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  • 2021-05-13 发布

高考数学理一轮复习专题集训空间向量及其运算

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空间向量及其运算 一、选择题(每小题6分,共36分)‎ ‎1.(2012·德州模拟)已知空间四边形OABC中,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点,设=a,=b,=c,则等于(  )‎ ‎(A)a+b-c (B)-a+b+c ‎(C)a-b+c(D)a+b-c ‎2.已知向量a=(2,-3,5)与向量b=(3,λ,)平行,则λ=(  )‎ ‎(A) (B) (C)- (D)- ‎3.(2012·汕头模拟)已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为(  )‎ ‎(A)-2 (B)- (C) (D)2‎ ‎4.(2012·淄博模拟)设A、B、C、D是空间不共面的四个点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD的形状是(  )‎ ‎(A)钝角三角形 (B)直角三角形 ‎(C)锐角三角形 (D)无法确定 ‎5.已知四面体ABCD,O为△BCD内一点(如图),则=‎ (++)是O为△BCD重心的(  )‎ ‎(A)充分不必要条件 ‎(B)必要不充分条件 ‎(C)充要条件 ‎(D)既不充分又不必要条件 ‎6.(2012·青岛模拟)正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为1,点M在上且=,N为B1B的中点,则||为(  )‎ ‎(A) (B) (C) (D) 二、填空题(每小题6分,共18分)‎ ‎7.在空间四边形ABCD中,·+·+·=.‎ ‎8.(2012·威海模拟)A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17),这四个点__________(填“共面”或“不共面”).‎ ‎9.(易错题)空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,则OA与BC所成角的余弦值等于.‎ 三、解答题(每小题15分,共30分)‎ ‎10.已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).‎ ‎(1)求|‎2a+b|;‎ ‎(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥b?(O为原点)‎ ‎11.如图,平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.‎ ‎(1)求AC1的长;‎ ‎(2)求BD1与AC夹角的余弦值.‎ ‎【探究创新】‎ ‎(16分)在棱长为1的正四面体OABC中,若P是底面ABC上的一点,求|OP|的最小值.‎ 答案解析 ‎1.【解析】选B.=-=(+)-=b+c-a.‎ ‎【变式备选】已知正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,点E为上底面A‎1C1的中心,若=+x+y,则x、y的值分别为(  )‎ ‎(A)x=1,y=1 (B)x=1,y= ‎(C)x=,y= (D)x=,y=1‎ ‎【解析】选C.‎ 如图,=+ ‎=+=+‎ (+),‎ 所以x=,y=.‎ ‎2.【解析】选C.由a∥b得,==,解得λ=-.‎ ‎3.【解析】选D.∵a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),‎ ‎∴a-λb=(λ-2,1-2λ,3-λ),由a⊥(a-λb)得-2(λ-2)+1-2λ+9-3λ=0⇒λ=2,选D.‎ ‎4.【解题指南】通过·,·,·的符号判断△BCD各内角的大小,进而确定出三角形的形状.‎ ‎【解析】选C.·=(-)·(-)‎ ‎=·-·-·+2=2>0,‎ 同理·>0,·>0.故△BCD为锐角三角形.‎ ‎5.【解析】选C.若O是△BCD的重心,则=+=+×(+)=+(+)=+(-+-)=(++),‎ 若=(++),‎ 则-+-+-=0,‎ 即++=0.‎ 设BC的中点为P,则-2+=0,‎ ‎∴=-2,即O为△BCD的重心.‎ ‎6.【解析】选A.设=a,‎ =b,=c,则a·b=b·c=c·a=0.‎ 由条件知=++ ‎=-(a+b+c)+a+c ‎=a-b+c ‎∴2=a2+b2+c2=,‎ ‎∴||=.‎ ‎7.【解析】设=b,=c,=d,‎ 则=d-c,=d-b,=c-b.‎ 原式=b·(d-c)+d·(c-b)-c·(d-b)=0.‎ 答案:0‎ ‎8.【解析】=(3,4,5),=(1,2,2),=(9,14,16),设=x+y.‎ 即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y),‎ ‎∴,所以A、B、C、D四点共面.‎ 答案:共面 ‎9.【解析】由题意知·=· (-)=·-· ‎=8×4×cos45°-8×6×cos60°‎ ‎=16-24.‎ ‎∴cos〈,〉===.‎ ‎∴OA与BC所成角的余弦值为.‎ 答案: ‎【误区警示】本题常误认为〈,〉即为OA与BC所成的角.‎ ‎【变式备选】已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则| |的值是.‎ ‎【解析】设P(x,y,z),则=(x-1,y-2,z-1),‎ =(-1-x,3-y,4-z),‎ 由=2知x=-,y=,z=3,‎ 故P(-,,3).‎ 由两点间距离公式可得||=.‎ 答案: ‎10.【解析】(1)‎2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),‎ 故|‎2a+b|==5.‎ ‎(2)令=t(t∈R),所以=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),‎ 若⊥b,则·b=0,‎ 所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,‎ 解得t=.‎ 因此存在点E,使得⊥b,此时E点的坐标为(-,-,).‎ ‎【变式备选】已知b与a=(2,-1,2)共线,且满足a·b=18,(ka+b)⊥(ka-b),求b及k的值.‎ ‎【解析】∵a,b共线,‎ ‎∴存在实数λ,使b=λa.‎ ‎∴a·b=λa2=λ|a|2=λ( ) 2=18,‎ 解得λ=2.‎ ‎∴b=(4,-2,4).‎ ‎∵(ka+b)⊥(ka-b),‎ ‎∴(ka+b)·(ka-b)=0,‎ ‎∴(ka+‎2a)·(ka-‎2a)=(k2-4)|a|2=0,‎ ‎∴k=±2.‎ ‎11.【解题指南】选、、为基向量,利用数量积解题.‎ ‎【解析】设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,‎ ‎〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,‎ ‎∴a·b=b·c=c·a=.‎ ‎(1)| |2=(a+b+c)2‎ ‎=a2+b2+c2+‎2a·b+2b·c+‎2a·c ‎=1+1+1+2×(++)=6.‎ ‎∴AC1=||=.‎ ‎(2)=b+c-a,=a+b.‎ ‎∴||=,||=.‎ ·=(b+c-a)·(a+b)‎ ‎=b2-a2+a·c+b·c=1.‎ ‎∴cos〈,〉=.‎ ‎∴AC与BD1夹角的余弦值为.‎ ‎【方法技巧】用向量法解题的常见类型及常用方法 ‎1.常见类型 利用向量可解决空间中的平行、垂直、长度、夹角等问题.‎ ‎2.常用的解题方法 ‎(1)基向量法 先选择一组基向量,把其他向量都用基向量表示,然后根据向量的运算解题;‎ ‎(2)坐标法 根据条件建立适当的空间直角坐标系,并求出相关点的坐标,根据向量的坐标运算解题即可.‎ ‎【探究创新】‎ ‎【解题指南】向量,,的模均为1,其夹角都是60°,故选取,,当基底,利用向量的运算求||的最小值.‎ ‎【解析】设=a,=b,=c,‎ 由题意,知|a|=|b|=|c|=1,‎ ‎〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,‎ ‎∵点P在平面ABC上,‎ ‎∴存在实数x, y,z,‎ 使=xa+yb+zc,且x+y+z=1,‎ ‎∴2=(xa+yb+zc)2‎ ‎=x2+y2+z2+2xya·b+2yzb·c+2xza·c ‎=x2+y2+z2+xy+yz+zx ‎=(x+y+z)2-(xy+yz+zx)‎ ‎=1-(xy+yz+zx)‎ ‎∵1=(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx ‎=[(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)]+2xy+2yz+2zx ‎≥(2xy+2yz+2zx)+2xy+2yz+2zx ‎=3(xy+yz+zx),∴xy+yz+zx≤,‎ 当且仅当x=y=z=时“=”成立.‎ ‎∴2≥1-=,‎ ‎∴||≥=,‎ ‎∴|OP|的最小值为.‎