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  • 2021-05-13 发布

高考数学理考前60天冲刺六大解答题空间向量与立体几何专练

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‎2012届高考数学(理)考前60天冲刺【六大解答题】‎ 空间向量与立体几何 ‎1.如图,棱柱ABCD—A1B‎1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形,,,侧棱,棱AA1与底面所成的角为,点F为DC1的中点.‎ ‎(I)证明:OF//平面;‎ ‎(II)求三棱锥的体积.‎ ‎2.如图,在四棱锥中,平面,四边形是菱形,,,是上任意一点.‎ ‎(1) 求证:;‎ ‎(2) 当面积的最小值是9时,证明平面.‎ ‎3.如图,在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,‎ PD⊥平面ABCD,E、F分别是PB、AD的中点,PD=2.‎ ‎(1)求证:BC⊥PC; ‎ ‎(2)求证:EF//平面PDC; ‎ ‎(3)求三棱锥B—AEF的体积。‎ ‎4.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图,在直观图中,M是BD的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示。‎ ‎ (Ⅰ)求该几何体的体积;‎ A B C E D M ‎·‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ 左视图 俯视图 ‎ (Ⅱ)求证:EM∥平面ABC;‎ ‎ ‎ ‎5.如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,,交 AC 于点 M,平面,,AC=4,EA=3,FC=1.‎ ‎(I)证明:EM⊥BF;‎ ‎(II)求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值.‎ ‎6.如图,在底面为直角梯形的四棱锥中,平面,,,.‎ ‎⑴求证:;‎ ‎(2)设点在棱上,,若∥平面,求的值.‎ ‎,为的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求点到面的距离.‎ ‎9.在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC都是边长为的等边三角形,AB=2,O,D分别是AB,PB的中点.‎ ‎(1)求证:OD∥平面PAC;‎ ‎(2)求证:PO⊥平面ABC;‎ ‎(3)求三棱锥P-ABC的体积.‎ ‎11如图所示,三棱柱中,,A B C A1‎ C1‎ O B1‎ 平面平面,‎ 又,与相交于点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;‎ ‎12.如图所示,直角梯形与等腰直角所在平面互相垂直,为的中 点,,∥,.[‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;来源 ‎(Ⅱ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅲ)求四面体的体积.‎ ‎13.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图,在直观图中,M是BD的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示。‎ ‎ (Ⅰ)求该几何体的体积;‎ A B C E D M ‎·‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ 左视图 俯视图 ‎ (Ⅱ)求证:EM∥平面ABC;‎ ‎15.如图所示,四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA⊥面ABCD,PA=2,过点A作AE⊥PB,AF⊥PC,连接EF.‎ ‎ (1)求证:PC⊥面AEF;‎ ‎ (2)若面AEF交侧棱PD于点G(图中未标出点G),求多面体P—AEFG的体积。‎ ‎16.如图,在三棱锥中,平面,,为侧棱上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)求三棱锥的体积;‎ ‎(3)在的平分线上确定一点,使得平面,并求此时的长.‎ ‎ 18.‎ ‎17.已知在四棱锥中,底面是边长为4的正方形,是正三角形,平面⊥平面,分别是的中点.‎ ‎(I)求平面平面;‎ ‎(II)若是线段上一点,求三棱锥的体积.‎ ‎(第20题)‎ ‎18.如图,在梯形中,‎ ‎,,,‎ 四边形为矩形,平面平面,‎ ‎.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)设点为中点,‎ 求二面角的余弦值.‎ A B C D E F ‎19.如图,FD垂直于矩形ABCD所在平面,CE//DF,.‎ ‎(Ⅰ)求证:BE//平面ADF;‎ ‎(Ⅱ)若矩形ABCD的一个边AB =,EF =,则另一边BC的长为何值时,三棱锥F-BDE的体积为?‎ A B D C M P N ‎(第20题)‎ ‎21. 已知正四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2 的正方形,高为.M为线段PC的中点.‎ ‎(Ⅰ) 求证:PA∥平面MDB;‎ ‎(Ⅱ) N为AP的中点,求CN与平面MBD所成角的正切值.‎ ‎22.如图,已知直四棱柱,底面为菱形,,‎ 为线段的中点,为线段的中点. ‎ ‎(Ⅰ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅱ)当的比值为多少时,平面,‎ 并说明理由.‎ ‎,.‎ ‎23.如图,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B.‎ ‎(1)证明:平面AB1C⊥平面A1BC1;‎ ‎(2)设D是A1C1上的点,且A1B∥平面B1CD,求A1D∶DC1的值.‎ ‎24.如图,在四棱锥中,平面,四边形是菱形,,,是上任意一点。‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)当面积的最小值是9时,在线段上是否存在点,使与平面所成角的正切值为2?若存在?求出的值,若不存在,请说明理由 ‎25.如图,在四棱锥中,平面,四边形是菱形,,,是上任意一点。‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)当面积的最小值是9时,在线段上是否存在点,使与平面所成角的正切值为2?若存在?求出的值,若不存在,请说明理由 ‎26.‎ 如图:在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,沿对角线BD把△ABD折起,使A移到A1点,过点A1作A1O⊥平面BCD,垂足O恰好落在CD上.‎ ‎(1)求证:BC⊥A1D;‎ ‎(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.‎ ‎27.B A E D C F 如图的几何体中,平面,平面,△为等边三角形, ,为的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求证:平面平面.‎ ‎28一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.‎ ‎(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积;‎ ‎(2)证明:A‎1C⊥平面AB‎1C1;‎ ‎(3)若D是棱CC1的中点,在棱AB上取中点E,判断DE是否平行于平面AB‎1C1,并证明你的结论.‎ ‎29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.‎ ‎(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积;‎ ‎(2)证明:A‎1C⊥平面AB‎1C1;‎ ‎(3)若D是棱CC1的中点,在棱AB上取中点E,判断DE是否平行于平面AB‎1C1‎ ‎,并证明你的结论.‎ ‎30.如图,已知矩形的边与正方形所在平面垂直,,,是线段的中点。‎ ‎(1)求异面直线与直线所成的角的大小;‎ ‎(2)求多面体的表面积。‎ ‎31.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB。‎ ‎(1)求证:CE⊥平面PAD;‎ ‎(2)若PA=AB=1,AD=3,CD=,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积 ‎32.如下图(图1)等腰梯形PBCD,A为PD上一点,且AB⊥PD,AB=BC,AD=2BC,沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为的二面角,连结PC、PD,在AD上取一点E使得3AE=ED,连结PE得到如下图(图2)的一个几何体.‎ ‎ (1)求证:平面PAB平面PCD;‎ 图2‎ ‎ (2)求PE与平面PBC所成角的正弦值.‎ ‎33.如图,在直三棱柱中,90°,,是的中点. ‎ ‎(Ⅰ)求异面直线与所成的角;‎ ‎(Ⅱ)若为上一点,且,求二面角的大小.‎ 解法一:‎ ‎ (Ⅰ)∴异面直线与所成的角为. ……………………………6分 ‎ (Ⅱ) ∴所求二面角为.‎ ‎34.如图,在四棱锥中,平面,四边形是菱形,,,是上任意一点。‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)当面积的最小值是9时,在线段上是否存在点,使与平面所成角的正切值为2?若存在?求出的值,若不存在,请说明理由 ‎35.如图,PA⊥平面ABCD,ABCD是矩 P B A C D F E 形,PA=AB=1,,点F是PB的中点,点E在边BC 上移动。‎ ‎⑴求三棱锥E-PAD的体积;‎ ‎⑵当E点为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的 位置关系,并说明理由;‎ ‎⑶证明:无论点E在边BC的何处,都有PE⊥AF。‎ ‎36.(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,在四棱锥P - ABCD中,平面PAD上平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD =2AD =8,AB =2DC =。 ‎ ‎ (I)设M是PC上的一点,证明:平面MBD平面PAD; ‎ ‎ (Ⅱ)求三棱锥C—PAB的体积 答 案 ‎1.如图,棱柱ABCD—A1B‎1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形,,,侧棱,棱AA1与底面所成的角为,点F为DC1的中点.‎ ‎(I)证明:OF//平面;‎ ‎(II)求三棱锥的体积.‎ 解:(I)四边形ABCD为菱形且,‎ ‎ 是的中点 . ....................2分 ‎ 又点F为的中点, 在中,, ...................................4分 ‎ 平面,平面 , 平面..........6分 ‎ ‎(II)四边形ABCD为菱形,‎ ‎ , 又,‎ 且平面 ,‎ ‎ 平面, ‎ ‎ 平面 , ‎ ‎ 平面平面. ......................8分 ‎ 在平面内过作,则,‎ 是与底面所成的角,‎ ‎. ................................10分 在, ‎ 故三棱锥 底面上的高为,又,‎ 所以,三棱锥的体积 .‎ ‎2.如图,在四棱锥中,平面,四边形是菱形,,,是上任意一点.‎ ‎(1) 求证:;‎ ‎(2) 当面积的最小值是9时,证明平面.‎ ‎.解:(1)证明:连接,设与相交于点。 因为四边形是菱形,‎ 所以。 又因为平面,平面 为上任意一点,平面,所以------------------------- ------ 7分 ‎(2)连.由(I),知平面,平面,所以.‎ 在面积最小时,最小,则.‎ ‎,解得-------------------10分 由且得平面则,‎ 又由 得,而,故平面--‎ ‎3.如图,在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,‎ PD⊥平面ABCD,E、F分别是PB、AD的中点,PD=2.‎ ‎(1)求证:BC⊥PC; ‎ ‎(2)求证:EF//平面PDC; ‎ ‎(3)求三棱锥B—AEF的体积。‎ 解证:(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形 ‎ ∴BCDC 又PD面ABCD, BC面ABCD ‎∴BCPD, 又PDDC=D ‎∴BC面PDC 从而BCPC--------------------4分 ‎(Ⅱ)取PC的中点G,连结EG,GD,则 ‎ ∴四边形EFGD是平行四边形。 ∴EF//GD, ‎ 又  ‎ ‎ ∴EF//平面PDC.…………………---------------------8分 ‎(Ⅲ)取BD中点O,连接EO,则EO//PD,‎ ‎ ∵PD⊥平面ABCD, ∴EO⊥底面ABCD, ‎ ‎ ------------12分 ‎4.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图,在直观图中,M是BD的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示。‎ ‎ (Ⅰ)求该几何体的体积;‎ ‎ (Ⅱ)求证:EM∥平面ABC;‎ ‎ (Ⅰ)∵EA平面ABC,∴EAAB,又ABAC, ∴AB平面ACDE ‎………………6分 ‎∵M为BD的中点, ∴MG∥CD且MG=CD,于是MG∥AE,且MG=AE,‎ 所以四边形AGME为平行四边形,∴EM∥AG, ∴EM∥平面ABC ‎ ‎5.如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,,交 AC 于点 M,平面,,AC=4,EA=3,FC=1.‎ ‎(I)证明:EM⊥BF;‎ ‎(II)求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值.‎ ‎,即(也可由勾股定理证得).‎ ‎, 平面.‎ 而平面,‎ ‎. ………………………………………………………………………………6分 ‎(2)延长交于,连,过作,连结.‎ 由(1)知平面,平面,‎ ‎.‎ 而,平面.‎ 平面,‎ ‎,‎ 为平面与平面所成的 二面角的平面角. ……………………8分 在中,,,‎ ‎.‎ 由,得.‎ ‎,则.‎ 是等腰直角三角形,.‎ 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎6.如图,在底面为直角梯形的四棱锥中,平面,,,.‎ ‎⑴求证:;‎ ‎(2)设点在棱上,,若∥平面,求的值.‎ ‎(1)证明:由题意知 则 ‎ ------------- 6分 (2) 过作//交于 连结,‎ ‎ ∵∥,∴∥平面.‎ 又∵∥平面,∴平面∥平面,∴∥.‎ 又∵ ‎ ‎ ∴∴,即-‎ ‎7.图,棱柱ABCD—A1B‎1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形,,,侧棱,棱AA1与底面所成的角为,点F为DC1的中点.‎ ‎(I)证明:OF//平面;‎ ‎(II)求三棱锥的体积.‎ 解:(I)四边形ABCD为菱形且,‎ ‎ 是的中点 . ....................2分 ‎ 又点F为的中点, 在中,, ...................................4分 ‎ 平面,平面 , 平面..........6分 ‎ ‎(II)四边形ABCD为菱形,‎ ‎ , 又,‎ 且平面 ,‎ ‎ 平面, ‎ ‎ 平面 , ‎ ‎ 平面平面. ......................8分 ‎ 在平面内过作,则,‎ 是与底面所成的角,. ................................10分 在, ‎ 故三棱锥 底面上的高为,又,‎ 所以,三棱锥的体积 ‎ ‎8.已知四棱锥的底面为菱形,且,‎ ‎,为的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求点到面的距离.‎ ‎(I)证明:连接 ‎ ‎ ‎ 为等腰直角三角形 为的中点 ‎ ‎ ……………………2分 ‎ 又 ‎ 是等边三角形 ‎ ,………………………………4分 又 ‎ ,即 ‎ ……………………6分 ‎ ‎ ‎(II)设点到面的距离为 ‎ …………8分 ‎ ,到面的距离 ‎ ‎ ‎ ………………………………10分 ‎ ‎ ‎ 点到面的距离为 ‎9.在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC都是边长为的等边三角形,AB=2,O,D分别是AB,PB的中点.‎ ‎(1)求证:OD∥平面PAC;‎ ‎(2)求证:PO⊥平面ABC;‎ ‎(3)求三棱锥P-ABC的体积.‎ ‎(1)分别为的中点,∴∥‎ 又平面,平面 ‎∴∥平面.………………………4分 ‎(2)如图,连结 ‎,为中点,,‎ ‎ ∴⊥,.‎ 同理, ⊥,.………………6分 又,∴,∴.‎ ‎∴⊥.⊥,⊥,,‎ ‎⊥平面.…………………………………………………………………8分 ‎(3)由(2)可知垂直平面 ‎∴为三棱锥的高,且 ‎.‎ ‎11如图所示,三棱柱中,, 平面平面,‎ 又,与相交于点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;‎ ‎【解】(Ⅰ)由题知,,‎ 所以为正三角形,所以,………………1分 又因为,且 所以为正三角形,………………………2分 又平行四边形的对角线相交于点,所以为的中点,‎ 所以…………………………3分 又平面平面,且平面平面,…………4分 且平面………………………………5分 所以平面…………………………6分 ‎(Ⅱ)〖解法一〗连结交于,取中点,连结,,‎ ‎ 则,又平面 ‎ 所以平面,,……7分 ‎ 所以直线与平面所成角为.…………8分 而在等边中,,所以,,‎ 同理可知,,‎ 在中,………………10分 所以中,,.‎ 所以与平面所成角的正弦值为.……………12分 ‎〖解法二〗由于,平面,所以平面,……7分 ‎ 所以点到平面的距离即点到平面的距离,‎ ‎ 由平面,所以到平面的距离即,…………………8分 ‎ 也所以与平面所成角的正弦值为,…………………9分 而在等边中,,所以,‎ 同理可知,,所以,………10分 又易证平面,所以,‎ 也所以,………………………11分 所以 即与平面所成角的正弦值为.‎ ‎12.如图所示,直角梯形与等腰直角所在平面互相垂直,为的中 点,,∥,.[‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;来源 ‎(Ⅱ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅲ)求四面体的体积.‎ ‎ 解:(Ⅰ)∵面面,面面,,‎ ‎∴面, 2分 又∵面,∴平面平面. 4分 ‎(Ⅱ)取的中点,连结、,则 ,‎ 又∵,∴, 6分 ‎∴四边形是平行四边形,∴∥,‎ 又∵面且面,∴∥面. 8分 ‎(Ⅲ)∵,面面=, ∴面.‎ ‎∴就是四面体的高,且=2. 10分 ‎∵==2=2,∥,‎ ‎∴‎ ‎∴ ∴‎ ‎13.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图,在直观图中,M是BD的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示。‎ ‎ (Ⅰ)求该几何体的体积;‎ ‎ (Ⅱ)求证:EM∥平面ABC;‎ ‎ (Ⅰ)∵EA平面ABC,∴EAAB,又ABAC, ∴AB平面ACDE ‎………………6分 ‎∵M为BD的中点, ∴MG∥CD且MG=CD,于是MG∥AE,且MG=AE,‎ 所以四边形AGME为平行四边形,∴EM∥AG, ∴EM∥平面ABC.19. (本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,.(Ⅰ)求证:平面 ‎ (Ⅱ)若求与所成角的余弦值;‎ ‎ (Ⅲ)当平面与平面垂直时,求的长.‎ ‎ 证明:(Ⅰ)因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.‎ 又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD. 所以BD⊥平面PAC.‎ ‎(Ⅱ)设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°,PA=PB=2, 所以BO=1,AO=CO=.‎ 如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O—xyz,则 P(0,—,2),A(0,—,0),B(1,0,0),C(0,,0).‎ 所以 设PB与AC所成角为,则.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知设P(0,-,t)(t>0),则 设平面PBC的法向量,则 所以令则所以 同理,平面PDC的法向量 ‎ 因为平面PCB⊥平面PDC,所以=0,即解得所以PA=‎ EF= SE=(10分)‎ ‎15.如图所示,四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA⊥面ABCD,PA=2,过点A作AE⊥PB,AF⊥PC,连接EF.‎ ‎ (1)求证:PC⊥面AEF;‎ ‎ (2)若面AEF交侧棱PD于点G(图中未标出点G),求多面体P—AEFG的体积。‎ 解析:(1)证明:PA⊥面ABCD,BC在面内,∴ PA⊥BC BA⊥BC,BC∩BA=B,∴BC⊥面PAB,又∵AE在面PAB内∴ BC⊥AEAE⊥PB,BC∩PB=B, ,∴AE⊥面PBC又∵PC在面PBC内AE⊥PC, AE⊥PC, AE∩AF=A, ∴PC⊥面AEF.………5分 ‎ (2)PC⊥面AEF, ∴ AG⊥PC, AG⊥DC ∴PC∩DC=C AG⊥面PDC, ∵GF在面PDC内∴AG⊥GF△AGF是直角三角形,由(1)可知△AEF是直角三角形,AE=AG=,EF=GF=‎ ‎∴, 又AF=,PF=∴,∴ ‎ ‎16.如图,在三棱锥中,平面,,为侧棱上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)求三棱锥的体积;‎ ‎(3)在的平分线上确定一点,使得平面,并求此时的长.‎ ‎ 18.‎ 解:(1)因为平面,所以,‎ 又,所以平面,所以.‎ 由三视图可得,在中,,为中点,所以,‎ 所以平面,…………4分 ‎(2)由三视图可得,‎ 由⑴知,平面,‎ 又三棱锥的体积即为三棱锥的体积,‎ 所以,所求三棱锥的体积.…………8分 ‎(3)取的中点,连接并延长至,使得,点即为所求.‎ 因为为中点,所以,‎ 因为平面,平面,所以平面,‎ 连接,,四边形的对角线互相平分,‎ 所以为平行四边形,所以,又平面,‎ 所以在直角中,.…………12分 ‎17.已知在四棱锥中,底面是边长为4的正方形,是正三角形,平面⊥平面,分别是的中点.‎ ‎(I)求平面平面;‎ ‎(II)若是线段上一点,求三棱锥的体积.‎ ‎(I)证明:,‎ ‎∴平面PAD, ………(6分)‎ ‎∵EF//CD,∴平面PAD,‎ ‎∵平面EFG,∴平面EFG平面PAD; ‎ ‎(II)解:∵CD//EF,∴CD//平面EFG,故CD上的点M到平面EFG的距离 等于D到平面EFG的距离,∴, ‎ ‎,平面EFGH平面PAD于EH, ‎ ‎∴D到平面EFG的距离即三角形EHD的高,等于 ‎∴.‎ ‎18.如图,在梯形中,‎ ‎,,,‎ 四边形为矩形,平面平面,‎ ‎.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)设点为中点,‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎ (1)证明:‎ 则,,则得 ‎,面平面,‎ 面平面 平面. ……7分 ‎(II)过作交于点,连,‎ ‎ 则为二面角的平面角,在中,,,则二面角的余弦值为.‎ ‎19.如图,FD垂直于矩形ABCD所在平面,CE//DF,.‎ ‎(Ⅰ)求证:BE//平面ADF;‎ ‎(Ⅱ)若矩形ABCD的一个边AB =,EF =,则另一边BC的长为何值时,三棱锥F-BDE的体积为?‎ 解(Ⅰ)过点E作CD的平行线交DF于点M,连接AM.‎ 因为CE//DF,所以四边形CEMD是平行四边形.可得EM = CD且EM //CD,于是四边形BEMA也是平行四边形,所以有BE//AM,而直线BE在平面ADF外,所以BE//平面ADF. ——————6分 ‎ ‎(Ⅱ)由EF =,EM = AB =,得FM = 3且.‎ 由可得FD = 4,从而得DE = 2.————8分 因为,,所以平面CDFE.‎ 所以,. ————10分 因为,,所以.‎ 综上,当时,三棱锥F-BDE的体积为.‎ ‎20.如图,FD垂直于矩形ABCD所在平面,CE//DF,.‎ ‎(Ⅰ)求证:BE//平面ADF;‎ ‎(Ⅱ)若矩形ABCD的一个边AB =,EF =,则另一边BC的长为何值时,三棱锥F-BDE的体积为?‎ 解(Ⅰ)过点E作CD的平行线交DF于点M,连接AM.‎ 因为CE//DF,所以四边形CEMD是平行四边形.可得EM = CD且EM //CD,于是四边形BEMA也是平行四边形,所以有BE//AM,而直线BE在平面ADF外,所以BE//平面ADF. ——————6分 ‎ ‎(Ⅱ)由EF =,EM = AB =,得FM = 3且.‎ 由可得FD = 4,从而得DE = 2.————8分 因为,,所以平面CDFE.‎ 所以,. ————10分 因为,,所以.‎ 综上,当时,三棱锥F-BDE的体积为.‎ ‎21. 已知正四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2 的正方形,高为.M为线段PC的中点.‎ ‎(Ⅰ) 求证:PA∥平面MDB;‎ ‎(Ⅱ) N为AP的中点,求CN与平面MBD所成角的正切值.‎ 本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面角等基础知识,同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。‎ ‎(Ⅰ)证明:在四棱锥P-ABCD中,连结AC交BD于点O,连结OM,PO.由条件可得PO=,AC=2,PA=PC=2,CO=AO=.‎ 因为在△PAC中,M为PC的中点,O为AC的中点,‎ 所以OM为△PAC的中位线,得OM∥AP,‎ 又因为AP平面MDB,OM平面MDB,‎ 所以PA∥平面MDB. …………6分 ‎(Ⅱ) 解:设NC∩MO=E,由题意得BP=BC=2,且∠CPN=90°.‎ 因为M为PC的中点,所以PC⊥BM,‎ 同理PC⊥DM,故PC⊥平面BMD.‎ 所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM,∠MEC为直线CN与平面BMD所成的角,‎ 又因为OM∥PA,所以∠PNC=∠MEC.‎ 在Rt△CPN中,CP=2,NP=1,所以tan∠PNC=,‎ 故直线 CN与平面BMD所成角的正切值为2‎ ‎22.如图,已知直四棱柱,底面为菱形,,‎ 为线段的中点,为线段的中点. ‎ ‎(Ⅰ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅱ)当的比值为多少时,平面,‎ 并说明理由.‎ ‎(Ⅰ)证明:连接,由题意可知点为的中点.因为点为的中点.‎ 在中,.……………………………………………………………2分 又面,,.……………………6分 ‎(Ⅱ)当时,. ………………………………………7分 四边形为菱形,且,.‎ 四棱柱为直四棱柱,四边形为矩形.‎ 又,,‎ 四边形为正方形, ……………………10分 在直四棱柱中,,,‎ 四边形为菱形,.‎ ‎,.‎ ‎,,又,.…………………13分 ‎,.‎ ‎23.如图,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B.‎ ‎(1)证明:平面AB1C⊥平面A1BC1;‎ ‎(2)设D是A1C1上的点,且A1B∥平面B1CD,求A1D∶DC1的值.‎ 解:(1)证明:因为侧面BCC1B1是菱形,所以B1C⊥BC1.‎ 又B1C⊥A1B,且A1B∩BC1=B,所以B1C⊥平面A1BC1.又B1C⊂平面AB1C,所以平面AB1C⊥平面A1BC1.‎ ‎(2)设BC1交B1C于点E,连结DE,则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线.‎ 因为A1B∥平面B1CD,‎ 所以A1B∥DE.‎ 又E是BC1的中点,‎ 所以D为A1C1的中点,‎ 即A1D∶DC1=1.‎ ‎24.如图,在四棱锥中,平面,四边形是菱形,,,是上任意一点。‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)当面积的最小值是9时,在线段上是否存在点,使与平面所成角的正切值为2?若存在?求出的值,若不存在,请说明理由 解:(1)证明:连接,设与相交于点。‎ ‎ 因为四边形是菱形,所以。‎ ‎ 又因为平面,平面 ‎ 为上任意一点,平面,所以--------------7分 ‎(2)连.由(I),知平面,平面,所以.‎ 在面积最小时,最小,则.‎ ‎,解得--------------10分 由且得平面则,‎ 又由 得,而,故平面 作交于点,则平面,所以就是与平面所成角.‎ 在直角三角形中,‎ 所以,设,则。‎ 由得。‎ 由得,即--------------14分 ‎25.如图,在四棱锥中,平面,四边形是菱形,,,是上任意一点。‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)当面积的最小值是9时,在线段上是否存在点,使与平面所成角的正切值为2?若存在?求出的值,若不存在,请说明理由 解:(1)证明:连接,设与相交于点。‎ ‎ 因为四边形是菱形,所以。‎ ‎ 又因为平面,平面 ‎ 为上任意一点,平面,所以--------------7分 ‎(2)连.由(I),知平面,平面,所以.‎ 在面积最小时,最小,则.‎ ‎,解得--------------10分 由且得平面则,‎ 又由 得,而,故平面 作交于点,则平面,所以就是与平面所成角.‎ 在直角三角形中,‎ 所以,设,则。‎ 由得。‎ 由得,即 ‎26.‎ 如图:在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,沿对角线BD把△ABD折起,使A移到A1点,过点A1作A1O⊥平面BCD,垂足O恰好落在CD上.‎ ‎(1)求证:BC⊥A1D;‎ ‎(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.‎ 解:(1)因为A1O⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,∴BC⊥A1O,‎ 因为BC⊥CD,A1O∩CD=O,∴BC⊥面A1CD.‎ 因为A1D⊂面A1CD,∴BC⊥A1D.(6分)‎ ‎(2)连结BO,则∠A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角.‎ 因为A1D⊥BC,A1D⊥A1B,A1B∩BC=B,∴A1D⊥面A1BC.A‎1C⊂面A1BC,∴A1D⊥A‎1C.‎ 在Rt△DA‎1C中,A1D=3,CD=5,∴A‎1C=4.‎ 根据S△A1CD=A1D·A‎1C=A1O·CD,得到A1O=,‎ 在Rt△A1OB中,sin∠A1BO===.‎ 所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为.(12分)‎ ‎27. 如图的几何体中,平面,平面,△为等边三角形, ,为的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求证:平面平面.‎ ‎(1)证明:取的中点,连结.‎ ‎∵为的中点,∴且.‎ ‎∵平面,平面, ‎ ‎∴,∴. 又,∴. ‎ ‎∴四边形为平行四边形,则. ‎ ‎∵平面,平面, ∴平面.…………7分 ‎(2)证明:∵为等边三角形,为的中点,∴ ‎ ‎∵平面,,∴. ‎ ‎∵,∴又, ‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面, ∴平面平面.‎ ‎28一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.‎ ‎(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积;‎ ‎(2)证明:A‎1C⊥平面AB‎1C1;‎ ‎(3)若D是棱CC1的中点,在棱AB上取中点E,判断DE是否平行于平面AB‎1C1,并证明你的结论.‎ ‎29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.‎ ‎(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积;‎ ‎(2)证明:A‎1C⊥平面AB‎1C1;‎ ‎(3)若D是棱CC1的中点,在棱AB上取中点E,判断DE是否平行于平面AB‎1C1,并证明你的结论.‎ 解:(1)几何体的直观图如图.‎ 四边形BB‎1C1C是矩形,BB1=CC1=,BC=1,四边形AA‎1C1C是边长为的正方形,且垂直于底面BB‎1C1C,∴其体积V=×1××= 4分 ‎(2)证明:∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC. ‎ ‎∵三棱柱ABC-A1B‎1C1为直三棱柱,∴BC⊥CC1. ‎ ‎∵AC∩CC1=C,∴BC⊥平面ACC‎1A1,‎ ‎∴BC⊥A‎1C.∵B‎1C1∥BC,∴B‎1C1⊥A‎1C.‎ ‎∵四边形ACC‎1A1为正方形,∴A‎1C⊥AC1.‎ ‎∵B‎1C1∩AC1=C1,‎ ‎∴A‎1C⊥平面AB‎1C1. 8分 ‎(3)当E为棱AB的中点时,‎ DE∥平面AB‎1C1.‎ 证明:如图,取BB1的中点F,连结EF,FD,DE,‎ ‎∵D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,∴EF∥AB1. ‎ ‎∵AB1⊂平面AB‎1C1,EF⊄平面AB‎1C1,‎ ‎∴EF∥平面AB‎1C1.‎ 同理可得FD∥平面AB‎1C1,‎ 又EF∩FD=F,∴平面DEF∥平面AB‎1C1.‎ 而DE⊂平面DEF,∴DE∥平面AB‎1C1. 12分 ‎30.如图,已知矩形的边与正方形所在平面垂直,,,是线段的中点。‎ ‎(1)求异面直线与直线所成的角的大小;‎ ‎(2)求多面体的表面积。‎ 解:(1)因为,所以即为异面直线与所成的角(或其补角),…………… 2分 连结,在中,所以,‎ 又,所以,所以是等边三角形,‎ ‎…………… 5分 所以,即异面直线与所成的角为;…………… 6分 ‎(2)…………… 8分 ‎…………… 10分 ‎。‎ ‎31.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB。‎ ‎(1)求证:CE⊥平面PAD;‎ ‎(2)若PA=AB=1,AD=3,CD=,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积 ‎【解析】(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE,‎ 因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PAAD=A,所以CE⊥平面PAD.‎ ‎(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.‎ 又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以 ‎==,又PA⊥平面ABCD,PA=1,‎ 所以四棱锥P-ABCD的体积等于 ‎32.如下图(图1)等腰梯形PBCD,A为PD上一点,且AB⊥PD,AB=BC,AD=2BC,沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为的二面角,连结PC、PD,在AD上取一点E使得3AE=ED,连结PE得到如下图(图2)的一个几何体.‎ ‎ (1)求证:平面PAB平面PCD;‎ ‎ (2)求PE与平面PBC所成角的正弦值.‎ 解:(1)证明:,又二面角P-AB-D为 ‎ ,又AD=2PA ‎ ‎ 有平面图形易知:AB平面APD,又,,‎ ‎,且 ‎ ,又,平面PAB平面PCD---------7分 ‎ (2)设E到平面PBC的距离为,AE//平面PBC ‎ 所以A 到平面PBC的距离亦为 ‎ 连结AC,则,设PA=2‎ ‎ =‎ ‎ ,设PE与平面PBC所成角为 ‎ ---------------14分 ‎33.如图,在直三棱柱中,90°,,是 的中点. ‎ ‎(Ⅰ)求异面直线与所成的角;‎ ‎(Ⅱ)若为上一点,且,求二面角的大小.‎ 解法一:‎ ‎ (Ⅰ)∴异面直线与所成的角为. ……………………………6分 ‎ (Ⅱ) ∴所求二面角为.‎ ‎34.如图,在四棱锥中,平面,四边形是菱形,,,是上任意一点。‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)当面积的最小值是9时,在线段上是否存在点,使与平面所成角的正切值为2?若存在?求出的值,若不存在,请说明理由 解:(1)证明:连接,设与相交于点。‎ ‎ 因为四边形是菱形,所以。‎ ‎ 又因为平面,平面 ‎ 为上任意一点,平面,所以--------------7分 ‎(2)连.由(I),知平面,平面,所以.‎ 在面积最小时,最小,则.‎ ‎,解得--------------10分 由且得平面则,‎ 又由 得,而,故平面 作交于点,则平面,所以就是与平面所成角.‎ 在直角三角形中,‎ 所以,设,则。‎ 由得。‎ 由得,即 ‎35.如图,PA⊥平面ABCD,ABCD是矩 形,PA=AB=1,,点F是PB的中点,点E在边BC 上移动。‎ ‎⑴求三棱锥E-PAD的体积;‎ ‎⑵当E点为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的 位置关系,并说明理由;‎ ‎⑶证明:无论点E在边BC的何处,都有PE⊥AF。‎ 解:‎ ‎(1)因为点E到平面PAD的距离即为1,所以 ‎····················4分 ‎(2)直线EF与平面PAC平行 因为E、F两点分别为边PB和BC的中点,所以EF//PC,且直线EF不在平面PAC内,直线PC在平面PAC内,所以,直线EF//面PAC ‎····················8分 ‎(3)因为PA=AB且F为PB中点,所以AF⊥PB,又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,由于地面ABCD为矩形,所以BC⊥AB,所以BC⊥面PAB,所以BC⊥AF,所以AF⊥面PBC,所以无论点E在BC上何处时,总有AF⊥PE。‎ ‎36.‎ ‎ 如图,在四棱锥P - ABCD中,平面PAD上平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD =2AD =8,AB =2DC =。 ‎ ‎ (I)设M是PC上的一点,证明:平面MBD平面PAD; ‎ ‎ (Ⅱ)求三棱锥C—PAB的体积 证明:‎ ‎(Ⅰ)在中,由于,,,‎ 所以.故.……………………………………………2分 又平面平面,平面平面,平面,‎ 所以平面. …………………………………………………………………4分 又平面,故平面平面.…………………………………6分 O P M D C A ‎(Ⅱ)过作交于,‎ 由于平面平面,[来源:Z#xx#k.Com]‎ 所以平面.‎ 因此为棱锥P-ABC的高.………………8分 又是边长为4的等边三角形.[来源:Zxxk.Com]‎ 因此.‎ 又,………10分