才能积分.‎ 热点二 微积分基本定理的应用 ‎3.(2012年高考山东卷理科15)设a>0.若曲线与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a,则a=______。‎ ‎【答案】 ‎【解析】,解得.‎ ‎4.(2012年高考上海卷理科13)已知函数的图象是折线段,其中、、,函数()的图象与轴围成的图形的面积为.‎ ‎【方法总结】求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤 ‎(1)画出图形,确定图形的范围,通过解方程组求出交点的横坐标.定出积分的上、下限;(2)确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位置;(3)写出平面图形面积的定积分的表达式;(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.‎ ‎【考点剖析】‎ 二.命题方向 定积分的考查频率不是很高,本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义,使用微积分基本定理计算定积分,使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等。一般以客观题形式出现.‎ 三.规律总结 一种思想 定积分基本思想的核心是“以直代曲”,用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题,其方法是“分割求近似,求和取极限”,利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就.‎ 一个公式 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分是互为逆运算.‎ ‎【基础练习】‎ ‎1.(教材习题改编)(ex+2x)dx等于(  )‎ A.1 B.e-‎1 C.eD.e+1‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】 因为F(x)=ex+x2,且F′(x)=ex+2x,则 (ex+2x)dx=(ex+x2)|=(e+1)-(e0+0)=e,故选C.‎ ‎3.【经典习题】_______________.‎ ‎【答案】C ‎【解析】:等于圆在第一象限的面积,则.‎ ‎4.已知函数f(x)=3x2+2x+1,若-‎1f(x)dx=‎2f(a)成立,则a=________.‎ ‎【名校模拟】‎ 一.基础扎实 ‎1. (河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试文)曲线y=在点(0,一1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为 ‎ A.1 B.- C. D. ‎【答案】 C ‎【解析】,所以,所以切线方程为,所以,故选C ‎2. (2012届郑州市第二次质量预测理) 如图曲线和直线所围成的图形(阴影部分)的面积为 A.B.‎ C.D.‎ ‎3.(2012洛阳示范高中联考高三理).由曲线围成的封闭图形的面积为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】解:由微积分基本定理,可知由曲线围成的封闭图形的面积为 ‎4.(武汉2012高中毕业生五月模拟考试理)‎ 答案:A ‎ 解析:由题意得,或(舍去),故选A。‎ ‎5. (山西省2012年高考考前适应性训练理).‎ ‎6(湖北武汉2012适应性训练理)曲线与轴及直线所围图形的面积为.‎ ‎【答案】 ‎【解析】依题意得知,曲线与轴及直线所围图形的面积为.‎ 二.能力拔高 ‎ ‎7.(湖北省八校2012届高三第一次联考理)可看作成 ( )‎ ‎ A.半径为3的圆的面积的二分之一 B.半径为的圆的面积的二分之一 ‎ C.半径为3的圆的面积的四分之一 D.半径为的圆的面积的四分之一 又半径为的圆的面积为,故选B。‎ ‎8.(北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习理)‎ 下列命题:‎ 函数的最小正周期是;‎ 已知向量,,,则的充要条件是;‎ 若(),则.‎ 其中所有的真命题是 ‎ A. B.C. D. ‎9. (河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试理)曲线y=与其在点(0,一1)处的切线及直线x=1所围成的封闭图形的面积为 ‎ A.1-ln2 B.2-2n‎2 ‎ C. ln2 D.2ln2-1‎ ‎10. (2012年长春市高中毕业班第二次调研测试理) ‎【答案】4‎ ‎11.(仙桃市2012年五月高考仿真模拟试题理)已知二项式展开式的常数项为则。‎ ‎12.(华中师大一附中2012届高考适应性考试理)曲线与坐标轴所围成的面积是________.‎ 答案:3‎ 解析:由题意得,.‎ 三.提升自我 ‎13.(2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二) 理)函数满足,其导函数的图象如下图,则的图象与轴所围成的封闭图形的面积为 A. B.C.2 D. ‎【答案】B ‎【解析】由导函数的图像可知,函数为二次函数,且对称轴为开口方向向上,设函数 因过点(-1,0)与(0,2),则有 则的图象与轴所围成的封闭图形的面积为 ‎14.(2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)‎ 设M,m分别是f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,则由上述估值定理,估计定积分的取值范围是_____‎ ‎15.(湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理)函数在点处的切线与函数围成的图形的面积等于.‎ ‎【原创预测】‎ ‎1.已知函数,直线和(其中 t为常数).若直线 轴与函数的图象所围成的封闭图形的面积为S,则S的最大值为 ‎(A)2(B)(C)(D)3‎ ‎2.已知是自然对数的底数,计算定积分,得.‎