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  • 2021-05-13 发布

全国统一高考数学试卷文科新课标Ⅰ解析

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绝密★启用前 ‎2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设,则=‎ A. 2 B. C. D. 1‎ ‎2.已知集合,则 A. B. C. D. ‎ ‎3.已知,则 A. B. C. D. ‎ ‎4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm ‎5.函数f(x)=在[—π,π]的图像大致为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验,若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生 ‎7.tan255°=‎ A. -2- B. -2+ C. 2- D. 2+‎ ‎8.已知非零向量a,b满足=2,且(a–b)b,则a与b的夹角为 A. B. C. D. ‎ ‎9.如图是求的程序框图,图中空白框中应填入 A. A= B. A= C. A= D. A=‎ ‎10.双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为 A. 2sin40° B. 2cos40° C. D. ‎ ‎11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-,则=‎ A. 6 B. 5 C. 4 D. 3‎ ‎12.已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两点.若,,则C的方程为 A. B. C. D. ‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为___________.‎ ‎14.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若,则S4=___________.‎ ‎15.函数的最小值为___________.‎ ‎16.已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为___________.‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:60分。‎ ‎17.某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:‎ 满意 不满意 男顾客 ‎40‎ ‎10‎ 女顾客 ‎30‎ ‎20‎ ‎(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;‎ ‎(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?‎ 附:.‎ P(K2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎18.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.‎ ‎(1)若a3=4,求{an}的通项公式;‎ ‎(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.‎ ‎19.如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.‎ ‎(1)证明:MN∥平面C1DE;‎ ‎(2)求点C到平面C1DE的距离.‎ ‎20.已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.‎ ‎(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;‎ ‎(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.‎ ‎21.已知点A,B关于坐标原点O对称,│AB│ =4,⊙M过点A,B且与直线x+2=0相切.‎ ‎(1)若A在直线x+y=0上,求⊙M的半径.‎ ‎(2)是否存在定点P,使得当A运动时,│MA│-│MP│为定值?并说明理由.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程] ‎ 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程;‎ ‎(2)求C上的点到l距离的最小值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲]‎ 已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ ‎【答案】1C2C3B4B5D6C7D8B9A10D11A12B ‎13141516‎ ‎17(1)由题中表格可知,50名男顾客对商场服务满意的有40人,‎ 所以男顾客对商场服务满意率估计为,‎ ‎50名女顾客对商场满意的有30人,‎ 所以女顾客对商场服务满意率估计为,‎ ‎(2)由列联表可知,‎ 所以能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.‎ ‎18(1)设等差数列的首项为,公差为,‎ 根据题意有,‎ 解答,所以,‎ 所以等差数列的通项公式为;‎ ‎(2)由条件,得,即,‎ 因为,所以,并且有,所以有,‎ 由得,整理得,‎ 因为,所以有,即,‎ 解得,‎ 所以的取值范围是:‎ ‎19(1)连接,‎ ‎,分别为,中点 为的中位线 且 又为中点,且 且 ‎ 四边形为平行四边形 ‎,又平面,平面 平面 ‎(2)在菱形中,为中点,所以,‎ 根据题意有,,‎ 因为棱柱为直棱柱,所以有平面,‎ 所以,所以,‎ 设点C到平面的距离为,‎ 根据题意有,则有,‎ 解得,‎ 所以点C到平面的距离为.‎ ‎20(1)‎ 令,则 当时,令,解得:‎ 当时,;当时,‎ 在上单调递增;在上单调递减 又,,‎ 即当时,,此时无零点,即无零点 ‎ ,使得 又在上单调递减 为,即在上唯一零点 综上所述:在区间存在唯一零点 ‎(2)若时,,即恒成立 令 则,‎ 由(1)可知,在上单调递增;在上单调递减 且,,‎ ‎,‎ ‎①当时,,即在上恒成立 在上单调递增 ‎,即,此时恒成立 ‎②当时,,,‎ ‎,使得 在上单调递增,在上单调递减 又,‎ 在上恒成立,即恒成立 ‎③当时,,‎ ‎,使得 在上单调递减,在上单调递增 时,,可知不恒成立 ‎④当时,‎ 在上单调递减 ‎ 可知不恒成立 综上所述:‎ ‎21(1)在直线上 设,则 又 ,解得:‎ 过点, 圆心必在直线上 设,圆的半径为 与相切 ‎ 又,即 ‎,解得:或 当时,;当时,‎ 的半径为:或 ‎(2)存在定点,使得 说明如下:‎ ‎,关于原点对称且 直线必为过原点的直线,且 ‎①当直线斜率存在时,设方程为:‎ 则的圆心必在直线上 设,的半径为 与相切 ‎ 又 ‎,整理可得:‎ 即点轨迹方程为:,准线方程为:,焦点 ‎,即抛物线上点到的距离 ‎ 当与重合,即点坐标为时,‎ ‎②当直线斜率不存在时,则直线方程为:‎ 在轴上,设 ‎,解得:,即 若,则 综上所述,存在定点,使得为定值.‎ ‎22(1)由得:,又 整理可得的直角坐标方程为:‎ 又,‎ 的直角坐标方程为:‎ ‎(2)设上点的坐标为:‎ 则上的点到直线的距离 当时,取最小值 则 ‎23(1) ‎ 当且仅当时取等号 ‎,即:‎ ‎(2),当且仅当时取等号 又,,(当且仅当时等号同时成立)‎ 又 ‎