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  • 2021-05-13 发布

上海市松江区高考数学一模试卷解析

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‎2017年上海市松江区高考数学一模试卷 一.填空题(本大题满分56分)本大题共有12题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第1~6题每个空格填对得4分,第7~12题每个空格填对得5分,否则一律得零分.‎ ‎1.设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∩N  .‎ ‎2.已知a,b∈R,i是虚数单位.若a+i=2﹣bi,则(a+bi)2=  .‎ ‎3.已知函数f(x)=ax﹣1的图象经过(1,1)点,则f﹣1(3)  .‎ ‎4.不等式x|x﹣1|>0的解集为  .‎ ‎5.已知向量=(sinx,cosx),=(sinx,sinx),则函数f(x)=•的最小正周期为  .‎ ‎6.里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道.在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中,2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为  .‎ ‎7.按如图所示的程序框图运算:若输入x=17,则输出的x值是  .‎ ‎8.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,若=,则n=  .‎ ‎9.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm,如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等,那么这个圆锥的侧面积是  cm2.‎ ‎10.设P(x,y)是曲线C: +=1上的点,F1(﹣4,0),F2(4,0),则|PF1|+|PF2|的最大值=  .‎ ‎11.已知函数f(x)=,若F(x)=f(x)﹣kx在其定义域内有3个零点,则实数k∈  .‎ ‎12.已知数列{an}满足a1=1,a2=3,若|an+1﹣an|=2n(n∈N*),且{a2n﹣1}是递增数列、{a2n}是递减数列,则=  .‎ ‎ ‎ 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎13.已知a,b∈R,则“ab>0“是“+>2”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 ‎14.如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点P在截面A1DB上,则线段AP的最小值等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎15.若矩阵满足:a11,a12,a21,a22∈{0,1},且=0,则这样的互不相等的矩阵共有(  )‎ A.2个 B.6个 C.8个 D.10个 ‎16.解不等式()x﹣x+>0时,可构造函数f(x)=()x﹣x,由f(x)在x∈R是减函数,及f(x)>f(1),可得x<1.用类似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3>0的解集为(  )‎ A.(0,1] B.(﹣1,1) C.(﹣1,1] D.(﹣1,0)‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎17.如图,在正四棱锥P﹣ABCD中,PA=AB=a,E是棱PC的中点.‎ ‎(1)求证:PC⊥BD;‎ ‎(2)求直线BE与PA所成角的余弦值.‎ ‎18.已知函数F(x)=,(a为实数).‎ ‎(1)根据a的不同取值,讨论函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由;‎ ‎(2)若对任意的x≥1,都有1≤f(x)≤3,求a的取值范围.‎ ‎19.上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”.兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高:如图,记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H.在塔身OP射影所在直线上选点A,使仰角k∠HAP=45°,过O点与OA成120°的地面上选B点,使仰角∠HPB=45°(点A、B、O都在同一水平面上),此时测得∠OAB=27°,A与B之间距离为33.6米.试求:‎ ‎(1)塔高(即线段PH的长,精确到0.1米);‎ ‎(2)塔身的倾斜度(即PO与PH的夹角,精确到0.1°).‎ ‎20.已知双曲线C:﹣=1经过点(2,3),两条渐近线的夹角为60°,直线l交双曲线于A、B两点.‎ ‎(1)求双曲线C的方程;‎ ‎(2)若l过原点,P为双曲线上异于A,B的一点,且直线PA、PB的斜率kPA ‎,kPB均存在,求证:kPA•kPB为定值;‎ ‎(3)若l过双曲线的右焦点F1,是否存在x轴上的点M(m,0),使得直线l绕点F1无论怎样转动,都有•=0成立?若存在,求出M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎21.如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都大于2,则称这个数列为“H型数列”.‎ ‎(1)若数列{an}为“H型数列”,且a1=﹣3,a2=,a3=4,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)是否存在首项为1的等差数列{an}为“H型数列”,且其前n项和Sn满足Sn<n2+n(n∈N*)?若存在,请求出{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.‎ ‎(3)已知等比数列{an}的每一项均为正整数,且{an}为“H型数列”,bn=an,cn=,当数列{bn}不是“H型数列”时,试判断数列{cn}是否为“H型数列”,并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2017年上海市松江区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.填空题(本大题满分56分)本大题共有12题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第1~6题每个空格填对得4分,第7~12题每个空格填对得5分,否则一律得零分.‎ ‎1.设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∩N {1} .‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】先求出集合M和N,由此能求出M∩N.‎ ‎【解答】解:∵集合M={x|x2=x}={0,1},‎ N={x|lgx≤0}{x|0<x≤1},‎ ‎∴M∩N={1}.‎ 故答案为:{1}.‎ ‎ ‎ ‎2.已知a,b∈R,i是虚数单位.若a+i=2﹣bi,则(a+bi)2= 3﹣4i .‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得a,b的值,则复数a+bi可求,然后利用复数代数形式的乘法运算得答案.‎ ‎【解答】解:由a,b∈R,且a+i=2﹣bi,得 ‎,即a=2,b=﹣1.‎ ‎∴a+bi=2﹣i.‎ ‎∴(a+bi)2=(2﹣i)2=3﹣4i.‎ 故答案为:3﹣4i.‎ ‎ ‎ ‎3.已知函数f(x)=ax﹣1的图象经过(1,1)点,则f﹣1(3) 2 .‎ ‎【考点】反函数.‎ ‎【分析】根据反函数的与原函数的关系,原函数的定义域是反函数的值域可得答案.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=ax﹣1的图象经过(1,1)点,‎ 可得:1=a﹣1,‎ 解得:a=2.‎ ‎∴f(x)=2x﹣1‎ 那么:f﹣1(3)的值即为2x﹣1=3时,x的值.‎ 由2x﹣1=3,解得:x=2.‎ ‎∴f﹣1(3)=2.‎ 故答案为2.‎ ‎ ‎ ‎4.不等式x|x﹣1|>0的解集为 (0,1)∪(1,+∞) .‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法.‎ ‎【分析】通过讨论x的范围,去掉绝对值号,求出不等式的解集即可.‎ ‎【解答】解:∵x|x﹣1|>0,‎ ‎∴x>0,|x﹣1|>0,‎ 故x﹣1>0或x﹣1<0,‎ 解得:x>1或0<x<1,‎ 故不等式的解集是(0,1)∪(1,+∞),‎ 故答案为:(0,1)∪(1,+∞).‎ ‎ ‎ ‎5.已知向量=(sinx,cosx),=(sinx,sinx),则函数f(x)=•的最小正周期为 π .‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】由平面向量的坐标运算可得f(x),再由辅助角公式化积,利用周期公式求得周期.‎ ‎【解答】解:∵=(sinx,cosx),=(sinx,sinx),‎ ‎∴f(x)=•=sin2x﹣sinxcosx=‎ ‎==.‎ ‎∴T=.‎ 故答案为:π.‎ ‎ ‎ ‎6.里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道.在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中,2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为  .‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式.‎ ‎【分析】先求出基本事件总数n=,再求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=,由此能求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率.‎ ‎【解答】解:里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道.‎ 在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中,‎ 基本事件总数n=,‎ ‎2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=,‎ ‎∴2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为p===.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎7.按如图所示的程序框图运算:若输入x=17,则输出的x值是 143 .‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的x,k的值,当x=143时满足条件x>115,退出循环,输出x的值为143,即可得解.‎ ‎【解答】解:模拟程序的运行,可得 x=17,k=0‎ 执行循环体,x=35,k=1‎ 不满足条件x>115,执行循环体,x=71,k=2‎ 不满足条件x>115,执行循环体,x=143,k=3‎ 满足条件x>115,退出循环,输出x的值为143.‎ 故答案为:143.‎ ‎ ‎ ‎8.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,若=,则n= 11 .‎ ‎【考点】二项式系数的性质.‎ ‎【分析】利用二项式定理展开可得:(1+x)n=+x3+…=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,比较系数即可得出.‎ ‎【解答】解:∵(1+x)n=+x3+…=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,‎ 又=,∴=,∴=,n﹣2=9,‎ 则n=11.‎ 故答案为:11.‎ ‎ ‎ ‎9.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm,如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等,那么这个圆锥的侧面积是 π cm2.‎ ‎【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).‎ ‎【分析】由已知求出圆锥的母线长,代入圆锥的侧面积公式,可得答案.‎ ‎【解答】解:由题意可知球的体积为:×13=cm3,‎ 圆锥的体积为:×π×12×h=hcm3,‎ 因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等,‎ 所以 =h,所以h=4cm,‎ 圆锥的母线:l==cm.‎ 故圆锥的侧面积S=πrl=πcm2,‎ 故答案为:π ‎ ‎ ‎10.设P(x,y)是曲线C: +=1上的点,F1(﹣4,0),F2(4,0),则|PF1|+|PF2|的最大值= 10 .‎ ‎【考点】曲线与方程.‎ ‎【分析】先将曲线方程化简,再根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10.‎ ‎【解答】解:曲线C可化为: =1,它表示顶点分别为(±5,0),(0,±3)的平行四边形,‎ 根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10,当且仅当点P为(0,±3)时取最大值,‎ 故答案为10.‎ ‎ ‎ ‎11.已知函数f(x)=,若F(x)=f(x)﹣kx在其定义域内有3个零点,则实数k∈ (0,) .‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断.‎ ‎【分析】问题转化为f(x)和y=kx有3个交点,画出函数f(x)和y=kx的图象,求出临界值,从而求出k的范围即可.‎ ‎【解答】解:若F(x)=f(x)﹣kx在其定义域内有3个零点,‎ 即f(x)和y=kx有3个交点,‎ 画出函数f(x)和y=kx的图象,如图示:‎ ‎,‎ 点(2,0)到直线y=kx的距离d==1,‎ 解得:k=,‎ 故:0<k<;‎ 故答案为:(0,).‎ ‎ ‎ ‎12.已知数列{an}满足a1=1,a2=3,若|an+1﹣an|=2n(n∈N*),且{a2n﹣1}是递增数列、{a2n}是递减数列,则= ﹣ .‎ ‎【考点】数列的极限.‎ ‎【分析】依题意,可求得a3﹣a2=22,a4﹣a3=﹣23,…,a2n﹣a2n﹣1=﹣22n﹣1‎ ‎,累加求和,可得a2n=﹣•22n,a2n﹣1=a2n+22n﹣1=+•22n;从而可求得的值.‎ ‎【解答】解:∵a1=1,a2=3,|an+1﹣an|=2n(n∈N*),‎ ‎∴a3﹣a2=±22,‎ 又{a2n﹣1}是递增数列、{a2n}是递减数列,‎ ‎∴a3﹣a2=4=22;‎ 同理可得,a4﹣a3=﹣23,‎ a5﹣a4=24,‎ a6﹣a5=﹣25,‎ ‎…,‎ a2n﹣1﹣a2n﹣2=22n﹣2,‎ a2n﹣a2n﹣1=﹣22n﹣1,‎ ‎∴a2n=(a2n﹣a2n﹣1)+(a2n﹣1﹣a2n﹣2)+…+(a3﹣a2)+(a2﹣a1)+a1=1+2+(22﹣23+24﹣…+22n﹣2﹣22n﹣1)=3+=﹣•22n﹣2=﹣•22n;‎ ‎∴a2n﹣1=a2n+22n﹣1=+•22n;‎ ‎∴则===﹣.‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎13.已知a,b∈R,则“ab>0“是“+>2”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.‎ ‎【解答】解:由+>2,得:>0,‎ 故ab>0且a≠b,‎ 故“ab>0“是“+>2”的必要不充分条件,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎14.如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点P在截面A1DB上,则线段AP的最小值等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算.‎ ‎【分析】由已知可得AC1⊥平面A1DB,可得P为AC1与截面A1DB的垂足时线段AP最小,然后利用等积法求解.‎ ‎【解答】解:如图,连接AC1交截面A1DB于P,由CC1⊥底面,可得CC1⊥BD,又AC⊥BD,可得BD⊥平面ACC1,则AC1⊥BD.‎ 同理可得AC1⊥A1B,得到AC1⊥平面A1DB,此时线段AP最小.‎ 由棱长为1,可得等边三角形A1DB的边长为,∴.‎ 由,可得,得AP=.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎15.若矩阵满足:a11,a12,a21,a22∈{0,1},且 ‎=0,则这样的互不相等的矩阵共有(  )‎ A.2个 B.6个 C.8个 D.10个 ‎【考点】几种特殊的矩阵变换.‎ ‎【分析】根据题意,分类讨论,考虑全为0;全为1;三个0,一个1;两个0,两个1,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由 =0,‎ 可得a11a22﹣a12a21=0,‎ 由于a11,a12,a21,a22∈{0,1},‎ 可得矩阵可以是,,,,‎ ‎,,,,,.‎ 则这样的互不相等的矩阵共有10个.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎16.解不等式()x﹣x+>0时,可构造函数f(x)=()x﹣x,由f(x)在x∈R是减函数,及f(x)>f(1),可得x<1.用类似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3>0的解集为(  )‎ A.(0,1] B.(﹣1,1) C.(﹣1,1] D.(﹣1,0)‎ ‎【考点】类比推理.‎ ‎【分析】由题意,构造函数g(x)=arcsinx+x3,在x∈[﹣1,1]上是增函数,且是奇函数,不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3>0可化为g(x2)>g(﹣x),即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由题意,构造函数g(x)=arcsinx+x3,在x∈[﹣1,1]上是增函数,且是奇函数,‎ 不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3>0可化为g(x2)>g(﹣x),‎ ‎∴﹣1≤﹣x<x2≤1,‎ ‎∴0<x≤1,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎17.如图,在正四棱锥P﹣ABCD中,PA=AB=a,E是棱PC的中点.‎ ‎(1)求证:PC⊥BD;‎ ‎(2)求直线BE与PA所成角的余弦值.‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的性质.‎ ‎【分析】(1)推导出△PBC,△PDC都是等边三角形,从而BE⊥PC,DE⊥PC,由此能证明PC⊥BD.‎ ‎(2)连接AC,交BD于点O,连OE,则AP∥OE,∠BOE即为BE与PA所成的角,由此能求出直线BE与PA所成角的余弦值.‎ ‎【解答】证明:(1)∵四边形ABCD为正方形,且PA=AB=a,‎ ‎∴△PBC,△PDC都是等边三角形,…‎ ‎∵E是棱PC的中点,‎ ‎∴BE⊥PC,DE⊥PC,又 BE∩DE=E,‎ ‎∴PC⊥平面BDE…‎ 又BD⊂平面BDE,‎ ‎∴PC⊥BD…‎ 解:(2)连接AC,交BD于点O,连OE. ‎ 四边形ABCD为正方形,∴O是AC的中点…‎ 又E是PC的中点 ‎∴OE为△ACP的中位线,∴AP∥OE ‎∴∠BOE即为BE与PA所成的角 …‎ 在Rt△BOE中,BE=,EO=,…‎ ‎∴.‎ ‎∴直线BE与PA所成角的余弦值为.…‎ ‎ ‎ ‎18.已知函数F(x)=,(a为实数).‎ ‎(1)根据a的不同取值,讨论函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由;‎ ‎(2)若对任意的x≥1,都有1≤f(x)≤3,求a的取值范围.‎ ‎【考点】函数恒成立问题.‎ ‎【分析】(1)、根据题意,先求出函数的定义域,易得其定义域关于原点对称,求出F(﹣x)的解析式,进而分2种情况讨论:①若y=f(x)是偶函数,②若y=f(x)是奇函数,分别求出每种情况下a的值,综合即可得答案;‎ ‎(2)根据题意,由f(x)的范围,分2种情况进行讨论:f(x)≥1以及f(x)≤3,分析求出每种情况下函数的恒成立的条件,可得a的值,进而综合2种情况,可得答案.‎ ‎【解答】解:(1)函数F(x)=定义域为R,‎ 且F(﹣x)==,‎ ‎①若y=f(x)是偶函数,则对任意的x 都有f(x)=f(﹣x),‎ 即=,即2x(a+1)=a+1,‎ 解可得a=﹣1;‎ ‎②若y=f(x)是奇函数,则对任意的x 都有f(x)=﹣f(﹣x),‎ 即=﹣,即2x(a﹣1)=1﹣a,‎ 解可得a=1;‎ 故当a=﹣1时,y=f(x)是偶函数,‎ 当a=1时,y=f(x)是奇函数,‎ 当a≠±1时,y=f(x)既非偶函数也非奇函数,‎ ‎(2)由f(x)≥1可得:2x+1≤a•2x﹣1,即≤a﹣1 …‎ ‎∵当x≥1时,函数y1= 单调递减,其最大值为1,‎ 则必有a≥2,‎ 同理,由f(x)≤3 可得:a•2x﹣1≤3•2x+3,即a﹣3≤,‎ ‎∵当x≥1时,y2=单调递减,且无限趋近于0,‎ 故a≤3,‎ 综合可得:2≤a≤3.‎ ‎ ‎ ‎19.上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”.兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高:如图,记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H.在塔身OP射影所在直线上选点A,使仰角k∠HAP=45°,过O点与OA成120°的地面上选B点,使仰角∠HPB=45°(点A、B、O都在同一水平面上),此时测得∠OAB=27°,A与B之间距离为33.6米.试求:‎ ‎(1)塔高(即线段PH的长,精确到0.1米);‎ ‎(2)塔身的倾斜度(即PO与PH的夹角,精确到0.1°).‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算;异面直线及其所成的角.‎ ‎【分析】(1)由题意可知:△PAH,△PBH均为等腰直角三角形,AH=BH=x,∠HAB=27°,AB=33.6,即可求得x===18.86;‎ ‎(2)∠OBH=180°﹣120°﹣2×27°=6°,BH=18.86,由正弦定理可知: =,OH==2.28,则倾斜角∠OPH=arctan=arctan=6.89°.‎ ‎【解答】解:(1)设塔高PH=x,由题意知,∠HAP=45°,∠HBP=45°,‎ ‎∴△PAH,△PBH均为等腰直角三角形,‎ ‎∴AH=BH=x…‎ 在△AHB中,AH=BH=x,∠HAB=27°,AB=33.6,‎ ‎∴x===18.86…‎ ‎(2)在△BOH中,∠BOH=120°,‎ ‎∴∠OBH=180°﹣120°﹣2×27°=6°,BH=18.86,‎ 由=,‎ 得OH==2.28,…‎ ‎∴∠OPH=arctan=arctan=6.89°,…‎ ‎∴塔高18.9米,塔的倾斜度为6.8°. …‎ ‎ ‎ ‎20.已知双曲线C:﹣=1经过点(2,3),两条渐近线的夹角为60°,直线l交双曲线于A、B两点.‎ ‎(1)求双曲线C的方程;‎ ‎(2)若l过原点,P为双曲线上异于A,B的一点,且直线PA、PB的斜率kPA,kPB均存在,求证:kPA•kPB为定值;‎ ‎(3)若l过双曲线的右焦点F1,是否存在x轴上的点M(m,0),使得直线l绕点F1无论怎样转动,都有•=0成立?若存在,求出M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】直线与双曲线的位置关系.‎ ‎【分析】(1)利用双曲线C:﹣=1经过点(2,3),两条渐近线的夹角为60°,建立方程,即可求双曲线C的方程;‎ ‎(2)设M(x0,y0),由双曲线的对称性,可得N的坐标,设P(x,y),结合题意,又由M、P在双曲线上,可得y02=3x02﹣3,y2=3x2﹣3,将其坐标代入kPM•kPN中,计算可得答案.‎ ‎(3)先假设存在定点M,使MA⊥MB恒成立,设出M点坐标,根据数量级为0,求得结论.‎ ‎【解答】(1)解:由题意得 …‎ 解得a=1,b= …‎ ‎∴双曲线C的方程为; …‎ ‎(2)证明:设A(x0,y0),由双曲线的对称性,可得B(﹣x0,﹣y0).‎ 设P(x,y),…‎ 则kPA•kPB=,‎ ‎∵y02=3x02﹣3,y2=3x2﹣3,…‎ 所以kPA•kPB==3 …‎ ‎(3)解:由(1)得点F1为(2,0)‎ 当直线l的斜率存在时,设直线方程y=k(x﹣2),A(x1,y1),B(x2,y2)‎ 将方程y=k(x﹣2)与双曲线方程联立消去y得:(k2﹣3)x2﹣4k2x+4k2+3=0,‎ ‎∴x1+x2=,x1x2=‎ 假设双曲线C上存在定点M,使MA⊥MB恒成立,设为M(m,n)‎ 则•=(x1﹣m)(x2﹣m)+[k(x1﹣2)﹣n][k(x2﹣2)﹣n]‎ ‎=(k2+1)x1x2﹣(2k2+kn+m)(x1+x2)+m2+4k2+4kn+n2==0,‎ 故得:(m2+n2﹣4m﹣5)k2﹣12nk﹣3(m2+n2﹣1)=0对任意的k2>3恒成立,‎ ‎∴,解得m=﹣1,n=0‎ ‎∴当点M为(﹣1,0)时,MA⊥MB恒成立;‎ 当直线l的斜率不存在时,由A(2,3),B(2,﹣3)知点M(﹣1,0)使得MA⊥MB也成立.‎ 又因为点(﹣1,0)是双曲线C的左顶点,‎ 所以双曲线C上存在定点M(﹣1,0),使MA⊥MB恒成立.…‎ ‎ ‎ ‎21.如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都大于2,则称这个数列为“H型数列”.‎ ‎(1)若数列{an}为“H型数列”,且a1=﹣3,a2=,a3=4,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)是否存在首项为1的等差数列{an}为“H型数列”,且其前n项和Sn满足Sn<n2+n(n∈N*)?若存在,请求出{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.‎ ‎(3)已知等比数列{an}的每一项均为正整数,且{an}为“H型数列”,bn=an,cn=,当数列{bn}不是“H型数列”时,试判断数列{cn}是否为“H型数列”,并说明理由.‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】(1)由题意得,a2﹣a1=3>2,a3﹣a2=4﹣>2,即2﹣=>0,解得m范围即可得出.‎ ‎(2)假设存在等差数列{an}为“H型数列”,设公差为d,则d>2,由a1=1,可得:Sn=n+,由题意可得:n+<n2+n对n∈N*都成立,即d都成立.解出即可判断出结论.‎ ‎(3)设等比数列{an}的公比为q,则an=,且每一项均为正整数,且an+1﹣an=an(q﹣1)>2>0,可得an+1﹣an=an(q﹣1)>an﹣an﹣1,即在数列{an﹣an﹣1}(n≥2)中,“a2﹣a1”为最小项.同理在数列{bn﹣bn﹣1}(n≥2)中,“b2﹣b1”为最小项.由{an}为“H型数列”,可知只需a2﹣a1>2,即 a1(q﹣1)>2,又因为{bn}不是“H型数列”,且“b2﹣b1”为最小项,可得b2﹣b1≤2,即 a1(q﹣1)≤3,由数列{an}的每一项均为正整数,可得 a1(q﹣1)=3,a1=1,q=4或a1=3,q=2,通过分类讨论即可判断出结论.‎ ‎【解答】解:(1)由题意得,a2﹣a1=3>2,a3﹣a2=4﹣>2,即2﹣=>0,解得m或m<0.‎ ‎∴实数m的取值范围时(﹣∞,0)∪.‎ ‎(2)假设存在等差数列{an}为“H型数列”,设公差为d,则d>2,由a1=1,可得:Sn=n+,由题意可得:n+<n2+n对n∈N*都成立,即d 都成立.∵=2+>2,且=2,∴d≤2,与d>2矛盾,因此不存在等差数列{an}为“H型数列”.‎ ‎(3)设等比数列{an}的公比为q,则an=,且每一项均为正整数,且an+1﹣an=an(q﹣1)>2>0,‎ ‎∴a1>0,q>1.∵an+1﹣an=an(q﹣1)>an﹣an﹣1,即在数列{an﹣an﹣1}(n≥2)中,“a2﹣a1”为最小项.‎ 同理在数列{bn﹣bn﹣1}(n≥2)中,“b2﹣b1”为最小项.由{an}为“H型数列”,可知只需a2﹣a1>2,‎ 即 a1(q﹣1)>2,又因为{bn}不是“H型数列”,且“b2﹣b1”为最小项,∴b2﹣b1≤2,即 a1(q﹣1)≤3‎ ‎,由数列{an}的每一项均为正整数,可得 a1(q﹣1)=3,∴a1=1,q=4或a1=3,q=2,‎ ‎①当a1=1,q=4时,,则,令,则,令,则 ‎=,‎ ‎∴{dn}为递增数列,‎ 即 dn>dn﹣1>dn﹣2>…>d1,‎ 即 cn+1﹣cn>cn﹣cn﹣1>cn﹣1﹣cn﹣2>…>c2﹣c1,‎ ‎∵,所以,对任意的n∈N*都有cn+1﹣cn>2,‎ 即数列{cn}为“H型数列”.②当a1=3,q=2时,,‎ 则,显然,{cn}为递减数列,c2﹣c1<0≤2,‎ 故数列{cn}不是“H型数列”; ‎ ‎ 综上:当时,数列{cn}为“H型数列”,‎ ‎ 当时,数列{cn}不是“H型数列”.‎ ‎ ‎