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- 2021-05-13 发布
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阶段性测试题七(不 等 式)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(文)(2014·江西临川十中期中)不等式(x－50)(60－x)>0的解集是( )
A．(－∞，50) B．(60，＋∞)
C．(50,60) D．(－∞，50)∪(60，＋∞)
[答案] C
[解析] 不等式化为(x－50)(x－60)<0，∴50x－1的解集为( )
A．{x|x<－2或01} D．{x|－12}
[答案] B
[解析] 不等式化为<0，即<0，
∴x<－1或0b2”是“a3>b3>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 由a3>b3>0得a>b>0，∴a2>b2，
但a2>b2时，可能有ab3>0不一定成立．
3．(2014·广东梅县东山中学期中)若0≤x≤2，则f(x)＝的最大值( )
A. B.
C. D．2
[答案] B
[解析] ∵0≤x≤2，∴8－3x>0，∴f(x)＝＝＝·≤·＝，等号成立时，3x＝8－3x，∴x＝，
∵0<<2，∴f(x)的最大值为.
4．(文)(2014·河南省实验中学期中)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(－2,2]
C．(－∞，2] D．[－2,2)
[答案] B
[解析] 由条件知
∴－20在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )
A．(－，＋∞) B．[－，1]
C．(1，＋∞) D．(－∞，－]
[答案] A
[解析] ∵x∈[1,5]，∴不等式变形为a>－x＋，
∵x∈[1,5]时，y＝－x＋单调递减，∴y∈[－，1]，
∴要使不等式在[1,5]上有解，应有a>－，故选A.
5．(2014·浙北名校联盟联考)已知a∈R，则“a<2”是“a|a|<1”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] ∵a|a|<1，∴或a<0，
∴a<1，
∵(－∞，1)(－∞，2)，
∴a<2是a<1的必要不充分条件，∴选B.
6．(文)(2014·威海期中)已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值为( )
A．8 B．4 C．2 D．0
[答案] A
[解析] ∵x>0，y>0，∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，等号在＝，即x＝4，y＝2时成立，故选A.
(理)(2014·安徽程集中学期中)已知a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是( )
A．2 B．6
C．2 D．2
[答案] B
[解析] ∵a＋b＝2，∴3a＋3b≥2＝2＝2＝6，等号在3a＝3b时，即a＝1，b＝1时成立，故选B.
7．(文)(2014·浙江杜桥中学期中)若实数x、y满足约束条件，则目标函数z＝x＋y的最大值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
[答案] A
[解析] 作出可行域如图中阴影部分，作直线l0：x＋y＝0，平移l0到经过(4,0)点时，z取最大值，zmax＝4＋0＝4，故选A.
(理)(2014·江西临川十中期中)已知实数x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为( )
A．3 B．5 C．6 D．不存在
[答案] C
[解析] 作出可行域如图中阴影部分，作直线l0：2x＋y＝0，平移直线l0到经过点A(2,2)时，z取最大值，z＝2×2＋2＝6，故选C.
8．(2014·河南省实验中学期中)设函数f(x)＝，若f(x0)>1，则x0的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪[1，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(－∞，－3)∪[1，＋∞)
[答案] B
[解析] 不等式f(x0)>1化为
或
∴x0≥1或x0<－1，∴选B.
9．(文)(2014·山西曲沃中学期中)已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为( )
A．5 B．4 C．2 D．1
[答案] C
[解析] 由条件知a2b－(a2＋1)＝0，且a≠0，
∴ab＝a＋，
∵a＋≥2(a>0时)或a＋≤－2(a<0时)，
∴|ab|≥2，故选C.
(理)(2014·三峡名校联盟联考)已知a，b∈R＋，直线ax＋by＝6平分圆x2＋y2－2x－4y＋m＝0的周长，则＋的最大值为( )
A．6 B．4 C．3 D.
[答案] A
[解析] 解法1：∵直线ax＋by＝6平分圆的周长，
∴直线过圆心C(1,2)，∴a＋2b＝6，∴a＝6－2b，
∵(＋)2＝3a＋6b＋2＝18＋2＝18＋6＝18＋6，
∵b>0，a＝6－2b>0，∴00，b>0)，
∴＋≤.
∴＋≤
＝＝6.
10．(2014·抚顺市六校联合体期中)已知a，b是正数，且满足20，x、y满足约束条件，若z＝2x＋y的最小值为，则a＝( )
A. B.
C．1 D．2
[答案] A
[解析] 作出不等式组所表示的可行域如下图中阴影部分，联立x＝1与y＝a(x－3)得点A(1，－2a)，作直线l：z＝2x＋y，则z为直线l在y轴上的截距，当直线l经过可行域上的点A(1，－2a)时，直线l在y轴上的截距最小，此时，z取最小值，即zmin＝2×1＋(－2a)＝2－2a＝，解得a＝，故选A.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)
13．(2014·天津市六校联考)已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，则A∩B＝________.
[答案] {x|x>3}
[解析] ∵A＝{x|x>－}，B＝{x|x<－1或x>3}，∴A∩B＝{x|x>3}．
14．(2014·江西临川十中期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．
[答案] (－5,0)∪(5，＋∞)
[解析] 当x>0时，不等式f(x)>x化为
∴x>5；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝x2＋4x，
∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－4x(x<0)．
从而x<0时，不等式f(x)>x化为∴－50，函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在区间[－2,2]内单调递减，则4a＋b的最大值为________．
[答案] －12
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意知3x2＋2ax＋b≤0在x∈[－2,2]时恒成立，
∴∴(※)
令z＝4a＋b，作出不等式组※表示的平面区域，作直线l：4a＋b＝z，可见当直线l与直线4a＋b＝－12重合时，z最大，
∴4a＋b的最大值为－12.
16．(文)(2014·安徽程集中学期中)已知，则z＝x－y的最大值是________．
[答案] 2
[解析] 作出可行域如图，作直线l0：x－y＝0，平移l0到l1：y＝x－z，l1经过点A时，直线l1的纵截距最小，此时z取最大值，由解得∴zmax＝2.
(理)(2014·营口三中期中)若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为________．
[答案] －1
[解析] 作出可行域如图，作直线l0：y＝3x，平移l0到经过点A时，－z最大，从而z最小，
由得A(0,1)，∴zmin＝3×0－1＝－1.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分12分)(文)(2014·泉州实验中学期中)已知关于x的不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b；
(2)解关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
[解析] (1)因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1，a>0.
由根与系数的关系得，解得
(2)由(1)知不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0为x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|22时，不等式的解集为{x|22(其中a>1)．
[解析] (1)方程f(x)＝0有小于0的两个实根，等价于方程x(x－a＋1)＋a－4＝0有小于0的两个实根，即方程x2－(a－1)x＋a－4＝0有小于0的两个实根，
∴∴∴a∈∅.
(2)由f(x)>2得，>0，
∴>0，
∴(x－a)(x－1)(x－2)>0，
由于a>1，于是有：
①当12}；
②当a>2时，不等式的解集为{x|1a}；
③当a＝2时，不等式的解集为{x|x>1或x≠2}．
18．(本小题满分12分)(2014·浙江省五校联考)设向量p＝(x,1)，q＝(x＋a,2)，(x∈R)，函数f(x)＝p·q.
(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝p·q＝x(x＋a)＋2＝x2＋ax＋2，
∵不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，∴a＝－3，
于是f(x)＝x2－3x＋2.
由f(x)≥1－x2得，x2－3x＋2≥1－x2，解得x≤或x≥1，
所以，不等式f(x)≥1－x2的解集为{x|x≤或x≥1}．
(2)g(x)＝2x2＋ax＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则即
得：－50，∴x＋1<2－2x<10x＋10，－0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
[解析] (1)当x<0时，－x>0，则
f(－x)＝log (－x)，
∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝log (－x)．
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝
(2)∵f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
∴不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)，
又∵函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴|x2－1|<4，解得：－0，∴a≤6时，此方程恒有正根．
所以当a不超过6km时，可击中目标．
22．(本小题满分14分)(文)(2014·长春调研)已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)．
(1)讨论f(x)＝ex－ax－1(a∈R)的单调性；
(2)若a＝1，求证：当x≥0时，f(x)≥f(－x)．
[解析] (1)解：f ′(x)＝ex－a.当a≤0时，f ′(x)≥0恒成立，
当a>0时，令f ′(x)>0，得x>lna；
令f ′(x)<0，得x0时，增区间是(lna，＋∞)，减区间是(－∞，lna)．
(2)证明：令g(x)＝f(x)－f(－x)＝ex－－2x，g′(x)＝ex＋e－x－2≥0，
∴g(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴g(x)≥g(0)＝0，
∴f(x)≥f(－x)．
(理)(2014·吉林省实验中学一模)已知函数f(x)＝ax－ex(a>0)．
(1)若a＝，求函数f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)当1≤a≤e＋1时，求证：f(x)≤x.
[解析] (1)当a＝时，f(x)＝x－ex，f(1)＝－e，
f ′(x)＝－ex，f ′(1)＝－e，
故函数f(x)在x＝1处的切线方程为y－＋e＝(－e)(x－1)，
即(－e)x－y＝0.
(2)令g(a)＝x－f(x)＝－ax＋x＋ex，
只需证明g(a)≥0在1≤a≤e＋1时恒成立，
g(1)＝－x＋x＋ex＝ex>0，①
g(1＋e)＝－x(1＋e)＋x＋ex＝ex－ex，
设h(x)＝ex－ex，则h′(x)＝ex－e，
当x<1时，h′(x)<0；当x>1时，h′(x)>0.
∴h(x)在(－∞，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增．
∴h(x)≥h(1)＝e－e＝0，即g(1＋e)≥0，②
由①②知，g(a)≥0在1≤a≤e＋1时恒成立，
故当1≤a≤e＋1时，f(x)≤x.
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