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- 2021-05-13 发布
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考点11 定积分的概念与微积分基本定理
【高考再现】
热点一 定积分的基本计算
1.(2012年高考江西卷理科11)计算定积分___________
【方法总结】1.计算简单定积分的步骤:
(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差;
(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差;
(3)分别用求导公式求出F(x),使得F′(x)=f(x);
(4)利用牛顿-莱布尼兹公式求出各个定积分的值;
(5)计算所求定积分的值.
2.求定积分的常用技巧:
(1)求被积函数,要先化简,再求积分.
(2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.
(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号才能积分.
热点二 微积分基本定理的应用
3.(2012年高考山东卷理科15)设a>0.若曲线与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a,则a=______。
【答案】
【解析】,解得.
4.(2012年高考上海卷理科13)已知函数的图象是折线段,其中、、,函数()的图象与轴围成的图形的面积为.
【方法总结】求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤
(1)画出图形,确定图形的范围,通过解方程组求出交点的横坐标.定出积分的上、下限;(2)确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位置;(3)写出平面图形面积的定积分的表达式;(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.
【考点剖析】
二.命题方向
定积分的考查频率不是很高,本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义,使用微积分基本定理计算定积分,使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等。一般以客观题形式出现.
三.规律总结
一种思想
定积分基本思想的核心是“以直代曲”,用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题,其方法是“分割求近似,求和取极限”,利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就.
一个公式
由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分是互为逆运算.
【基础练习】
1.(教材习题改编)(ex+2x)dx等于( )
A.1 B.e-1 C.eD.e+1
【答案】C
【解析】 因为F(x)=ex+x2,且F′(x)=ex+2x,则
(ex+2x)dx=(ex+x2)|=(e+1)-(e0+0)=e,故选C.
3.【经典习题】_______________.
【答案】C
【解析】:等于圆在第一象限的面积,则.
4.已知函数f(x)=3x2+2x+1,若-1f(x)dx=2f(a)成立,则a=________.
【名校模拟】
一.基础扎实
1. (河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试文)曲线y=在点(0,一1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为
A.1 B.- C. D.
【答案】 C
【解析】,所以,所以切线方程为,所以,故选C
2. (2012届郑州市第二次质量预测理) 如图曲线和直线所围成的图形(阴影部分)的面积为
A.B.
C.D.
3.(2012洛阳示范高中联考高三理).由曲线围成的封闭图形的面积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解:由微积分基本定理,可知由曲线围成的封闭图形的面积为
4.(武汉2012高中毕业生五月模拟考试理)
答案:A
解析:由题意得,或(舍去),故选A。
5. (山西省2012年高考考前适应性训练理).
6(湖北武汉2012适应性训练理)曲线与轴及直线所围图形的面积为.
【答案】
【解析】依题意得知,曲线与轴及直线所围图形的面积为.
二.能力拔高
7.(湖北省八校2012届高三第一次联考理)可看作成 ( )
A.半径为3的圆的面积的二分之一 B.半径为的圆的面积的二分之一
C.半径为3的圆的面积的四分之一 D.半径为的圆的面积的四分之一
又半径为的圆的面积为,故选B。
8.(北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习理)
下列命题:
函数的最小正周期是;
已知向量,,,则的充要条件是;
若(),则.
其中所有的真命题是
A. B.C. D.
9. (河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试理)曲线y=与其在点(0,一1)处的切线及直线x=1所围成的封闭图形的面积为
A.1-ln2 B.2-2n2 C. ln2 D.2ln2-1
10. (2012年长春市高中毕业班第二次调研测试理)
【答案】4
11.(仙桃市2012年五月高考仿真模拟试题理)已知二项式展开式的常数项为则。
12.(华中师大一附中2012届高考适应性考试理)曲线与坐标轴所围成的面积是________.
答案:3
解析:由题意得,.
三.提升自我
13.(2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二) 理)函数满足,其导函数的图象如下图,则的图象与轴所围成的封闭图形的面积为
A. B.C.2 D.
【答案】B
【解析】由导函数的图像可知,函数为二次函数,且对称轴为开口方向向上,设函数
因过点(-1,0)与(0,2),则有
则的图象与轴所围成的封闭图形的面积为
14.(2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)
设M,m分别是f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,则由上述估值定理,估计定积分的取值范围是_____
15.(湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理)函数在点处的切线与函数围成的图形的面积等于.
【原创预测】
1.已知函数,直线和(其中 t为常数).若直线
轴与函数的图象所围成的封闭图形的面积为S,则S的最大值为
(A)2(B)(C)(D)3
2.已知是自然对数的底数,计算定积分,得.
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