备考2014高考数学高考总复习课标版数学33函数的单调性与最值(限时练习) 5页

限时作业11 函数的单调性与最值 一、选择题 ‎1.已知f(x)在(-∞,+∞)内是减函数,a、b∈R,a+b≤0,则有( )‎ A.f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b) B.f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b)‎ C.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)‎ 解析:a+b≤‎0a≤-b,b≤-af(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a)两式相加即得.‎ 答案:D ‎2.(2008江西高考,理3)若函数y＝f(x)的值域是［,3］.则函数的值域是…( )‎ A.［,3］ B.［2,］ C.［,］ D.［3,］‎ 解析:令t＝f(x),则≤t≤3,由函数在区间［,1］上是减函数,在［1,3］上是增函数,则,g(1)＝2,,故值域为［2,］,选B.‎ 答案:B ‎3.(2008湖南高考,理10)设［x］表示不超过x的最大整数(如［2］＝2,［］＝1),对于给定的n∈N*,定义,x∈［1,+∞),则当x∈［,3)时,函数的值域是( )‎ A.［,28］ B.［,56) C.(4,)∪［28,56) D.(4,］∪(,28］‎ 解析:依题意,当x∈［,2)时,［x］＝1,‎ 此时∈(4,］;‎ 当x∈［2,3)时,［x］＝2,‎ 此时∈(,28］.‎ 因此,当x∈［,3)时,函数的值域是(4,］∪(,28］,选D.‎ 答案:D ‎4.(2008重庆高考,理4)已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值为…( )‎ A. B. C. D. 解析:函数的定义域为［-3,1］,设向量p＝(1,1),q＝(,),则|p|＝,|q|＝2,‎ 而＝p·q≤|p|·|q|＝,则ymax＝而,‎ 所以当x∈(-3,-1］时y′≥0,函数是增函数,当x∈(-1,1)时y′＜0,函数是减函数,而当x＝-3与x＝1时函数值相等,故ymin＝f(1)＝2,故选C.‎ 答案:C ‎5.若函数在(1,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围是( )‎ A.［-2,+∞) B.［2,+∞) C.(-∞,-2］ D.(-∞,2］‎ 解析:由h′(x)＝≥0,得k≥-2x2,‎ 由于-2x2在［1,+∞)内的最大值为-2,‎ 于是,实数k的取值范围是［-2,+∞).‎ 答案:A ‎6.对于函数:‎ ‎①f(x)＝lg(|x-2|+1),②f(x)＝(x-2)2,③f(x)＝cos(x+2),判断如下三个命题的真假:‎ 命题甲:f(x+2)是偶函数;‎ 命题乙:f(x)在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数;‎ 命题丙:f(x+2)-f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.‎ 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是…( )‎ A.①③ B.①② C.③ D.②‎ 解析:由命题甲:f(x+2)是偶函数,可知①②满足条件,③不满足;作出①②函数的图象,可知①②都满足命题乙的条件;又①不满足命题丙的条件,所以选D.‎ 答案:D 二、填空题 ‎7.已知f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0)上是减函数,则不等式f(x)≤f(3)的解集是________.‎ 解析:如图,因为f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0)上是减函数,所以f(x)在［0,+∞)上是增函数,则在［-3,3］范围内f(x)≤f(3).‎ 答案:［-3,3］‎ ‎8.设函数f(x)＝ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈［-1,1］,都有f(x)≥0成立,则实数a的值为______.‎ 解析:由题意得f′(x)＝3ax2-3,当a≤0时,有f′(x)＝3ax2-3＜0,‎ ‎∴f(x)在［-1,1］上为减函数.‎ ‎∴f(x)最小值＝f(1)＝a-2≥0,‎ 解之,得a≥2(与条件a≤0矛盾)不符合题意;‎ 当a＞0时,令f′(x)＝0可得,‎ 当x∈(,)时f′(x)＜0,f(x)为减函数;‎ x∈(-∞,),(,+∞)时,f′(x)＞0,f(x)为增函数.‎ 由f(-1)＝4-a≥0可得0＜a≤4,‎ 又由可得a≥4,‎ 综上,可知a＝4.‎ 答案:4‎ ‎9.(2008湖南高考,理14)已知函数(a≠1).‎ ‎(1)若a＞0,则f(x)的定义域是___________;‎ ‎(2)若f(x)在区间(0,1］上是减函数,则实数a的取值范围是_________.‎ 解析:(1)当a＞0且a≠1时,由3-ax≥0得,‎ 即此时函数f(x)的定义域是(-∞,］.‎ ‎(2)当a-1＞0,即a＞1时,要使f(x)在(0,1］上是减函数,则需3-a×1≥0,此时1＜a≤3.‎ 当a-1＜0,即a＜1时,要使f(x)在(0,1］上是减函数,则需-a＞0,此时a＜0.‎ 综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］.‎ 答案:(1)(-∞,］(2)(-∞,0)∪(1,3］‎ ‎10.关于函数(x≠0),有下列命题:‎ ‎①其图象关于y轴对称;‎ ‎②当x＞0时,f(x)是增函数;当x＜0时,f(x)是减函数;‎ ‎③f(x)的最小值是lg2;‎ ‎④当-1＜x＜0或x＞2时,f(x)是增函数;‎ ‎⑤f(x)无最大值,也无最小值.‎ 其中所有正确结论的序号是__________.‎ 解析:因为,‎ 所以f(x)是偶函数,关于y轴对称,①对;‎ ,‎ 当x＞0时,f(x)＝lg(),‎ 设,得,‎ 当x＞1时,g′(x)＞0,在(1,+∞)上单调递增,‎ 所以f(x)＝lg()在(1,+∞)上单调递增;‎ 当0＜x＜1时,g′(x)＜0,g(x)＝在(0,1)上单调递减,‎ 所以f(x)＝lg()在(0,1)上单调递减;‎ 同理,当x＜0时,由偶函数的性质可知f(x)在(-1,0)上单调递增,‎ 在(-∞,-1)上单调递减,函数f(x)＝lg有最小值,最小值为f(1)＝ lg2,无最大值,②⑤错,③④对,所以正确结论为①③④.‎ 答案:①③④‎ 三、解答题 ‎11已知函数f(x)＝ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求a的取值范围.‎ 解:求函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2+6x-1.‎ ‎(1)当f′(x)＜0(x∈R)时,f(x)是减函数.‎ ‎3ax2+6x-1＜0(x∈R‎0029‎a＜0且Δ＝36+‎12a＜‎0‎a＜-3.‎ 所以,当a＜-3时,由f′(x)＜0,知f(x)(x∈R)是减函数.‎ ‎(2)当a＝-3时,f(x)＝-3x3+3x2-x+1＝-3()3+,‎ 由函数y＝x3在R上的单调性,可知当a＝-3时,f(x)(x∈R)是减函数.‎ ‎(3)当a＞-3时,在R上存在一个区间,其上有f′(x)＞0,‎ 所以,当a＞-3时,函数f(x)(x∈R)不是减函数.‎ 综上,所求a的取值范围是(-∞,-3］.‎ ‎12.已知函数(a∈R且x≠a).‎ ‎(1)当f(x)的定义域为［a-1,］时,求证:f(x)的值域为［0,1］;‎ ‎(2)设函数g(x)＝x2-1+|(x-a)f(x)|,求g(x)的最小值.‎ ‎(1)证明:.‎ 当a-1≤x≤时,≤-x≤-a+1,≤a-x≤1,1≤≤2,∴0≤≤1,‎ 即f(x)的值域为［0,1］.‎ ‎(2)解:g(x)＝x2-1+|x+1-a|(x≠a),‎ ‎①当x≥a-1且x≠a时,g(x)＝x2-1+x+1-a＝()2--a,‎ 如果a-1≥,即,则函数在［a-1,a)和(a,+∞)上单调递增,‎ ‎∴g(x) min＝g(a-1)＝(a-1)2-1＝a2‎-2a;‎ 如果,即a＜且a≠,则g(x)min＝g()＝;‎ 当时,g(x)的最小值不存在(因为x≠a).‎ ‎②当x＜a-1,g(x)＝x2-1-x-1+a＝,‎ 如果a-1＞,即a＞,则g(x)min＝;‎ 如果a-1≤,即a≤,则g(x)在(-∞,a-1］上为减函数,‎ g(x) min＝g(a-1)＝(a-1)2-1＝a2‎-2a.‎ 当a＞时,(a2‎-2a)-()＝()2＞0.‎ 当a＜时,(a2‎-2a)-()＝()2＞0.‎ 综上,得当a＜且a≠时,g(x)的最小值是;当≤a≤时,g(x)的最小值是a2‎-2a;当a＞时,g(x)的最小值为;当时,g(x)的最小值不存在.‎