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  • 2021-05-13 发布

专题六导数和函数高考大题类型自己总结

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导数高考大题(教师版)‎ 类型一:对单调区间的分类讨论 ‎1、已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)当时,都有成立,求实数的取值范围.‎ 类型二:给出单调递增递减区间等价于恒成立问题 ‎2、已知函数.‎ ‎ (Ⅰ)若函数的图象在处的切线斜率为,求实数的值;‎ ‎ (Ⅱ)求函数的单调区间;‎ ‎ (Ⅲ)若函数在上是减函数,求实数的取值范围.‎ 类型三:零点个数问题 ‎3、已知函数(,为常数),且为的一个极值点.(Ⅰ) 求的值;(Ⅱ) 求函数的单调区间;‎ ‎ (Ⅲ) 若函数有3个不同的零点,求实数的取值范围.‎ 类型四:一般的恒成立问题 ‎4.已知f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x2-2,‎ ‎(Ⅰ)对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)当a=-1时,求函数f(x)在[m,m+3](m>0)上的最值;‎ 类型五:用构造法证明不等式问题 ‎5、 已知函数,曲线在点处的切线方程为.‎ ‎ (I)求,的值;‎ ‎ (II)证明:当,且时,.‎ ‎6、设函数,其中为自然对数的底数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)记曲线在点(其中)处的切线为,与轴、轴所围成的三角形面积为,求的最大值.‎ 近三年新课标导数高考试题 ‎ [2011] ‎ ‎1、(2)下列函数中,既是偶函数又在单调递增的函数是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2、(9)由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为( )‎ ‎(A) (B)4 (C) (D)6‎ ‎3、(12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于( ) (A)2 (B) 4 (C) 6 (D)8‎ ‎4、(21)(本小题满分12分)‎ 已知函数,曲线在点处的切线方程为。‎ ‎(Ⅰ)求、的值;(Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围。‎ ‎[2012]‎ ‎5、(12)设点P在曲线y=ex 上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|pQ|最小值为( )‎ ‎(A) 1-ln2 (B) (C)1+ln2 (D)‎ ‎6、(21)(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)满足 ‎(1)求f(x)的解析式及单调区间;‎ ‎(2)若求(a+1)b的最大值。‎ ‎【2013年】‎ ‎7、16、若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是______.‎ ‎8、(21)(本小题满分共12分)‎ 已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2‎ ‎(Ⅰ)求a,b,c,d的值 ‎(Ⅱ)若x≥-2时, ,求k的取值范围。‎ 导数高考大题(教师版)‎ 类型一:对单调区间的分类讨论 ‎1、已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)当时,都有成立,求实数的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)的定义域是,. …………………………2分 ‎(1)当时,成立,的单调增区间为; ……3分 ‎(2)当时,‎ 令,得,则的单调增区间是. …………4分 令,得,则的单调减区间是. …………5分 综上所述,当时,的单调增区间为;当时,的单调减区间是,的单调增区间是. ………………………6分 ‎(Ⅱ)当时,成立,. ………………………………7分 当时,成立,‎ 即时,成立.‎ 设, 所以=. ‎ 当时,,函数在上为减函数; …………11分 时,,函数在上为增函数. …………12分 则在处取得最小值,. 则.‎ 综上所述,时,成立的的范围是. …………13分 类型二:给出单调递增递减区间等价于恒成立问题 ‎2、已知函数.‎ ‎ (Ⅰ)若函数的图象在处的切线斜率为,求实数的值;‎ ‎ (Ⅱ)求函数的单调区间;‎ ‎ (Ⅲ)若函数在上是减函数,求实数的取值范围.‎ 解:(Ⅰ) …………1分 ‎ 由已知,解得. …………3分 ‎(II)函数的定义域为.‎ ‎(1)当时, ,的单调递增区间为;……5分 ‎(2)当时. ‎ ‎ 当变化时,的变化情况如下:‎ ‎-‎ ‎+‎ 极小值 ‎ 由上表可知,函数的单调递减区间是;‎ ‎ 单调递增区间是. …………8分 ‎ (II)由得,…………9分 ‎ 由已知函数为上的单调减函数,‎ 则在上恒成立,‎ 即在上恒成立.‎ ‎ 即在上恒成立. …………11分 令,在上,‎ 所以在为减函数. , 所以. ‎ 类型三:零点个数问题 ‎3、已知函数(,为常数),且为的一个极值点.(Ⅰ) 求的值;(Ⅱ) 求函数的单调区间;‎ ‎ (Ⅲ) 若函数有3个不同的零点,求实数的取值范围.‎ 解: (Ⅰ) 函数f (x)的定义域为(0,+∞)……1分 ‎ ∵ f ′ (x) = ……2分 ‎∴,则a = 1.………4分 ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ) 知 ‎ ∴ f ′ (x) = ………6分 ‎ 由f ′ (x) > 0可得x >2或x <1,由f ′ (x) < 0可得1< x <2.‎ ‎∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ,1) 和 (2,+ ∞ ),‎ 单调递减区间为 (1 , 2 ). ………9分 ‎ (Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函数f (x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.‎ 且当x =1或x =2时,f ′ (x) = 0. ………10分 ‎ ‎∴ f (x) 的极大值为 ………11分 ‎ f (x)的极小值为 ……12分 ‎ 由题意可知 ‎ 则 ………14分 ‎ 类型四:一般的恒成立问题 ‎4.已知f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x2-2,‎ ‎(Ⅰ)对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅱ)当a=-1时,求函数f(x)在[m,m+3](m>0)上的最值;‎ ‎1.解:(Ⅰ)对一切恒成立,即恒成立.‎ 也就是在恒成立.………1分 令 ,‎ 则,……2分 在上,在上,‎ 因此,在处取极小值,也是最小值,‎ 即,所以.……4分 ‎(Ⅱ)当,‎ ‎,由得. ………6分 ‎①当时,在上,在上 因此,在处取得极小值,也是最小值. .‎ 由于 因此, ………8分 ‎②当,,因此上单调递增,‎ ‎…‎ 类型五:用构造法证明不等式问题 ‎5、 已知函数,曲线在点处的切线方程为.‎ ‎ (I)求,的值;‎ ‎ (II)证明:当,且时,.‎ ‎ 解:(Ⅰ)‎ ‎ 由于直线的斜率为,且过点,故即 ‎ 解得,。‎ ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以 ‎ 考虑函数,则 所以当时,故 当 当时,‎ 从而当 类型六:最值问题 ‎6、设函数,其中为自然对数的底数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)记曲线在点(其中)处的切线为,与轴、轴所围成的三角形面积为,求的最大值.‎ 解:(Ⅰ)由已知,‎ 所以, ……………2分 由,得, ……………3分 所以,在区间上,,‎ 函数在区间上单调递减; ……………4分 在区间上,,‎ 函数在区间上单调递增; ……………5分 即函数的单调递减区间为,单调递增区间为.‎ ‎(Ⅱ)因为,‎ 所以曲线在点处切线为:. ……………7分 切线与轴的交点为,与轴的交点为, ……………9分 因为,所以, ……………10分 ‎, ……………12分 在区间上,函数单调递增,在区间上,函数单调递减.‎ 所以,当时,有最大值,此时,所以,的最大值为. ‎ 近三年新课标导数高考试题 ‎ [2011] ‎ ‎1、(2)下列函数中,既是偶函数又在单调递增的函数是B ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2、(9)由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为C ‎(A) (B)4 (C) (D)6‎ ‎3、(12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于D ‎ (A)2 (B) 4 (C) 6 (D)8‎ ‎4、(21)(本小题满分12分)‎ 已知函数,曲线在点处的切线方程为。‎ ‎(Ⅰ)求、的值;(Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围。‎ ‎(21)解:(Ⅰ)‎ ‎ 由于直线的斜率为,且过点,故即 ‎ 解得,。‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以。‎ 考虑函数,则。‎ ‎(i)设,由知,当时,。而,故 当时,,可得;‎ 当x(1,+)时,h(x)<0,可得 h(x)>0‎ 从而当x>0,且x1时,f(x)-(+)>0,即f(x)>+.‎ ‎(ii)设00,故 (x)>0,‎ 而h(1)=0,故当x(1,)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。‎ ‎(iii)设k1.此时(x)>0,而h(1)=0,故当x(1,+)时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾。‎ ‎ 综合得,k的取值范围为(-,0]‎ ‎[2012]‎ ‎5、(12)设点P在曲线y=ex 上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|pQ|最小值为B ‎(A) 1-ln2 (B) (C)1+ln2 (D)‎ ‎6、(21)(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)满足 ‎(1)求f(x)的解析式及单调区间;‎ ‎(2)若求(a+1)b的最大值。‎ ‎【解析】(1)‎ ‎ 令得:‎ ‎ ‎ ‎ 得:‎ ‎ 在上单调递增 ‎ ‎ ‎ 得:的解析式为 ‎ 且单调递增区间为,单调递减区间为 ‎ (2)得 ‎ ①当时,在上单调递增 ‎ 时,与矛盾 ‎ ②当时,‎ ‎ 得:当时,‎ ‎ ‎ ‎ 令;则 ‎ ‎ ‎ 当时,‎ ‎ 当时,的最大值为 ‎【2013年】‎ ‎7、16、若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是______.‎ ‎【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值,是难题.‎ ‎【解析】由图像关于直线=-2对称,则 ‎0==,‎ ‎0==,解得=8,=15,‎ ‎∴=,‎ ‎∴==‎ ‎=‎ 当∈(-∞,)∪(-2, )时,>0,‎ 当∈(,-2)∪(,+∞)时,<0,‎ ‎∴在(-∞,)单调递增,在(,-2)单调递减,在(-2,)单调递增,在(,+∞)单调递减,故当=和=时取极大值,==16.‎ ‎8、(21)(本小题满分共12分)‎ 已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2‎ ‎(Ⅰ)求a,b,c,d的值 ‎(Ⅱ)若x≥-2时, ,求k的取值范围。‎ ‎【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值,考查运算求解能力及应用意识,是中档题.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由已知得,‎ 而=,=,∴=4,=2,=2,=2;……4分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,‎ 设函数==(),‎ ‎==,‎ 有题设可得≥0,即,‎ 令=0得,=,=-2,‎ ‎(1)若,则-2<≤0,∴当时,<0,当时, >0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值, 而 ‎==≥0,‎ ‎∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,‎ ‎(2)若,则=,‎ ‎∴当≥-2时,≥0,∴在(-2,+∞)单调递增,而=0,‎ ‎∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,‎ ‎(3)若,则==<0,‎ ‎∴当≥-2时,≤不可能恒成立,‎ 综上所述,的取值范围为[1,].‎