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- 2021-05-13 发布
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2009年高考数学试题分类汇编——向量
一、选择题
1.(2009年广东卷文)已知平面向量a= ,b=, 则向量
A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
【答案】
【解析】,由及向量的性质可知,C正确.
2.(2009广东卷理)一质点受到平面上的三个力(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知,成角,且,的大小分别为2和4,则的大小为
A. 6 B. 2 C. D.
【解析】,所以,选D.
3.(2009浙江卷理)设向量,满足:,,.以,,的模为边长构成三角形,则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( )
A. B. C. D.
答案:C
【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能实现.
4.(2009浙江卷文)已知向量,.若向量满足,,则 ( )
A. B. C. D.
【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算,通过平面向量的平行和垂直关系的考查,很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用.
【解析】不妨设,则,对于,则有;又,则有,则有
5.(2009北京卷文)已知向量,如果,那么
A.且与同向 B.且与反向
C.且与同向 D.且与反向
【答案】D
.w【解析】本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵a,b,若,则cab,dab,
显然,a与b不平行,排除A、B.
若,则cab,dab,
即cd且c与d反向,排除C,故选D.
6.(2009北京卷文)设D是正及其内部的点构成的集合,点是的中心,若集合,则集合S表示的平面区域是 ( )
A. 三角形区域 B.四边形区域
C. 五边形区域 D.六边形区域
【答案】D
【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.
如图,A、B、C、D、E、F为各边
三等分点,答案是集合S为六边形
ABCDEF,其中,
即点P可以是点A.
7.(2009北京卷理)已知向量a、b不共线,cabR),dab,如果cd,那么 ( )
A.且c与d同向 B.且c与d反向
C.且c与d同向 D.且c与d反向
【答案】D
【解析】本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.
取a,b,若,则cab,dab,
显然,a与b不平行,排除A、B.
若,则cab,dab,
即cd且c与d反向,排除C,故选D.
8.(2009山东卷理)设P是△ABC所在平面内的一点,,则( )
A. B. C. D.
【解析】:因为,所以点P为线段AC的中点,所以应该选B。
答案:B。
【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则,
可以借助图形解答。
9.(2009全国卷Ⅱ文)已知向量a = (2,1), a·b = 10,︱a + b ︱= ,则︱b ︱=
(A) (B) (C)5 (D)25
答案:C
解析:本题考查平面向量数量积运算和性质,由知(a+b)2=a2+b2+2ab=50,得|b|=5 选C。
10.(2009全国卷Ⅰ理)设、、是单位向量,且·=0,则的最小值为 ( D )
(A) (B) (C) (D)
解: 是单位向量
故选D.
11.(2009湖北卷理)已知是两个向量集合,则
A.{〔1,1〕} B. {〔-1,1〕} C. {〔1,0〕} D. {〔0,1〕}
【答案】A
【解析】因为代入选项可得故选A.
12.(2009全国卷Ⅱ理)已知向量,则
A. B. C. D.
解:。故选C
13.(2009辽宁卷理)平面向量a与b的夹角为,, 则
(A) (B) (C) 4 (D)12
【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°
+4=12
∴
【答案】B
14.(2009宁夏海南卷理)已知O,N,P在所在平面内,且,且,则点O,N,P依次是的
(A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心
(C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心
(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心)
解析:
;
15.(2009湖北卷文)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=
A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b
【答案】B
【解析】由计算可得故选B
16.(2009湖南卷文)如图1, D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点,则【 A 】
A.
B.
C.
D.
图1
解: 得,故选A.
或.
17.(2009辽宁卷文)平面向量a与b的夹角为,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |=
(A) (B)2 (C)4 (D)12
【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12
∴
【答案】B
18.(2009全国卷Ⅰ文)设非零向量、、满足,则
(A)150°B)120° (C)60° (D)30°
【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题。
解:由向量加法的平行四边形法则,知、可构成菱形的两条相邻边,且、为起点处的对角线长等于菱形的边长,故选择B。
19.(2009陕西卷文)在中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于
(A) (B) (C) (D)
答案:A.
解析:由知, 为的重心,根据向量的加法, 则=
故选A
20.(2009宁夏海南卷文)已知,向量与垂直,则实数的值为
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】向量=(-3-1,2),=(-1,2),因为两个向量垂直,故有(-3-1,2)×(-1,2)=0,即3+1+4=0,解得:=,故选.A。
21.(2009湖南卷理)对于非0向时a,b,“a//b”的正确是 (A)
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】:A
【解析】由,可得,即得,但,不一定有,所以“”是“的充分不必要条件。
22.(2009福建卷文)设,,为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足与不共线,
∣∣=∣∣,则∣ •∣的值一定等于
A.以,为邻边的平行四边形的面积 B. 以,为两边的三角形面积
C.,为两边的三角形面积 D. 以,为邻边的平行四边形的面积
解析 假设与的夹角为,∣ •∣=︱︱·︱︱·∣cos<,>∣=︱︱·︱︱•∣cos(90)∣=︱︱·︱︱•sin,即为以,为邻边的平行四边形的面积,故选A。
23.(2009重庆卷理)已知,则向量与向量的夹角是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为由条件得
24.(2009重庆卷文)已知向量若与平行,则实数的值是( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
【答案】D
解法1因为,所以由于与平行,得,解得。
解法2因为与平行,则存在常数,使,即,根据向量共线的条件知,向量与共线,故。
二、填空题
A
B
C
P
第7题图
1.(2009广东卷理)若平面向量,满足,平行于轴,,则 .
【解析】或,则
或.
2.(2009江苏卷)已知向量和向量的夹角为,,则向量和向量
的数量积= 。
【解析】 考查数量积的运算。
3.(2009安徽卷理)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.
如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动.
若其中,则
的最大值是________.
[解析]设
,即
∴
4.(2009安徽卷文)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,或=+,其中,R ,则+= _________。
【解析】设、则 , ,
代入条件得
【答案】4/3
5.(2009江西卷文)已知向量,, ,若 则= .
答案:
【解析】因为所以.
6.(2009江西卷理)已知向量,,,若∥,则= .
答案:
【解析】
7.(2009湖南卷文)如图2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若,则 , .
图2
解:作,设,,
由解得故
8.(2009辽宁卷文)在平面直角坐标系xoy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为___________.
【解析】平行四边形ABCD中,
∴=(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2)
即D点坐标为(0,-2)
【答案】(0,-2)