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- 2021-05-13 发布
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2014年全国统一高考(山东)理科真题及详解
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,选择符合题目要求的选项。
1. 已知是虚数单位,若与互为共轭复数,则
(A) (B) (C) (D)
答案:D
解析:与互为共轭复数,
2. 设集合则
(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)
答案:C
解析:
3. 函数的定义域为
(A) (B) (C) (D)
答案:C
解析:
或
或。
4. 用反证法证明命题“设则方程至少有一个实根”时要做的假设是
(A)方程没有实根 (B)方程至多有一个实根
(C)方程至多有两个实根 (D)方程恰好有两个实根
5. 已知实数满足,则下列关系式恒成立的是
(A) (B) (C) (D)
答案:D
解析:
,排除A,B,对于C ,是周期函数,排除C。
6.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为
(A)(B)(C)2(D)4
答案:D
解析:
,
第一象限
7.为了研究某药厂的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为
(A) (B) (C) (D)
答案:C
解析:第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4
8.已知函数,.若方程有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是
(A)(B)(C)(D)
答案:B
解析:画出的图象最低点是,过原点和时斜率最小为,斜率最大时的斜率与的斜率一致。
9.已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时,的最小值为
(A)(B)(C)(D)
答案:B
解析:求得交点为,则,即圆心到直线的距离的平方。
10.已知,椭圆的方程为,双曲线的方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为
(A)(B)(C)(D)
答案:A
解析:
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,答案须填在题中横线上。
11. 执行下面的程序框图,若输入的的值为1,
则输出的的值为。
答案:3
解析:根据判断条件,得,
输入
第一次判断后循环,
第二次判断后循环,
第三次判断后循环,
第四次判断不满足条件,退出循环,输出
12. 在中,已知,当时,的面积为。
答案:
解析:由条件可知,
当,
13. 三棱锥中,分别为的中点,记三棱锥的体积为,的体积为,则。
答案:
解析:分别过向平面做高,由为的中点得,
由为的中点得,所以
14. 若的展开式中项的系数为20,则的最小值为。
答案:2
解析:将展开,得到,令.
由,得,所以.
15. 已知函数,对函数,定义关于的“对称函数”为函数,满足:对任意,两个点关于点对称,若是关于的“对称函数”,且恒成立,则实数的取值范围是。
答案:
解析:根据图像分析得,当与在第二象限相切时,
,由恒成立得.
三.解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
已知向量,函数,且的图像过
点和点.
(I)求的值;
(II)将的图像向左平移个单位后得到函数的图像,若 图像上各最高点到点的距离的最小值为1,求的单调递增区间.
解:(Ⅰ)已知,
过点
解得
(Ⅱ)
左移后得到
设的对称轴为,解得
,解得
的单调增区间为
17.(本小题满分12分)
如图,在四棱柱中,底面是等腰梯形,,是线段的中点.
(I)求证:;
(II)若垂直于平面且,求平面和平面所成的角(锐角)的余弦值.
解:(Ⅰ)连接
为四棱柱,
又为的中点,
,
,
为平行四边形
又
(Ⅱ)方法一:
作,连接
则即为所求二面角
在中,
在中,,
方法二:作于点
以为原点,为轴,为轴,为轴建立空间坐标系,
设平面的法向量为
显然平面的法向量为
显然二面角为锐角,
所以平面和平面所成角的余弦值为
18.(本小题满分12分)
乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域,乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在上的概率为,在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次,小明的两次回球互不影响.求:
(I)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;
(II)两次回球结束后,小明得分之和的分布列与数学期望.
解:(I)设恰有一次的落点在乙上这一事件为
(II)
0
1
2
3
4
6
19.(本小题满分12分)
已知等差数列的公差为2,前项和为,且,,成等比数列。
(I)求数列的通项公式;
(II)令=求数列的前项和。
解:(I)
解得
(II)
20.( 本小题满分13分)
设函数(为常数,是自然对数的底数)
(I)当时,求函数的单调区间;
(II)若函数在内存在两个极值点,求k的取值范围。
21.(本小题满分14分)
已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有|,当点的横坐标为3时,为正三角形。
(I)求的方程;
(II)若直线,且和有且只有一个公共点,
(i)证明直线过定点,并求出定点坐标;
(ii)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由。