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  • 2021-05-13 发布

山东高考理科数学试题及详细解析

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‎2014年全国统一高考(山东)理科真题及详解 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,选择符合题目要求的选项。‎ 1. 已知是虚数单位,若与互为共轭复数,则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 答案:D 解析:与互为共轭复数,‎ 2. 设集合则 ‎(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) ‎ 答案:C 解析:‎ 3. 函数的定义域为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 答案:C 解析:‎ 或 ‎ 或。‎ ‎4. 用反证法证明命题“设则方程至少有一个实根”时要做的假设是 ‎(A)方程没有实根 (B)方程至多有一个实根 ‎(C)方程至多有两个实根 (D)方程恰好有两个实根 5. 已知实数满足,则下列关系式恒成立的是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 答案:D 解析:‎ ‎,排除A,B,对于C ,是周期函数,排除C。‎ ‎6.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ‎(A)(B)(C)2(D)4‎ 答案:D 解析:‎ ‎,‎ 第一象限 ‎7.为了研究某药厂的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ 答案:C 解析:第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4‎ ‎8.已知函数,.若方程有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是 ‎(A)(B)(C)(D)‎ 答案:B 解析:画出的图象最低点是,过原点和时斜率最小为,斜率最大时的斜率与的斜率一致。‎ ‎9.已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时,的最小值为 ‎(A)(B)(C)(D)‎ 答案:B 解析:求得交点为,则,即圆心到直线的距离的平方。‎ ‎10.已知,椭圆的方程为,双曲线的方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为 ‎(A)(B)(C)(D)‎ 答案:A 解析:‎ 二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,答案须填在题中横线上。‎ 11. 执行下面的程序框图,若输入的的值为1,‎ 则输出的的值为。‎ 答案:3‎ 解析:根据判断条件,得,‎ 输入 第一次判断后循环,‎ 第二次判断后循环,‎ 第三次判断后循环,‎ 第四次判断不满足条件,退出循环,输出 12. 在中,已知,当时,的面积为。‎ 答案:‎ 解析:由条件可知,‎ ‎ 当,‎ 13. 三棱锥中,分别为的中点,记三棱锥的体积为,的体积为,则。‎ 答案:‎ 解析:分别过向平面做高,由为的中点得,‎ 由为的中点得,所以 14. 若的展开式中项的系数为20,则的最小值为。‎ 答案:2‎ 解析:将展开,得到,令.‎ 由,得,所以.‎ 15. 已知函数,对函数,定义关于的“对称函数”为函数,满足:对任意,两个点关于点对称,若是关于的“对称函数”,且恒成立,则实数的取值范围是。‎ 答案:‎ 解析:根据图像分析得,当与在第二象限相切时,‎ ‎,由恒成立得.‎ 三.解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知向量,函数,且的图像过 点和点.‎ ‎(I)求的值;‎ ‎(II)将的图像向左平移个单位后得到函数的图像,若 图像上各最高点到点的距离的最小值为1,求的单调递增区间.‎ 解:(Ⅰ)已知,‎ 过点 ‎ ‎ 解得 ‎(Ⅱ)‎ 左移后得到 设的对称轴为,解得 ‎,解得 ‎ ‎ 的单调增区间为 ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,在四棱柱中,底面是等腰梯形,,是线段的中点. ‎ ‎(I)求证:; ‎ ‎(II)若垂直于平面且,求平面和平面所成的角(锐角)的余弦值.‎ 解:(Ⅰ)连接 为四棱柱, ‎ 又为的中点,‎ ‎,‎ ‎,‎ 为平行四边形 又 ‎ ‎(Ⅱ)方法一: ‎ ‎ 作,连接 则即为所求二面角 在中, ‎ 在中,, ‎ 方法二:作于点 以为原点,为轴,为轴,为轴建立空间坐标系,‎ 设平面的法向量为 ‎ ‎ 显然平面的法向量为 显然二面角为锐角,‎ 所以平面和平面所成角的余弦值为 ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎ 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域,乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在上的概率为,在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次,小明的两次回球互不影响.求:‎ ‎(I)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;‎ ‎(II)两次回球结束后,小明得分之和的分布列与数学期望.‎ 解:(I)设恰有一次的落点在乙上这一事件为 ‎(II)‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知等差数列的公差为2,前项和为,且,,成等比数列。‎ ‎(I)求数列的通项公式;‎ ‎(II)令=求数列的前项和。‎ 解:(I)‎ 解得 ‎(II)‎ ‎20.( 本小题满分13分)‎ ‎ 设函数(为常数,是自然对数的底数)‎ ‎(I)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(II)若函数在内存在两个极值点,求k的取值范围。‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ ‎ 已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有|,当点的横坐标为3时,为正三角形。‎ ‎(I)求的方程;‎ ‎(II)若直线,且和有且只有一个公共点,‎ ‎ (i)证明直线过定点,并求出定点坐标;‎ ‎ (ii)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由。‎