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- 2021-05-13 发布
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2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I理科数学
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一.选择题:共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={|},B={|-2≤<2=,则=
.[-2,-1] .[-1,2) .[-1,1] .[1,2)
2.=
. . . .
3.设函数,的定义域都为R,且时奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是
.是偶函数 .||是奇函数
.||是奇函数 .||是奇函数
4.已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为. .3 . .
5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率
. . . .
6.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在[0,]上的图像大致为
7.执行下图的程序框图,若输入的分别为1,2,3,则输出的=
. . . .
8.设,,且,则
. . . .
9.不等式组的解集记为.有下面四个命题:
:, :,
:, :.
其中真命题是
., ., ., .,
10.已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个焦点,若,则=
. . .3 .2
11.已知函数=,若存在唯一的零点,且>0,则的取值范围为
.(2,+∞) .(-∞,-2) .(1,+∞) .(-∞,-1)
12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为
. . .6 .4
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。
二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。
13.的展开式中的系数为 .(用数字填写答案)
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市; 乙说:我没去过C城市;
丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .
15.已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为 .
16.已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为 .
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)已知数列{}的前项和为,=1,,,其中为常数.
(I)证明:;
(Ⅱ)是否存在,使得{}为等差数列?并说明理由.
18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(I)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.
(i)利用该正态分布,求;
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,学科网记表示这100件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求.
附:≈12.2.若~,则=0.6826,=0.9544.
19. (本小题满分12分)如图三棱锥中,
侧面为菱形,.
(I)证明:;
(Ⅱ)若,,AB=Bc,求二面角的余弦值.
20. (本小题满分12分) 已知点(0,-2),椭圆:的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,为坐标原点.
(I)求的方程;
(Ⅱ)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.
21. (本小题满分12分)设函数,曲线在点(1,)处的切线为. (I)求; (Ⅱ)证明:.
请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE
(Ⅰ)证明:∠D=∠E;学科网
(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.
23. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线:,直线:(为参数).
(I)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;
(Ⅱ)过曲线上任一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值.
24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
若,且.
(I) 求的最小值;
(Ⅱ)是否存在,使得?并说明理由.
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 答案
1—5ADCAD 6—12 CDCBBCB 13.-20 14.A 15.90° 16.
17.【解析】:(Ⅰ)由题设,,两式相减
,由于,所以 …………6分
(Ⅱ)由题设=1,,可得,由(Ⅰ)知
假设{}为等差数列,则成等差数列,∴,解得;
证明时,{}为等差数列:由知
数列奇数项构成的数列是首项为1,公差为4的等差数列
令则,∴
数列偶数项构成的数列是首项为3,公差为4的等差数列
令则,∴
∴(),
因此,存在存在,使得{}为等差数列. ………12分
18.【解析】:(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为
…………6分
(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知~,从而
………………9分
(ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826
依题意知,所以 ………12分
19.【解析】:(Ⅰ)连结,交于O,连结AO.因为侧面为菱形,所以^,且O为与的中点.又,所以平面,故=又 ,故 ………6分
(Ⅱ)因为且O为的中点,所以AO=CO= 又因为AB=BC=,所以
故OA⊥OB^,从而OA,OB,两两互相垂直.
以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,OB为单位长,建立如图所示空间直角坐标系O-. 因为,所以为等边三角形.又AB=BC=,则
,,,
,
设是平面的法向量,则
,即 所以可取
设是平面的法向量,则,同理可取
则,所以二面角的余弦值为.
20.【解析】(Ⅰ) 设(),由条件知,得= 又,
所以a=2=, ,故的方程. ……….6分
(Ⅱ)依题意当轴不合题意,故设直线l:,设
将代入,得,
当,即时,
从而= +
又点O到直线PQ的距离,所以OPQ的面积 ,
设,则,,
当且仅当,时等号成立,且满足,所以当OPQ的面积最大时,的方程为: 或. …………………………12分
21.【解析】(Ⅰ) 函数的定义域为,
由题意可得(),故 ……………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,(,从而等价于
设函数(),则,所以当()时,(),当()时,(),故()在()单调递减,在()单调递增,从而()在()¥的最小值为(. ……………8分
设函数(),则,所以当()时,(),当()时,(),故()在()单调递增,在()单调递减,从而()在()¥的最小值为(. 综上:当时,,即. ……12分
22.【解析】.(Ⅰ) 由题设知得A、B、C、D四点共圆,所以D=CBE,由已知得,CBE=E ,
所以D=EÐ ……………5分
(Ⅱ)设BCN中点为,连接MN,则由MB=MC=,知MN⊥BC^ 所以O在MN上,又AD不是O的直径,M为AD中点,故OM⊥AD, 即MN⊥AD,所以AD//BC,故A=CBE, 又CBE=E,故A=EÐ=Ð由(Ⅰ)(1)知D=E, 所以△ADE为等边三角形. ……………10分
23.【解析】.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为: (为参数),
直线l的普通方程为: ………5分
(Ⅱ)(2)在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为
,
则+-,其中为锐角.且.
当时,取得最大值,最大值为;
当时,取得最小值,最小值为. …………10分
24.【解析】(Ⅰ) 由,得,且当时等号成立,
故,且当时等号成立,∴的最小值为.…5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:,
由于>6,从而不存在,使得. ……………10分