高考数学专题模拟演练 空间几何体的三视图和直观图及其表面积和体积模拟题 11页

空间几何体的三视图和直观图及其表面积和体积（2010 模拟题） 1.（2010 届·北京市朝阳区高三一模（理））（8）一个空间四边形 的四条边及对角线 的长均为 ，二面角 的余弦值为 ，则下列论断正确的是 （A）空间四边形 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 （B）空间四边形 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 （C） 空间四边形 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 （D）不存在这样的球使得空间四边形 的四个顶点在此球面上 答案：A 2.（2010 届·东北四校高三三模（理））已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如图， 若图中圆的半径为１，等腰三角形的腰长为 ，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 答案：B 3. （ 2010 届 · 安 徽 省 合 肥 高 三 四 模 （ 理 ）） 3 ． 右 图 是 某 几 何 体 的 直 观 图 ， 其 三 视 图 正 确 的 是 （ A ） ABCD AC 2 D AC B- - 1 3 ABCD 3π ABCD 4π ABCD 3 3π ABCD 5 3 2π 3 4π π2 π4 A B C D 4.（2010 届·北京八中高三模拟（理））5.圆 绕直线 旋转一周所得的几何 体的体积为（ C ） A. B. C． D. 5.（2010 届·广东湛江市高三一模（文））一个空间几何体的三视图如下“其中主视图和侧视图都是上底 为 2，下底为 4，高为 2 的 等腰梯形，俯视图是两个半径分别为 1 和 2 的 同心圆，那么这个几何体的 侧面积是(C) A．6 B．18 C．9 D．3 6.（2010 届·成都石室中学高三二诊（理））在三棱锥 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直， 、 、 的面积分别为 、 、 ，则三棱锥 的外接球的体积为（A） A． B． C． D． 7.（2010 届·大连市高三二模（理））如图 1，一个空间几何体的主视图、左视图都是边长为 1 且一个内 角为 60°的菱形，俯视图是圆，那么这个几何体的表面积为 （ ） ( ) 31 22 =++ yx 01 =−− ykx π36 π12 π34 π4 2 2 π π π 2 π A BCD− ABC∆ ACD∆ ADB∆ 2 2 3 2 6 2 A BCD− 6 π 2 6π 3 6π 4 6π A． B． C． D． 8.（2010 届·北京市朝阳区高三二模（理））（3）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （A） （B） （C） （D） 答案：B 9.（2010 届·安徽省安庆一中高三三模（理））3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等 于(B) π π2 π3 π4 112 80 72 64 10.（2010·安徽安庆高三二模（文））4.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角 形，俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的体积是( B ) A. B. C. D. 11.（2010 届·安徽省安庆一中高三三模（理））6．已知正方形 的边长为 6，空间有一点 （不 在平面 内）满足 ，则三棱锥 的体积的最大值是 （ ） A. B. C. D. 12.（2010 届·安徽省安庆一中高三三模（文））7、如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2，且 侧棱 ,正视图是边长为 2 的正方形，该三棱柱的左视图面积为（ B ）. A. B. C. D. 13.（2010 届·北京市朝阳区高三一模（理））（4）一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视 图不可能为 ①长方形；②正方形；③圆；④椭圆. 其中正确的是 （A）①② （B） ②③ （C）③④ （D） ①④ 答案：B 14.（2010 届·安徽萧县中学高三三模（理））15. 已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面边长 AB=6，侧棱长 4 3 3 π 6 3 6 π 1 2 π 3 3 π ABCD M ABCD 10=+ MBMA BCMA − 48 36 30 24 1 1 1 1AA A B C⊥ 面 4 32 22 3 ，它的外接球的球心为 O，点 E 是 AB 的中点，点 P 是球 O 的球面上任意一点，有以下判断： （1）PE 长的最大值是 9； （2）P 到平面 EBC 的距离最大值是 ； （3）存在过点 E 的平面截球 O 的截面面积是 ； （4）三棱锥 P—AEC1 体积的最大值是 20. 其中正确判断的序号是 . 答案：⑴（2）⑷ 15.（2010 届·广东省佛山市高三一模（理））13．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥 的侧面和 底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面 的“中面”. 已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”.仿照此性质写出直角三棱锥具有 的性质： . 答案：直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一． 16.（2010 届·杭州五中高三下 5 月模拟（理））13．下图所示为一几何体的三视图，那么这个几何体的体 积为____ ____． 17.（2010 届·江西省吉安市高三二模（理））13．如图所示的几何体中，底面 ABCD 是矩形，AB=9，BC=6， EF//平面 ABCD，EF=3，△ADE 和△BC F 都是正三角形，则几何体 EFABCD 的体积为 。 18.（2010 届·大连市高三二模（理））14．已知正四棱锥 S—ABCD，底面上的四个顶点 A、B、C、D 在球 心为 O 的半球底面圆周上，顶点 S 在半球面上，则半球 O 的体积和正四棱锥 S—ABCD 的体积之比为 。 19.（2010 届·北京市朝阳区高三一模（文））（12）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边 长为 1 的正方形，俯视图是一个直径为 1 的圆，那么这个几何体的全面积为 . 1 2 7AA = 74 + 3π 82 3 π+ 63 2 :1π 答案： 20.（2010·安徽省安庆市示范高中高三模拟联考（文））19（13 分）．如图 1，在直角梯形 中, , , .将 沿 折起,使平面 平面 ,得到几 何体 ,如图 2 所示. （Ⅰ）若 E 为 AD 的中点，试在线段 C D 上找一点 F，使 ∥平面 ABC，并加以证 明； （Ⅱ）求证: BC⊥平面 ； （Ⅲ）求几何体 的体积. 19．解:（Ⅰ）在图 1 中,可得 ,从而 ,故 取 中点 连结 ,则 ,又面 面 , 面 面 , 面 ,从而 平面 , ∵ 面 ,∴ 又 , , ∴ 平面 另解:在图 1 中,可得 ,从而 ,故 ∵面 面 ,面 面 , 面 , 从而 平面 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 为三棱锥 的高. ， 所以 ∴几何体 的体积为 21.（2010 届·安徽省安庆一中高三三模（文））18、（本题满分 12 分）如图，一简单组合体的一个面 ABC 内接于圆 O，AB 是圆 O 的直径，四边形 DCBE 为平行 四边形，且 DC 平面 ABC． 3 π2 ABCD 90ADC∠ = ° / /CD AB 4, 2AB AD CD= = = ADC∆ AC ADC ⊥ ABC D ABC− EF ACD A BCD− 2 2AC BC= = 2 2 2AC BC AB+ = AC BC⊥ AC O DO DO AC⊥ ADC ⊥ ABC ADC  ABC AC= DO ⊂ ACD OD ⊥ ABC BC ⊂ ABC OD BC⊥ AC BC⊥ AC OD O= BC ⊥ ACD 2 2AC BC= = 2 2 2AC BC AB+ = AC BC⊥ ADC ⊥ ABC ADC  ABC AC= BC ⊂ ABC BC ⊥ ACD BC B ACD− 2 2BC = 2ACDS =  1 1 4 22 2 23 3 3A BCD B ACDV V Sh− −= = = × × = A BCD− 4 2 3 ⊥ （1）证明：平面 ACD 平面 ； （2）若 ， ， ，试求该简单组合体的体积 V． 解析：（１）证明：∵ DC 平面 ABC , 平面 ABC ∴ ． ……….1 分 ∵AB 是圆 O 的直径　∴ 且 ∴ 平面 ADC．…………………3 分 ∵四边形 DCBE 为平行四边形 　　　∴DE//BC ∴ 平面 ADC …………………5 分 又∵ 平面 ADE ∴平面 ACD 平面 …………..6 分 （2）所求简单组合体的体积： ∵ ， ， ∴ , ∴ ∴该简单几何体的体积 ……………………..12 分 ［例 1］求经过两点 P1（2，1）和 P2（m，2）（m∈R)的直线 l 的斜率，并且求出 l 的倾斜角α及其取 值范围. 选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式. 解：(1)当 m=2 时，x1＝x2＝2，∴直线 l 垂直于 x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α= (2)当 m≠2 时，直线 l 的斜率 k= ∵m＞2 时，k＞0. ∴α=arctan ,α∈（0， ）， ∵当 m＜2 时，k＜0 ⊥ ADE 2AB = 1BC = 3tan 2EAB∠ = ⊥ BC ⊂ DC BC⊥ BC AC⊥ DC AC C= BC ⊥ DE ⊥ DE ⊂ ⊥ ADE E ABC E ADCV V V− −= + 2AB = 1BC = 3tan 2 EBEAB AB ∠ = = 3BE = 2 2 3AC AB BC= − = 1 1 1 3 6 2E ADC ADCV S DE AC DC DE− ∆= ⋅ = ⋅ ⋅ = 1 1 1 3 6 2E ABC ABCV S EB AC BC EB− ∆= ⋅ = ⋅ ⋅ = 1V = 2 π 2 1 −m 2 1 −m 2 π ∴α＝π＋arctan ，α∈( ,π). 说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围. ［例 2］若三点 A(－2，3），B（3，－2），C（ ，m）共线，求 m 的值. 选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解：∵A、B、C 三点共线， ∴ｋAB＝ｋAC， 解得 m= . 说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解. ［例 3］已知两点 A(－1,－5),B(3,－2),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半，求直线 l 的斜率. 选题意图：强化斜率公式. 解：设直线 l 的倾斜角α，则由题得直线 AB 的倾斜角为 2α. ∵tan2α=ｋAB= 即 3tan2α+8tanα－3=0， 解得 tanα＝ 或 tanα＝－3. ∵tan2α＝ ＞0,∴0°＜2α＜90°, 0°＜α＜45°， ∴tanα＝ . 因此，直线 l 的斜率是 说明：由 2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方. 命题否定的典型错误及制作 在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容．从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对逻 辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错．下面仅对命题的否定中典型错误 及常见制作方法加以叙述． 一、典型错误剖析 错误 1——认为命题的否定就是否定原命题的结论 在命题的否定中，有许多是把原命题中的结论加以否定．如命题： 是无理数，其否定是： 不 2 1 −m 2 π 2 1 . 22 1 3 23 32 + −=+ −− m 2 1 .4 3 )1(3 )5(2 =−− −−− 4 3 tan1 tan2 2 =−∴ α α 3 1 4 3 3 1 3 1 2 2 是无理数．但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了． 例 1 写出下列命题的否定： ⑴ 对于任意实数 x，使 x2＝1； ⑵ 存在一个实数 x，使 x2＝1． 错解：它们的否定分别为 ⑴ 对于任意实数 x，使 x2≠1； ⑵ 存在一个实数 x，使 x2≠1． 剖析：对于⑴是全称命题，要否定它只要存在一个实数 x，使 x2≠1 即可；对于⑵是存在命题，要否 定它必须是对所有实数 x，使 x2≠1． 正解：⑴存在一个实数 x，使 x2≠1； ⑵对于任意实数 x，使 x2≠1． 错误 2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词 在命题的否定中，有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等”改 为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等．但对于联言命题及选言命题，还要把逻辑联结词“且”与 “或”互换． 例 2 写出下列命题的否定： ⑴ 线段 AB 与 CD 平行且相等； ⑵ 线段 AB 与 CD 平行或相等． 错解：⑴ 线段 AB 与 CD 不平行且不相等； ⑵ 线段 AB 与 CD 不平行或不相等． 剖析：对于⑴是联言命题，其结论的含义为：“平行且相等”，所以对原命题结论的否定除“不平行 且不相等”外，还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而⑵是选言命题，其结论包含“平行但不相 等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”． 正解：⑴ 线段 AB 与 CD 不平行或不相等； ⑵ 线段 AB 与 CD 不平行且不相等． 错误 3——认为“都不是”是“都是”的否定 例 3 写出下列命题的否定： ⑴ a，b 都是零； ⑵ 高一(一)班全体同学都是共青团员． 错解：⑴ a，b 都不是零； ⑵ 高一(一)班全体同学都不是共青团员． 剖析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都 是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”． 正解：⑴a，b 不都是零，即“a，b 中至少有一个不是零”． ⑵ 高一(一)班全体同学不都是共青团员，或写成：高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员． 错误 4——认为“命题否定”就是“否命题” 根据逻辑学知识，任一命题 p 都有它的否定(命题)非 p(也叫负命题、反命题)；而否命题是就假言命 题(若 p 则 q)而言的．如果一个命题不是假言命题，就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命 题．我们应清醒地认识到：假言命题“若 p 则 q”的否命题是“若非p 则非 q”，而“若p 则 q”的否定(命 题)则是“p 且非 q”，而不是“若p 则非 q”． 例 4 写出命题“满足条件 C 的点都在直线 F 上”的否定． 错解：不满足条件 C 的点不都在直线 F 上． 剖析：对于原命题可表示为“若A，则 B”，其否命题是“若┐A，则┐B”，而其否定形式是“若A，则┐ B”，即不需要否定命题的题设部分． 正解：满足条件 C 的点不都在直线 F 上． 二、几类命题否定的制作 1．简单的简单命题 命题的形如“A 是 B”，其否定为“A 不是 B”．只要把原命题中的判断词改为与其相反意义的判断词即 可． 例 5 写出下列命题的否定： ⑴ 3＋4＞6； ⑵ 2 是偶数． 解：所给命题的否定分别是： ⑴ 3＋4≤6； ⑵ 2 不是偶数． 2．含有全称量词和存在量词的简单命题 全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等，形如“所有A 是 B”，其否定为 “存在某个 A 不是 B”；存在量词相当于 “存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个” 等，形如“某一个 A 是 B”，其否定是“对于所有的A 都不是 B”． 全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题． 例 6 　写出下列命题的否定： ⑴ 不论 m 取什么实数，x2＋x－m＝0 必有实根． ⑵ 存在一个实数 x，使得 x2＋x＋1≤0． ⑶ 至少有一个整数是自然数． ⑷ 至多有两个质数是奇数． 解：⑴ 原命题相当于“对所有的实数m，x2＋x－m＝0 必有实根”，其否定是“存在实数m，使 x2＋x－ m＝0 没有实根”． ⑵ 原命题的否定是“对所有的实数 x，x2＋x＋1＞0”． ⑶ 原命题的否定是“没有一个整数是自然数”． ⑷ 原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”． 3．复合命题“p 且 q”，“p 或 q”的否定 “p 且 q”是联言命题，其否定为“非 p 或非 q”(也写成┐p 或┐q“；“p 或 q”是选言命题，其否 定为“非 p 且非 q”(也写成┐p 且┐q“； 例 7 　写出下列命题的否定： ⑴ 他是数学家或物理学家．⑵ 他是数学家又是物理学家． ⑶ ≥0． 解：⑴ 原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”． ⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”，即“他不是数学家或他不是物理学家”． ⑶若认为┐p： ＜0，那就错了．┐p 是对 p 的否定，包括 ＜0 或 ＝ 0． 或∵p：x＞1 或 x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1． 2 1 2 3x x+ − 2 1 2 3x x+ − 2 1 2 3x x+ − 2 1 2 3x x+ −