江苏省南京市盐城市高考数学二模试卷 28页

‎2016年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷 ‎　‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1．（5分）设集合A={x|﹣2＜x＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∪B=　　．‎ ‎2．（5分）若复数z=（1+mi）（2﹣i）（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为　　．‎ ‎3．（5分）将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是　　．‎ ‎4．（5分）如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为　　．‎ ‎5．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的k的值为　　．‎ ‎6．（5分）设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn．若S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，则a10等于　　．‎ ‎7．（5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A﹣A1EF的体积是　　．‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且它的图象过点（﹣，﹣），则φ的值为　　．‎ ‎9．（5分）已知f（x）=，不等式f（x）≥﹣1的解集是　　．‎ ‎10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线交于A、B两点（A，B异于坐标原点）．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是　　．‎ ‎11．（5分）在△ABC中，A=120°，AB=4．若点D在边BC上，且=2，AD=，则AC的长为　　．‎ ‎12．（5分）已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为　　．‎ ‎13．（5分）已知函数f（x）=ax2+x﹣b（a，b均为正数），不等式f（x）≥0的解集记为P，集合Q={x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}，若对于任意正数t，P∩Q≠∅，则﹣的最大值是　　．‎ ‎14．（5分）若存在两个正实数x、y，使得等式x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分）．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎15．（14分）已知α为锐角，cos（α+）=．‎ ‎（1）求tan（α+）的值；‎ ‎（2）求sin（2α+）的值．‎ ‎16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．‎ ‎（1）求证：PB∥平面MNC；‎ ‎（2）若AC=BC，求证：PA⊥平面MNC．‎ ‎17．（14分）如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？‎ ‎18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：+=1（a＞b＞0）上，若点A（﹣a，0），B（0，），且=．‎ ‎（1）求椭圆M的离心率；‎ ‎（2）设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点．线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．‎ ‎①若点P（﹣3，0），直线l过点（0，﹣），求直线l的方程；‎ ‎②若直线l过点（0，﹣1），且与x轴的交点为D．求D点横坐标的取值范围．‎ ‎19．（16分）对于函数f（x），在给定区间[a，b]内任取n+1（n≥2，n∈N*）个数x0，x1，x2，…，xn，使得 a=x0＜x1＜x2＜…＜xn﹣1＜xn=b，记S=|f（xi+1）﹣f（xi）|．若存在与n及xi（i≤n，i∈N）均无关的正数A，使得S≤A恒成立，则称f（x）在区间[a，b]上具有性质V．‎ ‎（1）若函数f（x）=﹣2x+1，给定区间为[﹣1，1]，求S的值；‎ ‎（2）若函数f（x）=，给定区间为[0，2]，求S的最大值；‎ ‎（3）对于给定的实数k，求证：函数f（x）=klnx﹣x2 在区间[1，e]上具有性质V．‎ ‎20．（16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an=（﹣1）nSn+pn（p为常数，p≠0）．‎ ‎（1）求p的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）设集合An={a2n﹣1，a2n}，且bn，cn∈An，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn，若b1≠c1，求证：对任意n∈N，Pn≠Qn．‎ ‎　‎ 三、数学附加题【选做题】在以下四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎21．（10分）如图：在Rt∠ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F，求证：BE•CE=EF•EA．‎ ‎　‎ ‎[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎22．（10分）已知a，b是实数，如果矩阵A=所对应的变换T把点（2，3）变成点（3，4）．‎ ‎（1）求a，b的值．‎ ‎（2）若矩阵A的逆矩阵为B，求B2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=，椭圆C的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程；‎ ‎（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．解不等式：|x﹣2|+x|x+2|＞2．‎ ‎　‎ ‎[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎25．（10分）甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．‎ ‎（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；‎ ‎（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．‎ ‎26．（10分）设（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，n∈N*，n≥2．‎ ‎（1）设n=11，求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值；‎ ‎（2）设bk=ak+1（k∈N，k≤n﹣1），Sm=b0+b1+b2+…+bm（m∈N，m≤n﹣1），求||的值．‎ ‎　‎ ‎2016年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1．（5分）（2016•连云港模拟）设集合A={x|﹣2＜x＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∪B=　{x|﹣2＜x＜1}　．‎ ‎【考点】并集及其运算．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．‎ ‎【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，‎ ‎∴A∪B={x|﹣2＜x＜1}．‎ 故答案为：{x|﹣2＜x＜1}．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2016•连云港模拟）若复数z=（1+mi）（2﹣i）（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为　﹣2　．‎ ‎【考点】复数的基本概念．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；对应思想；定义法；数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】根据纯虚数的概念，确定复数的实部和虚部满足的条件即可．‎ ‎【解答】解：z=（1+mi）（2﹣i）=2+m+（m﹣1）i，‎ ‎∵复数z=（1+mi）（2﹣i）（i是虚数单位）是纯虚数，‎ ‎∴2+m=0，‎ 即m=﹣2，‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2016•连云港模拟）将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．‎ ‎【分析】本题是一个等可能事件的概率，将一颗骰子掷两次，共有6×6种结果，满足条件的事件是至少出现一次1点向上的结果有5+5+1种结果，得到概率．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，‎ ‎∵将一颗骰子掷两次，共有6×6=36种结果，‎ 满足条件的事件是至少出现一次1点向上的结果有5+5+1=11种结果，‎ ‎∴至少出现一次点数1的概率是，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2016•连云港模拟）如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为　9　．‎ ‎【考点】用样本的频率分布估计总体分布．菁优网版权所有 ‎【专题】对应思想；数形结合法；概率与统计．‎ ‎【分析】根据频率分布直方图，求出对应的频率与频数即可．‎ ‎【解答】解：根据频率分布直方图，得：‎ 日销售量不少于150个的频率为（0.004+0.002）×50=0.3，‎ 则估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为：30×0.3=9．‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2016•连云港模拟）执行如图所示的流程图，则输出的k的值为　5　．‎ ‎【考点】循环结构．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；图表型；对应思想；试验法；算法和程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=27时满足条件S＞16，退出循环，输出k的值为5．‎ ‎【解答】解：由题意，执行程序框图，可得 k=1，S=1，‎ S=3，k=2‎ 不满足条件S＞16，S=8，k=3‎ 不满足条件S＞16，S=16，k=4‎ 不满足条件S＞16，S=27，k=5‎ 满足条件S＞16，退出循环，输出k的值为5．‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2016•连云港模拟）设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn．若S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，则a10等于　19　．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有 ‎【专题】方程思想；分析法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由等比数列的中项的性质，运用等差数列的求和公式，可得d=2a1，再由S3=a22，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求值．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），‎ 由S1，S2，S4成等比数列，可得：‎ S22=S1S4，即有（2a1+d）2=a1（4a1+6d），‎ 可得d=2a1，‎ 由S3=a22，可得3a1+3d=（a1+d）2，‎ 即有9a1=9a12，‎ 解得a1=1，d=2，‎ 即有a10=a1+9d=1+9×2=19．‎ 故答案为：19．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2016•连云港模拟）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A﹣A1EF的体积是　8　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．‎ ‎【分析】用三棱柱的体积减去三棱锥A1﹣EFC1B1和三棱锥A﹣BCFE的体积．‎ ‎【解答】解：取BC中点D，连结AD，则AD⊥BC，‎ ‎∵平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD⊂平面ABC，‎ ‎∴AD⊥平面BCC1B1．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，AB=4，‎ ‎∴AD=2．‎ ‎∵AA1∥平面BCC1B1，E，F是BB1，CC1的中点，‎ ‎∴VA﹣BCFE=V===8，‎ ‎∴V=V﹣2VA﹣BCFE=﹣2×=8．‎ 故答案为：8‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2016•连云港模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且它的图象过点（﹣，﹣），则φ的值为　﹣　．‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】根据最小正周期为π，利用周期公式即可求出ω的值，利用图象经过点（﹣，﹣），结合其范围即可求出φ的值．‎ ‎【解答】解：依题意可得：=π，解得：ω=2，…（2分）‎ 又图象过点（﹣，﹣），‎ 故2sin[2×（﹣）+φ]=﹣，解得：sin（φ﹣）=﹣，…（3分）‎ 因为|φ|＜，‎ 所以φ=﹣．…（5分）‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2016•连云港模拟）已知f（x）=，不等式f（x）≥﹣1的解集是　{x|﹣4≤x≤2}　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．菁优网版权所有 ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由不等式f（x）≥﹣1可得 ①，或②．分别求出①、②的解集，再取并集，即得所求．‎ ‎【解答】解：∵已知f（x）=，故由不等式f（x）≥﹣1可得 ①，或②．‎ 解①可得﹣4＜x≤0，解②可得 0＜x≤2．‎ 综上可得，不等式的解集为 {x|﹣4≤x≤2}，‎ 故答案为 {x|﹣4≤x≤2}．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2016•连云港模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线交于A、B两点（A，B异于坐标原点）．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是　y=±2x　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，代入抛物线的方程可得A，B，再由A，B，F共线，可得=，即有b=2a，进而得到双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），‎ 双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，‎ 代入抛物线的方程，可得A（，），B（，﹣），‎ 由A，B，F三点共线，可得：‎ ‎=，即有b=2a，‎ 则双曲线的渐近线方程为y=±2x．‎ 故答案为：y=±2x．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2016•连云港模拟）在△ABC中，A=120°，AB=4．若点D在边BC上，且=2，AD=，则AC的长为　3　．‎ ‎【考点】解三角形；向量在几何中的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】转化思想；向量法；综合法；解三角形．‎ ‎【分析】画出图形，结合图形，利用=2，得出﹣=2（﹣），再利用平面向量的数量积求出||即可 ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎△ABC中，∠BAC=120°，AB=4，点D在边BC上，=2，‎ ‎∴=﹣，=﹣，‎ ‎∴﹣=2（﹣），‎ ‎∴3=2+，‎ 两边平方得92=42+4•+2，‎ 又AD=，‎ ‎∴9×（）2=42+4×||×4×cos120°+42，‎ 化简得||2﹣2||﹣3=0，‎ 解得||=3或||=﹣1（不合题意舍去），‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2016•连云港模拟）已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为　[]　．‎ ‎【考点】圆的切线方程．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；转化思想；数形结合法；直线与圆．‎ ‎【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出OP的距离，再由题意得到关于a的不等式求得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，‎ 则∠APO=30°，在Rt△PAO中，PO=2，‎ 又圆M的半径等于1，圆心坐标M（a，a﹣4），‎ ‎∴|PO|min=|MO|﹣1，|PO|max=|MO|+1，‎ ‎∵，‎ ‎∴由，解得：2．‎ 故答案为：[]．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2016•盐城模拟）已知函数f（x）=ax2+x﹣b（a，b均为正数），不等式f（x）≥0的解集记为P，集合Q={x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}，若对于任意正数t，P∩Q≠∅，则﹣的最大值是　　．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．菁优网版权所有 ‎【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据不等式解集对应的关系，得到﹣2∈P，然后利用基本不等式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵不等式f（x）≥0的解集记为P，集合Q={x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}，若对于任意正数t，P∩Q≠∅，‎ ‎∴﹣2∈P，即f（﹣2）≥0，‎ 则4a﹣2﹣b≥0，‎ 即1≤2a﹣，又由题意知，﹣的最大值必是正数，‎ 则﹣=（﹣）×1=（﹣）×（2a﹣）≤2﹣﹣+=﹣2=﹣2=，‎ 即﹣的最大值是，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2016•连云港模拟）若存在两个正实数x、y，使得等式x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为　a＜0或a≥　．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．菁优网版权所有 ‎【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用；导数的综合应用．‎ ‎【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：由x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得x+a（y﹣2ex）ln=0，‎ 即1+a（﹣2e）ln=0，‎ 即设t=，则t＞0，‎ 则条件等价为1+a（t﹣2e）lnt=0，‎ 即（t﹣2e）lnt=有解，‎ 设g（t）=（t﹣2e）lnt，‎ g′（t）=lnt+1﹣为增函数，‎ ‎∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，‎ ‎∴当t＞e时，g′（t）＞0，‎ 当0＜t＜e时，g′（t）＜0，‎ 即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，‎ 即g（t）≥g（e）=﹣e，‎ 若（t﹣2e）lnt=有解，‎ 则≥﹣e，即≤e，‎ 则a＜0或a≥，‎ 故答案为：a＜0或a≥．‎ ‎　‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分）．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎15．（14分）（2016•连云港模拟）已知α为锐角，cos（α+）=．‎ ‎（1）求tan（α+）的值；‎ ‎（2）求sin（2α+）的值．‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数；二倍角的正弦．菁优网版权所有 ‎【专题】转化思想；定义法；三角函数的求值．‎ ‎【分析】（1）利用同角的三角函数的关系式进行求解．‎ ‎（2）利用两角和差的正弦公式进行转化求解．‎ ‎【解答】解（1）∵α为锐角，‎ ‎∴0＜x＜，‎ ‎∴＜α+＜，‎ ‎∵cos（α+）=．‎ ‎∴sin（α+）==‎ 则tan（α+）==2；‎ ‎（2）∵cos2（α+）=2cos2（α+）﹣1=2×（）2﹣1=﹣，‎ ‎∴cos（2α+）=﹣sin2α=﹣，‎ ‎∴sin2α=，‎ ‎∵＜α+＜，cos（α+）=．‎ ‎∴＜α+＜，‎ 即0＜α＜，则0＜2α＜，则cos2α=，‎ 则sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin=×+×=．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）（2016•连云港模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．‎ ‎（1）求证：PB∥平面MNC；‎ ‎（2）若AC=BC，求证：PA⊥平面MNC．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有 ‎【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（1）根据中位线定理可得MN∥PB，故而PB∥平面MNC．‎ ‎（2）由三线合一可得CM⊥AB，再有面面垂直得出CM⊥平面PAB，故CM⊥PA，由AP⊥PB，MN∥PB可得PA⊥MN，故而PA⊥平面MNC．‎ ‎【解答】证明：（1）∵M，N分别为AB，PA的中点，‎ ‎∴MN∥PB，又MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，‎ ‎∴PB∥平面MNC．‎ ‎（2）∵AC=BC，M是AB中点，‎ ‎∴CM⊥AB，‎ 又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CM⊂平面ABC，‎ ‎∴CM⊥平面PAB，∵AP⊂平面PAB，‎ ‎∴AP⊥CM．‎ ‎∵PA⊥PB，MN∥PB，‎ ‎∴PA⊥MN，‎ 又MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM=M，‎ ‎∴PA⊥平面MNC．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）（2016•连云港模拟）如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；在实际问题中建立三角函数模型．菁优网版权所有 ‎【专题】函数思想；数学模型法；不等式的解法及应用；直线与圆．‎ ‎【分析】分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．设A（a，0），B（0，b）（0＜a＜1，0＜b＜‎ ‎1），求得直线AB的方程和圆的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，求得a，b的关系，再由两点的距离公式和基本不等式，解不等式可得AB的最小值，及此时A，B的位置．‎ ‎【解答】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．‎ 设A（a，0），B（0，b）（0＜a＜1，0＜b＜1），‎ 则直线AB方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0．‎ 因为AB与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，所以=1，‎ 化简得ab﹣2（a+b）+2=0，即ab=2（a+b）﹣2，‎ 因此AB===‎ ‎=，‎ 因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以0＜a+b＜2，‎ 于是AB=2﹣（a+b）．‎ 又ab=2（a+b）﹣2≤（）2，‎ 解得0＜a+b≤4﹣2，或a+b≥4+2，‎ 因为0＜a+b＜2，所以0＜a+b≤4﹣2，‎ 所以AB=2﹣（a+b）≥2﹣（4﹣2）=2﹣2，‎ 当且仅当a=b=2﹣时取等号，‎ 所以AB最小值为2﹣2，此时a=b=2﹣．‎ 答：当A，B两点离道路的交点都为2﹣（百米）时，小道AB最短．‎ ‎　‎ ‎18．（16分）（2016•连云港模拟）在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：+=1（a＞b＞0）上，若点A（﹣a，0），B（0，），且=．‎ ‎（1）求椭圆M的离心率；‎ ‎（2）设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点．线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．‎ ‎①若点P（﹣3，0），直线l过点（0，﹣），求直线l的方程；‎ ‎②若直线l过点（0，﹣1），且与x轴的交点为D．求D点横坐标的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）设C（m，n），由向量共线的坐标表示，可得C的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值；‎ ‎（2）①由题意可得c=2，a=3，b==，可得椭圆方程，设直线PQ的方程为y=k（x+3），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得k，进而得到所求直线方程；‎ ‎②设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件，求得4m=5+9k2，再由中点在椭圆内，可得k的范围，再由直线l的方程可得D的横坐标的范围．‎ ‎【解答】解：（1）设C（m，n），由=，‎ 可得（a，a）=（m，n﹣），‎ 可得m=a，n=a，即C（a，a），‎ 即有+=1，即为b2=a2，‎ c2=a2﹣b2=a2，‎ 则e==；‎ ‎（2）①由题意可得c=2，a=3，b==，‎ 即有椭圆方程为+=1，‎ 设直线PQ的方程为y=k（x+3），‎ 代入椭圆方程可得（5+9k2）x2+54k2x+81k2﹣45=0，‎ x1+x2=﹣，PQ的中点H为（﹣，），‎ 由题意可得直线l的斜率为=﹣，‎ 解得k=1或，‎ 即有直线l的方程为y=﹣x﹣或y=﹣x﹣；‎ ‎②设直线PQ的方程为y=kx+m，‎ 代入椭圆方程可得，（5+9k2）x2+18kmx+9m2﹣45=0，‎ 可得x1+x2=﹣，‎ 即有PQ的中点为（﹣，），‎ 由题意可得直线l的斜率为=﹣，‎ 化简可得4m=5+9k2，中点坐标即为（﹣，），‎ 由中点在椭圆内，可得+＜1，‎ 解得﹣＜k＜，‎ 由直线l的方程为y=﹣x﹣1，‎ 可得D的横坐标为﹣k，可得范围是（﹣，0）∪（0，）．‎ ‎　‎ ‎19．（16分）（2016•连云港模拟）对于函数f（x），在给定区间[a，b]内任取n+1（n≥2，n∈N*）个数x0，x1，x2，…，xn，使得 a=x0＜x1＜x2＜…＜xn﹣1＜xn=b，记S=|f（xi+1）﹣f（xi）|．若存在与n及xi（i≤n，i∈N）均无关的正数A，使得S≤A恒成立，则称f（x）在区间[a，b]上具有性质V．‎ ‎（1）若函数f（x）=﹣2x+1，给定区间为[﹣1，1]，求S的值；‎ ‎（2）若函数f（x）=，给定区间为[0，2]，求S的最大值；‎ ‎（3）对于给定的实数k，求证：函数f（x）=klnx﹣x2 在区间[1，e]上具有性质V．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．菁优网版权所有 ‎【专题】综合题；新定义；转化思想；综合法；导数的综合应用．‎ ‎【分析】（1）推导出[f（xi+1）﹣f（xi）]=f（xi）﹣f（xi+1），从而S=|f（xi+1）﹣f（xi）|=f（x0）﹣f（xn）=f（﹣1）﹣f（1），由此能求出S的值．‎ ‎（2）由=0，得x=1，由导数性质得f（x）在x=1时，取极大值．设xm≤1＜xm+1，m∈N，m≤n﹣1，由此能求出S=的最大值．‎ ‎（3），x∈[1，e]，根据当k≥e2，k≤1和1＜k＜e2三种情况进行分类讨论，利用导数性质能证明对于给定的实数k，函数f（x）=klnk﹣在[1，e]上具有性质V．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=﹣2x+1在区间[﹣1，1]为减函数，‎ ‎∴f（xi+1）＜f（xi），∴[f（xi+1）﹣f（xi）]=f（xi）﹣f（xi+1），‎ S=|f（xi+1）﹣f（xi）|=[f（x0）﹣f（x1）]+[f（x1）﹣f（x2）]+…+[f（xn﹣1）﹣f（xn）]‎ ‎=f（x0）﹣f（xn）‎ ‎=f（﹣1）﹣f（1）=4．‎ ‎（2）由=0，得x=1，‎ 当x＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，1）为增函数，‎ 当x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，+∞）为减函数，‎ ‎∴f（x）在x=1时，取极大值．‎ 设xm≤1＜xm+1，m∈N，m≤n﹣1，‎ 则S=‎ ‎=|f（x1）﹣f（0）|+…+|f（xm）﹣f（xm﹣1）|+|f（xm+1）﹣f（xm）|+|f（xm+2）﹣f（xm+1）|+…|f（2）﹣f（xn﹣1）|‎ ‎=[f（x1）﹣f（0）]+…+[f（xm）﹣f（xm﹣1）]+|f（xm+1）﹣f（xm）|+|f（xm+1）﹣f（xm+2）|+…+[f（xn﹣1）﹣f（2）]‎ ‎=[f（xm）﹣f（0）]+|f（xm+1）﹣f（xm）|+[f（xm+1）﹣f（2）]，‎ ‎∵|f（xm+1）﹣f（xm）|≤[f（1）﹣f（xm）]+[f（1）﹣f（xm+1）]，当xm=1时取等号，‎ ‎∴S≤f（xm）﹣f（0）+f（1）﹣f（xm+1）+f（1）﹣f（xm+1）+f（xm+1）﹣f（2）‎ ‎=2f（1）﹣f（0）﹣f（2）=．‎ ‎∴S的最大值为．‎ 证明：（3），x∈[1，e]，‎ ‎①当k≥e2时，k﹣x2≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，e]上为增函数，‎ ‎∴S==[f（x1）﹣f（x0）]+[f（x2）﹣f（x1）]+…+[f（xn）﹣f（xn﹣1）]‎ ‎=f（xn）﹣f（x0）=f（e）﹣f（1）=k+．‎ ‎∴存在正数A=k+，都有S≤A，‎ ‎∴f（x）在[1，e]上具有性质V．‎ ‎②当k≤1时，k﹣x2≤0恒成立，即f′（x）≤0恒成立，∴f（x）在[1，e]上为减函数，‎ ‎∴S=|f（xi+1）﹣f（xi）|=[f（x0）﹣f（x1）]+[f（x1）﹣f（x2）]+…+[f（xn﹣1）﹣f（xn）]‎ ‎=f（x0）﹣f（xn）=f（1）﹣f（e）=．‎ ‎∴存在正数A=，都有S≤A，‎ ‎∴f（x）在[1，e]上具有性质V．‎ ‎③当1＜k＜e2时，由f′（x）=0，得x=，由f′（x）＞0，得1；‎ 由f′（x）＜0，得＜x≤e，∴f（x）在[1，）上为增函数，在[，e]上为减函数，‎ 设xm≤＜xm+1，m∈N，m≤n﹣1，‎ 则S=|f（xi+1）﹣f（xi）|‎ ‎=|f（xi）﹣f（x0）|+…+|f（xm）﹣f（xm﹣1）|+|f（xm+1）﹣f（xm）||+|f（xm+2）﹣f（xm+1）|+…+|f（xn）﹣f（xn﹣1）|‎ ‎=f（x1）﹣f（x0）+…+f（xm）﹣f（xm﹣1）+|f（xm+1）﹣f（xm）|+f（xm+1）﹣f（xm+2）+…+f（xn﹣1）﹣f（xn）‎ ‎=f（xm）﹣f（x0）+f（xm+1）﹣f（xn）+f（）﹣f（xm+1）+f（）﹣f（xm）‎ ‎=2f（）﹣f（x0）﹣f（xn）‎ ‎=klnk﹣k﹣[﹣]‎ ‎=klnk﹣2k+，‎ ‎∴存在正数A=klnk﹣2k+，都有S≤A，‎ ‎∴f（x）在[1，e]上具有性质V．‎ 综上，对于给定的实数k，函数f（x）=klnk﹣在[1，e]上具有性质V．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）（2016•连云港模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an=（﹣1）nSn+pn（p为常数，p≠0）．‎ ‎（1）求p的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）设集合An={a2n﹣1，a2n}，且bn，cn∈An，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn，若b1≠c1，求证：对任意n∈N，Pn≠Qn．‎ ‎【考点】数列的求和．菁优网版权所有 ‎【专题】分类讨论；分析法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）令n=1，n=2，可得p的方程，由p不为0，可得p的值；‎ ‎（2）讨论n为偶数，或奇数，将n换为n﹣1，两式相加可得所求通项公式；‎ ‎（3）求得An={a2n﹣1，a2n}={﹣（）n，（）n}，讨论bn，cn的情况，运用错位相减法求和，即可得证．‎ ‎【解答】（1）解：由题意可得n=1时，a1=（﹣1）S1+p=﹣a1+p，‎ 可得p=2a1；‎ n=2时，a2=S2+p2=a1+a2+p2，可得+p2=0，‎ 解得p=﹣；‎ ‎（2）解：当n为偶数时，an=Sn+（﹣）n，‎ 可得an﹣1=﹣Sn﹣1+（﹣）n﹣1，‎ 两式相加可得，an+an﹣1=an﹣（﹣）n，‎ 即an﹣1=﹣（﹣）n，‎ 可得，当n为奇数时，an=﹣（﹣）n+1；‎ 当n为奇数时，an=﹣Sn+（﹣）n，‎ 可得an﹣1=Sn﹣1+（﹣）n﹣1，‎ 两式相加可得，an+an﹣1=﹣an﹣（﹣）n，‎ 即为2an+an﹣1=﹣（﹣）n，‎ 即有﹣2•（﹣）n+1+an﹣1=﹣（﹣）n，‎ 化简可得an﹣1=﹣2•（﹣）n，‎ 即有当n为偶数时，an=（﹣）n；‎ 则an=；‎ ‎（3）证明：由（2）可得An={a2n﹣1，a2n}={﹣（）n，（）n}，‎ 数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn，若b1≠c1，‎ 即有nbn=﹣n（）n，ncn=n（）n，‎ 即有前n项和为Qn=1•+2•+3•+…+n（）n，‎ Qn=1•+2•+3•+…+n（）n+1，‎ 相减可得，Qn=+++…+（）n﹣n（）n+1，‎ ‎=﹣n（）n+1，‎ 可得Qn=﹣•，Pn=﹣+•，‎ 即有Pn≠Qn．‎ 由于An中相邻两项的和为0，b1≠c1，‎ 则Pn≠Qn．‎ ‎　‎ 三、数学附加题【选做题】在以下四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎21．（10分）（2016•江苏模拟）如图：在Rt∠ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F，求证：BE•CE=EF•EA．‎ ‎【考点】圆的切线的性质定理的证明．菁优网版权所有 ‎【分析】欲证明BE•CE=EF•EA．在圆中线段利用由切割线定理得EB2=EF•FA，进而利用四边形BODE中的线段，证得BE=CE即可．‎ ‎【解答】证明：因为Rt△ABC中，∠ABC=90°‎ 所以OB⊥CB 所以CB为⊙O的切线（2分）‎ 所以EB2=EF•FA（5分）‎ 连接OD，因为AB=BC 所以∠BAC=45°‎ 所以∠BOD=90°‎ 在四边形BODE中，∠BOD=∠OBE=∠BED=90°‎ 所以BODE为矩形（7分）‎ 所以 即BE=CE．‎ 所以BE•CE=EF•EA．（10分）‎ ‎　‎ ‎[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎22．（10分）（2016•盐城模拟）已知a，b是实数，如果矩阵A=所对应的变换T把点（2，3）变成点（3，4）．‎ ‎（1）求a，b的值．‎ ‎（2）若矩阵A的逆矩阵为B，求B2．‎ ‎【考点】逆变换与逆矩阵．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；转化思想；定义法；矩阵和变换．‎ ‎【分析】（1）由题意，得=得6+3a=3，2b﹣6=4，解得即可，‎ ‎（2）求出矩阵A的逆矩阵为B，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，得=得6+3a=3，2b﹣6=4，‎ 所以a=﹣1，b=5．‎ ‎（2）由（1），得矩阵A=所由矩阵的逆矩阵公式得B=‎ B2=‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．（2016•盐城模拟）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=，椭圆C的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程；‎ ‎（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长．‎ ‎【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 ‎【专题】方程思想；综合法；坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】（1）由极坐标方程和普通方程的关系可得直线的方程为x﹣y﹣=0，消去参数t可得椭圆的普通方程为+=1；‎ ‎（2）由（1）联立直线和椭圆方程可解的A（0，﹣），B（，），由两点间的距离公式可得．‎ ‎【解答】解：（1）由ρsin（﹣θ）=可得ρ（cosθ﹣sinθ）=，‎ ‎∴ρcosθ﹣ρsinθ=，即x﹣y=，‎ 变形可得直线直线l的直角坐标方程为x﹣y﹣=0；‎ ‎∵椭圆C的参数方程为，‎ ‎∴cost=，sint=，‎ 由cos2t+sin2t=1可得（）2+（）2=1，‎ 整理可得椭圆C的普通方程为+=1；‎ ‎（2）由（1）联立直线和椭圆方程，‎ 消去y并整理可得5x2﹣8x=0，解得x1=0，x2=，‎ ‎∴A（0，﹣），B（，）‎ ‎∴线段AB的长为=‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．（2016•盐城模拟）解不等式：|x﹣2|+x|x+2|＞2．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 ‎【专题】转化思想；分类法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】分当x≤﹣2时、当﹣2＜x＜2时、当x≥2时三种情况，分别求得不等式的解集，再取并集，即得所求．‎ ‎【解答】解：对于|x﹣2|+x|x+2|＞2，‎ 当x≤﹣2时，不等式化为（2﹣x）+x（﹣x﹣2）＞2，解得﹣3＜x≤﹣2；‎ 当﹣2＜x＜2时，不等式化为（2﹣x）+x（x+2）＞2，解得﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜2；‎ 当x≥2时，不等式化为（x﹣2）+x（x+2）＞2，解得x≥2；‎ 所以原不等式的解集为{x|﹣3＜x＜﹣1或x＞0}．‎ ‎　‎ ‎[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎25．（10分）（2016•江苏模拟）甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．‎ ‎（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；‎ ‎（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．‎ ‎【考点】随机事件；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．‎ ‎【分析】（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个，有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．由此能求出比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率．‎ ‎（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．‎ ‎【解答】解：（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个，有以下几种情况：‎ 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．‎ 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率：‎ p=++=．‎ ‎（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，‎ P（ξ=0）=+++==，‎ P（ξ=1）=+++=，‎ P（ξ=3）==，‎ P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=1﹣=，‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P Eξ==1．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）（2016•盐城模拟）设（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，n∈N*，n≥2．‎ ‎（1）设n=11，求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值；‎ ‎（2）设bk=ak+1（k∈N，k≤n﹣1），Sm=b0+b1+b2+…+bm（m∈N，m≤n﹣1），求||的值．‎ ‎【考点】数列与函数的综合；二项式定理的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；二项式定理．‎ ‎【分析】（1）由二项式定理可得ak=（﹣1）k•，再由二项式系数的性质，可得所求和为210；‎ ‎（2）由组合数的阶乘公式可得bk=（﹣1）k+1•，再由组合数的性质，可得当1≤k≤n﹣1时，bk=（﹣1）k+1•=（﹣1）k+1•（+）=（﹣1）k﹣1•﹣（﹣1）k•，讨论m=0和1≤m≤n﹣1时，计算化简即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：（1）由二项式定理可得ak=（﹣1）k•，‎ 当n=11时，|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|=++…+‎ ‎=（++…++）=210=1024；‎ ‎（2）bk=ak+1=（﹣1）k+1•=（﹣1）k+1•，‎ 当1≤k≤n﹣1时，bk=（﹣1）k+1•=（﹣1）k+1•（+）‎ ‎=（﹣1）k+1•+（﹣1）k+1•=（﹣1）k﹣1•﹣（﹣1）k•，‎ 当m=0时，||=||=1；‎ 当1≤m≤n﹣1时，Sm=b0+b1+b2+…+bm=﹣1+[（﹣1）k﹣1•﹣（﹣1）k•]‎ ‎=﹣1+1﹣（﹣1）m=﹣（﹣1）m，‎ 即有||=1．‎ 综上可得，||=1．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；742048；w3239003；双曲线；zhczcb；caoqz；刘老师；sxs123；maths；zlzhan；yhx01248；lincy（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2016年11月9日