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  • 2021-05-13 发布

高考数学理科试题分类汇编圆锥曲线

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‎2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一. 选择题:‎ ‎1.(福建卷11)又曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B. C.(3,+) D.‎ ‎2.(海南卷11)已知点P在抛物线y2 = 4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为( A )‎ A. (,-1) B. (,1) C. (1,2) D. (1,-2)‎ ‎3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:‎ ‎①; ②; ③; ④<.‎ 其中正确式子的序号是B A. ①③       B. ②③     C. ①④      D. ②④‎ ‎4.(湖南卷8)若双曲线(a>0,b>0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B )‎ A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+) ‎ ‎5.(江西卷7)已知、是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是C A. B. C. D.‎ ‎6.(辽宁卷10)已知点P是抛物线上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(全国二9)设,则双曲线的离心率的取值范围是( B )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.(山东卷(10)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为A ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎9.(陕西卷8)双曲线(,)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为( B )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(四川卷12)已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,点在上且,则的面积为( B )‎ ‎(A)   (B)   (C)   (D)‎ ‎11.(天津卷(7)设椭圆(,)的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为B ‎(A) (B)  (C) (D)‎ ‎12.(浙江卷7)若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的离心率是D ‎ (A)3 (B)5 (C) (D)‎ ‎13.(浙江卷10)如图,AB是平面的斜线段,A为斜足,若点P在平面内运动,使得△ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是B ‎(A)圆 (B)椭圆 ‎ ‎(C)一条直线 (D)两条平行直线 ‎14.(重庆卷(8)已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线为y=kx(k>0),离心率e=‎ ‎,则双曲线方程为C ‎(A)-=1 (B)‎ ‎ (C) (D)‎ 一. 填空题:‎ ‎1.(海南卷14)过双曲线的右顶点为A,右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为_______‎ ‎2.(湖南卷12)已知椭圆(a>b>0)的右焦点为F,右准线为,离心率e=过顶点A(0,b)作AM,垂足为M,则直线FM的斜率等于 . ‎ ‎3.(江苏卷12)在平面直角坐标系中,椭圆1( 0)的焦距为2,以O为圆心,为半径的圆,过点作圆的两切线互相垂直,则离心率= .‎ ‎4.(江西卷15)过抛物线的焦点作倾角为的直线,与抛物线分别交于、两点(在轴左侧),则 .‎ ‎5.(全国一14)已知抛物线的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 .2[来源:学科网ZXXK]‎ ‎6.(全国一15)在中,,.若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率 .‎ ‎7.(全国二15)已知是抛物线的焦点,过且斜率为1的直线交于两点.设,则与的比值等于 .‎ ‎8.(浙江卷12)已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于A、B两点若,则=______________。8‎ 二. 解答题:‎ ‎1.(安徽卷22).(本小题满分13分)‎ 设椭圆过点,且着焦点为 ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上 解 (1)由题意:‎ ‎ ,解得,所求椭圆方程为 ‎ ‎(2)方法一 ‎ 设点Q、A、B的坐标分别为。‎ 由题设知均不为零,记,则且 又A,P,B,Q四点共线,从而 于是 , ‎ ‎ , ‎ 从而 ‎ ‎ ,(1) ,(2)‎ 又点A、B在椭圆C上,即 ‎ ‎ ‎ (1)+(2)×2并结合(3),(4)得 即点总在定直线上 方法二 设点,由题设,均不为零。‎ 且 ‎ 又 四点共线,可设,于是 ‎ (1)‎ ‎ (2)‎ 由于在椭圆C上,将(1),(2)分别代入C的方程 整理得 ‎ (3)‎ ‎ (4)‎ ‎(4)-(3)    得 ‎ 即点总在定直线上 ‎2.(北京卷19).(本小题共14分)‎ 已知菱形的顶点在椭圆上,对角线所在直线的斜率为1.‎ ‎(Ⅰ)当直线过点时,求直线的方程;‎ ‎(Ⅱ)当时,求菱形面积的最大值.‎ 解:(Ⅰ)由题意得直线的方程为.‎ 因为四边形为菱形,所以.‎ 于是可设直线的方程为.‎ 由得.‎ 因为在椭圆上,‎ 所以,解得.‎ 设两点坐标分别为,‎ 则,,,.‎ 所以.‎ 所以的中点坐标为.‎ 由四边形为菱形可知,点在直线上, ‎ 所以,解得.‎ 所以直线的方程为,即.‎ ‎(Ⅱ)因为四边形为菱形,且,‎ 所以.‎ 所以菱形的面积.‎ 由(Ⅰ)可得,‎ 所以.‎ 所以当时,菱形的面积取得最大值.‎ ‎3.(福建卷21)(本小题满分12分)‎ ‎   如图、椭圆的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.‎ ‎              ‎ ‎(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;‎ ‎  (Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动,值有,求a的取值范围.‎ 本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识,考查分类与整合思想,考查运算能力和综合解题能力.满分12分.‎ ‎ 解法一:(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点,‎ 因为△MNF为正三角形,‎ ‎ 所以,‎ ‎ 即1=‎ ‎ 因此,椭圆方程为 ‎ (Ⅱ)设 ‎ (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时,‎ ‎ (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时,‎ ‎ 设直线AB的方程为:‎ ‎ 整理得 ‎ 所以 ‎ 因为恒有,所以AOB恒为钝角.‎ ‎ 即恒成立.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立,‎ 即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对mR恒成立.‎ 当mR时,a2b2m2最小值为0,所以a2- a2b2+b2<0. ‎ a20,b>0,所以a0,‎ 解得a>或a<(舍去),即a>,‎ 综合(i)(ii),a的取值范围为(,+).‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)同解法一,‎ ‎(Ⅱ)解:(i)当直线l垂直于x轴时,‎ x=1代入=1.‎ 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1,即>1,‎ 解得a>或a<(舍去),即a>.‎ ‎(ii)当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1), B(x2,y2).‎ 设直线AB的方程为y=k(x-1)代入 得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,‎ 故x1+x2=‎ 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,‎ 所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,‎ 得x1x2+ y1y2<0恒成立.‎ x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2‎ ‎=(1+k2).‎ 由题意得(a2- a2 b2+b2)k2- a2 b2<0对kR恒成立.‎ ‎①当a2- a2 b2+b2>0时,不合题意;‎ ‎②当a2- a2 b2+b2=0时,a=;‎ ‎③当a2- a2 b2+b2<0时,a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0,a4- 3a2 +1>0,‎ 解得a2>或a2>(舍去),a>,因此a.‎ 综合(i)(ii),a的取值范围为(,+).‎ ‎4.(广东卷18).(本小题满分14分)‎ 设,椭圆方程为,抛物线方程为.如图4所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点.‎ ‎(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;‎ ‎(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).‎ A y x O B G F F1‎ 图4‎ ‎【解析】(1)由得,‎ 当得,G点的坐标为,,,过点G的切线方程为即,令得,点的坐标为,由椭圆方程得点的坐标为,‎ 即,即椭圆和抛物线的方程分别为和;‎ ‎(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个,‎ 同理 以为直角的只有一个。‎ 若以为直角,设点坐标为,、两点的坐标分别为和, ‎ ‎。‎ 关于的二次方程有一大于零的解,有两解,‎ 即以为直角的有两个,‎ 因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。‎ ‎5.(湖北卷19).(本小题满分13分)‎ 如图,在以点为圆心,为直径的半圆中,,是半圆弧上一点,,曲线是满足为定值的动点的轨迹,且曲线过点.‎ ‎(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.‎ 若△的面积不小于,求直线斜率的取值范围.‎ 本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识,考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.(满分13分)‎ ‎(Ⅰ)解法1:以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(),依题意得 ‎|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=<|AB|=4.‎ ‎∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.‎ 设实平轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,‎ 则c=2,2a=2,∴a2=2,b2=c2-a2=2.‎ ‎∴曲线C的方程为.‎ 解法2:同解法1建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|<‎ ‎|AB|=4.‎ ‎∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.‎ 设双曲线的方程为>0,b>0).‎ 则由  解得a2=b2=2,‎ ‎∴曲线C的方程为 ‎(Ⅱ)解法1:依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理得(1-k2)x2-4kx-6=0.‎ ‎∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,‎ ‎∴   ‎ ‎∴k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).‎ 设E(x,y),F(x2,y2),则由①式得x1+x2=,于是 ‎|EF|=‎ ‎=‎ 而原点O到直线l的距离d=,‎ ‎∴S△DEF=‎ 若△OEF面积不小于2,即S△OEF,则有 ‎ ③‎ 综合②、③知,直线l的斜率的取值范围为[-,-1]∪(1-,1) ∪(1, ).‎ 解法2:依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理,[来源:学科网]‎ 得(1-k2)x2-4kx-6=0.‎ ‎∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,‎ ‎∴   ‎ ‎.∴k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).‎ 设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 ‎|x1-x2|= ③‎ 当E、F在同一去上时(如图1所示),‎ S△OEF=‎ 当E、F在不同支上时(如图2所示).‎ S△ODE=‎ 综上得S△OEF=于是 由|OD|=2及③式,得S△OEF=‎ 若△OEF面积不小于2‎ ‎  ④‎ 综合②、④知,直线l的斜率的取值范围为[-,-1]∪(-1,1)∪(1,).‎ ‎6.(湖南卷20).(本小题满分13分)‎ 若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与 x轴相交于点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时,点P(x,0)‎ 存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.‎ ‎(I)证明:点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同;‎ ‎(II) 试问:点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值?‎ 若存在,求其最大值(用x0表示):若不存在,请说明理由.‎ 解: (I)设AB为点P(x0,0)的任意一条“相关弦”,且点A、B的坐标分别是 ‎(x1,y1)、(x2,y2)(x1x2),则y21=4x1, y22=4x2,‎ 两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因为x1x2,所以y1+y20.‎ 设直线AB的斜率是k,弦AB的中点是M(xm, ym),则 k=.从而AB的垂直平分线l的方程为 ‎ 又点P(x0,0)在直线上,所以 ‎ 而于是故点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,弦AB所在直线的方程是,代入中,‎ 整理得 (·)‎ 则是方程(·)的两个实根,且 设点P的“相关弦”AB的弦长为l,则 ‎ ‎ 因为0<<4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是设t=,则t(0,4x0-8).‎ 记l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.‎ 若x0>3,则2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即=2(x0-3)时,‎ l有最大值2(x0-1).‎ 若23时,点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中存在最大值,且最大值 为2(x0-1);当2< x03时,点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中不存在最大值.‎ ‎7.(江西卷21).(本小题满分12分)‎ 设点在直线上,过点作双曲线的两条切线,切点为,定点.‎ ‎(1)求证:三点共线。‎ ‎(2)过点作直线的垂线,垂足为,试求的重心所在曲线方程.‎ 证明:(1)设,由已知得到,且,,‎ 设切线的方程为:由得 从而,解得 因此的方程为:‎ 同理的方程为:‎ 又在上,所以,‎ 即点都在直线上 又也在直线上,所以三点共线 ‎(2)垂线的方程为:,‎ 由得垂足,‎ 设重心 所以 解得 由 可得即为重心所在曲线方程 ‎8.(辽宁卷20).(本小题满分12分)‎ 在直角坐标系中,点P到两点,的距离之和等于4,设点P的轨迹为,直线与C交于A,B两点.‎ ‎(Ⅰ)写出C的方程;‎ ‎(Ⅱ)若,求k的值;‎ ‎(Ⅲ)若点A在第一象限,证明:当k>0时,恒有||>||.‎ ‎20.本小题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分12分.‎ 解:‎ ‎(Ⅰ)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴,‎ 故曲线C的方程为. 3分 ‎(Ⅱ)设,其坐标满足 消去y并整理得,‎ 故. 5分 若,即.[来源:Z+xx+k.Com]‎ 而,‎ 于是,‎ 化简得,所以. 8分 ‎(Ⅲ)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 因为A在第一象限,故.由知,从而.又,‎ 故,‎ 即在题设条件下,恒有. 12分 ‎9.(全国一21).(本小题满分12分)‎ ‎(注意:在试题卷上作答无效)‎ 双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线分别为,经过右焦点垂直于的直线分别交于两点.已知成等差数列,且与同向.‎ ‎(Ⅰ)求双曲线的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.‎ 解:(Ⅰ)设,,‎ 由勾股定理可得:‎ 得:,,‎ 由倍角公式,解得,则离心率.‎ ‎(Ⅱ)过直线方程为,与双曲线方程联立 将,代入,化简有 将数值代入,有,解得 故所求的双曲线方程为。‎ ‎10.(全国二21).(本小题满分12分)‎ 设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.‎ ‎(Ⅰ)若,求的值;‎ ‎(Ⅱ)求四边形面积的最大值.‎ ‎(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为,‎ 直线的方程分别为,. 2分 如图,设,其中,‎ D F B y x A O E 且满足方程,‎ 故.①‎ 由知,得;‎ 由在上知,得.‎ 所以,‎ 化简得,‎ 解得或. 6分 ‎(Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点到的距离分别为,‎ ‎. 9分 又,所以四边形的面积为 ‎,‎ 当,即当时,上式取等号.所以的最大值为. 12分 解法二:由题设,,.‎ 设,,由①得,,‎ 故四边形的面积为 ‎ 9分 ‎,‎ 当时,上式取等号.所以的最大值为. 12分 ‎11.(山东卷22) (本小题满分14分)‎ 如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为 直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.‎ ‎(Ⅰ)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;‎ ‎(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,,求此时抛物线的方程;‎ ‎(Ⅲ)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上,其中,点C满足(O为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(Ⅰ)证明:由题意设 ‎ 由得,则 ‎ 所以 ‎ 因此直线MA的方程为 ‎        直线MB的方程为 ‎ 所以 ①‎ ‎ ②[来源:学科网]‎ 由①、②得  ‎ 因此 ,即 所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.‎ ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当x0=2时,‎ ‎ 将其代入①、②并整理得:‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎     所以 x1、x2是方程的两根,‎ ‎ 因此 ‎ 又 ‎ 所以 ‎ 由弦长公式得 ‎ ‎ ‎    又,‎ ‎ 所以p=1或p=2,‎ ‎ 因此所求抛物线方程为或 ‎(Ⅲ)解:设D(x3,y3),由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),‎ ‎ 则CD的中点坐标为 ‎  设直线AB的方程为 ‎  由点Q在直线AB上,并注意到点也在直线AB上,‎ ‎  代入得 ‎  若D(x3,y3)在抛物线上,则 ‎  因此 x3=0或x3=2x0.‎ ‎ 即D(0,0)或 ‎ (1)当x0=0时,则,此时,点M(0,-2p)适合题意.‎ ‎ (2)当,对于D(0,0),此时 ‎   又AB⊥CD,‎ 所以 即矛盾.‎ 对于因为此时直线CD平行于y轴,‎ 又 所以  直线AB与直线CD不垂直,与题设矛盾,‎ 所以时,不存在符合题意的M点.‎ 综上所述,仅存在一点M(0,-2p)适合题意.‎ ‎12.(陕西卷20).(本小题满分12分)‎ 已知抛物线:,直线交于两点,是线段的中点,过作轴的垂线交于点.‎ ‎(Ⅰ)证明:抛物线在点处的切线与平行;‎ ‎(Ⅱ)是否存在实数使,若存在,求的值;若不存在,说明理由.‎ x A y ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ M N B O ‎20.解法一:(Ⅰ)如图,设,,把代入得,‎ 由韦达定理得,,‎ ‎,点的坐标为.‎ 设抛物线在点处的切线的方程为,‎ 将代入上式得,‎ 直线与抛物线相切,‎ ‎,.‎ 即.‎ ‎(Ⅱ)假设存在实数,使,则,又是的中点,‎ ‎.‎ 由(Ⅰ)知 ‎.‎ 轴,.‎ 又[来源:学科网]‎ ‎ .‎ ‎,解得.‎ 即存在,使.‎ 解法二:(Ⅰ)如图,设,把代入得 ‎.由韦达定理得.‎ ‎,点的坐标为.,,‎ 抛物线在点处的切线的斜率为,.‎ ‎(Ⅱ)假设存在实数,使.‎ 由(Ⅰ)知,则 ‎,‎ ‎,,解得.‎ 即存在,使.‎ ‎13.(四川卷21).(本小题满分12分)‎ 设椭圆的左右焦点分别为,离心率,右准线为,是上的两个动点,‎ ‎(Ⅰ)若,求的值;‎ ‎(Ⅱ)证明:当取最小值时,与共线。‎ ‎【解】:由与,得 ‎ ,的方程为 设 则 由得 ‎ ①‎ ‎(Ⅰ)由,得 ‎ ②‎ ‎ ③‎ 由①、②、③三式,消去,并求得 故 ‎(Ⅱ)‎ 当且仅当或时,取最小值 此时,‎ 故与共线。‎ ‎【点评】:此题重点考察椭圆中的基本量的关系,进而求椭圆待定常数,考察向量的综合应用;‎ ‎【突破】:熟悉椭圆各基本量间的关系,数形结合,熟练地进行向量的坐标运算,设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。‎ ‎14.(天津卷22)(本小题满分14分)‎ 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是,一条渐近线的方程是.‎ ‎(Ⅰ)求双曲线C的方程;‎ ‎(Ⅱ)若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M,N,且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围.‎ ‎(22)本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理运算能力.满分14分.‎ ‎(Ⅰ)解:设双曲线的方程为().由题设得 ‎,解得,所以双曲线方程为.‎ ‎(Ⅱ)解:设直线的方程为().点,的坐标满足方程组 将①式代入②式,得,整理得.‎ 此方程有两个一等实根,于是,且.整理得. ③‎ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足 ‎,.‎ 从而线段的垂直平分线方程为.‎ 此直线与轴,轴的交点坐标分别为,.由题设可得.整理得,.‎ 将上式代入③式得,整理得,.‎ 解得或.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎15.(浙江卷20)(本题15分)已知曲线C是到点P()和到直线距离相等的点的轨迹。是过点Q(-1,0)的直线,M是C上(不在上)的动点;A、B在上,轴(如图)。‎ ‎ (Ⅰ)求曲线C的方程;‎ ‎ (Ⅱ)求出直线的方程,使得为常数。‎ 本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分15分.‎ ‎(Ⅰ)解:设为上的点,则 ‎,‎ 到直线的距离为.‎ 由题设得.‎ 化简,得曲线的方程为.‎ ‎(Ⅱ)解法一:‎ A B O Q y x l M 设,直线,则 ‎,从而.‎ 在中,因为 ‎,‎ ‎.‎ 所以 .‎ ‎,‎ ‎.‎ 当时,,‎ 从而所求直线方程为.‎ 解法二:设,直线,则,从而 ‎.‎ 过垂直于的直线.‎ A B O Q y x l M H l1‎ 因为,所以,‎ ‎.‎ 当时,,‎ 从而所求直线方程为.‎ ‎16.(重庆卷21)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)‎ ‎   如图(21)图,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:‎ ‎(Ⅰ)求点P的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)若,求点P的坐标.‎ 解:(Ⅰ)由椭圆的定义,点P的轨迹是以M、N为焦点,长轴长2a=6的椭圆.‎ ‎ 因此半焦距c=2,长半轴a=3,从而短半轴 b=,‎ ‎ 所以椭圆的方程为 ‎ (Ⅱ)由得 ‎ ①‎ ‎ 因为不为椭圆长轴顶点,故P、M、N构成三角形.在△PMN中,‎ ‎ ②‎ ‎ 将①代入②,得 ‎ ‎ ‎ 故点P在以M、N为焦点,实轴长为的双曲线上.‎ ‎ 由(Ⅰ)知,点P的坐标又满足,所以 ‎ 由方程组 解得 ‎ 即P点坐标为