导数结合洛必达法则巧解高考压轴题51012 7页

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 ‎ 第一部分：历届导数高考压轴题 ‎ ‎(全国2理)设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．‎ ‎（全国1理）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）设，讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围.‎ ‎（全国1理）设函数．‎ ‎（Ⅰ）证明：的导数；‎ ‎（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．‎ ‎（全国2理）设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．‎ ‎（辽宁理）设函数.‎ ‎⑴求的单调区间和极值;‎ ‎⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.‎ ‎（新课标理）设函数=.‎ ‎（Ⅰ）若，求的单调区间;‎ ‎（Ⅱ）若当x≥0时≥0，求a的取值范围.‎ ‎（新课标文）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若在时有极值，求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）当时，，求的取值范围.‎ ‎（全国大纲理）设函数.‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）设当时，，求的取值范围.‎ ‎（新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求、的值；‎ ‎（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围.‎ 例题：若不等式对于恒成立，求的取值范围 第二部分：泰勒展开式 ‎ ‎1.其中；‎ ‎2. 其中；‎ ‎3.，其中；‎ ‎4. ，其中；‎ 第三部分：洛必达法则及其解法 洛必达法则：设函数、满足：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）在内，和都存在，且；‎ ‎（3） （可为实数，也可以是）.‎ 则.‎ ‎1.（新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求、的值；‎ ‎（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围.‎ 常规解法 ‎（Ⅰ）略解得，.‎ ‎（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法 由（Ⅰ）知，所以.‎ 考虑函数，则.‎ ‎(i)当时，由知，当时，.因为，‎ 所以当时，，可得；当时，，可得 ‎，从而当且时，，即；‎ ‎（ii）当时，由于当时，，故，而，故当时，，可得，与题设矛盾.‎ ‎（iii）当时， ，而，故当时，，可得，与题设矛盾.综上可得，的取值范围为.‎ 注：分三种情况讨论：①；②；③不易想到.尤其是②时，许多考生都停留在此层面，举反例更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.‎ 洛必达法则解法 当，且时，，即，‎ 也即，记，，且 则，‎ 记，则，‎ 从而在上单调递增，且，因此当时，，当时，；当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 由洛必达法则有 ‎ ‎，‎ 即当时，，即当，且时，.‎ 因为恒成立，所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为.‎ 注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数分离出来.然后对分离出来的函数求导，研究其单调性、极值.此时遇到了“当时，函数值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.‎ ‎2.（新课标理）设函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，，求的取值范围.‎ 应用洛必达法则和导数 ‎（Ⅱ）当时，，即.‎ ‎①当时，；②当时，等价于.‎ 记 ，则. ‎ 记 ，则，当时，，所以在上单调递增，且，所以在上单调递增，且，因此当时，，从而在上单调递增.‎ 由洛必达法则有，‎ 即当时，，所以当时，所以，因此.‎ 综上所述，当且时，成立.‎ 例题：若不等式对于恒成立，求的取值范围.‎ 应用洛必达法则和导数 当时，原不等式等价于.‎ 记，则.‎ 记，则.‎ 因为，‎ ‎，所以在上单调递减，且，‎ 所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，‎ 且，故，因此在上单调递减.‎ 由洛必达法则有 ‎，‎ 即当时，，即有.‎ 故时，不等式对于恒成立.‎ 通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：‎ ① 可以分离变量；‎ ‎②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；‎ ‎③出现“”型式子.‎ ‎（海南宁夏文）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若在时有极值，求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）当时，，求的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）略 ‎（Ⅱ）应用洛必达法则和导数 当时，，即.‎ ‎①当时，；‎ ‎②当时，等价于，也即.‎ 记，，则.‎ 记，，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.‎ 由洛必达法则有 ‎，‎ 即当时，‎ 所以，即有.‎ 综上所述，当，时，成立.‎ ‎（全国大纲理）设函数.‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）设当时，，求的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）略 ‎ ‎（Ⅱ）应用洛必达法则和导数 由题设，此时.‎ ‎①当时，若，则，不成立；‎ ‎②当时，当时，，即；‎ 若，则；‎ 若，则等价于，即.‎ 记，则.‎ 记，则，.‎ 因此，在上单调递增，且，所以，‎ 即在上单调递增，且，所以.‎ 因此，所以在上单调递增.‎ 由洛必达法则有 ‎，即当时，‎ ‎，即有，所以.综上所述，的取值范围是.‎ ‎（全国2理）设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）． ‎ 当（）时，，即；‎ 当（）时，，即．‎ 因此在每一个区间（）是增函数，‎ 在每一个区间（）是减函数． ‎ 解：（Ⅰ）略 ‎ ‎（Ⅱ）应用洛必达法则和导数 若，则；‎ 若，则等价于，即 则.‎ 记，‎ 因此，当时，，在上单调递减，且，故，所以在上单调递减，‎ 而.‎ 另一方面，当时，，因此.‎