上海市松江区高考数学一模试卷解析 21页

‎2017年上海市松江区高考数学一模试卷 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．‎ ‎1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∩N　　．‎ ‎2．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=　　．‎ ‎3．已知函数f（x）=ax﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）　　．‎ ‎4．不等式x|x﹣1|＞0的解集为　　．‎ ‎5．已知向量=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），则函数f（x）=•的最小正周期为　　．‎ ‎6．里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为　　．‎ ‎7．按如图所示的程序框图运算：若输入x=17，则输出的x值是　　．‎ ‎8．设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，若=，则n=　　．‎ ‎9．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是　　cm2．‎ ‎10．设P（x，y）是曲线C： +=1上的点，F1（﹣4，0），F2（4，0），则|PF1|+|PF2|的最大值=　　．‎ ‎11．已知函数f（x）=，若F（x）=f（x）﹣kx在其定义域内有3个零点，则实数k∈　　．‎ ‎12．已知数列{an}满足a1=1，a2=3，若|an+1﹣an|=2n（n∈N*），且{a2n﹣1}是递增数列、{a2n}是递减数列，则=　　．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎13．已知a，b∈R，则“ab＞0“是“+＞2”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎14．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎15．若矩阵满足：a11，a12，a21，a22∈{0，1}，且=0，则这样的互不相等的矩阵共有（　　）‎ A．2个 B．6个 C．8个 D．10个 ‎16．解不等式（）x﹣x+＞0时，可构造函数f（x）=（）x﹣x，由f（x）在x∈R是减函数，及f（x）＞f（1），可得x＜1．用类似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3＞0的解集为（　　）‎ A．（0，1] B．（﹣1，1） C．（﹣1，1] D．（﹣1，0）‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎17．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点．‎ ‎（1）求证：PC⊥BD；‎ ‎（2）求直线BE与PA所成角的余弦值．‎ ‎18．已知函数F（x）=，（a为实数）．‎ ‎（1）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）若对任意的x≥1，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围．‎ ‎19．上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H．在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角k∠HAP=45°，过O点与OA成120°的地面上选B点，使仰角∠HPB=45°（点A、B、O都在同一水平面上），此时测得∠OAB=27°，A与B之间距离为33.6米．试求：‎ ‎（1）塔高（即线段PH的长，精确到0.1米）；‎ ‎（2）塔身的倾斜度（即PO与PH的夹角，精确到0.1°）．‎ ‎20．已知双曲线C：﹣=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）若l过原点，P为双曲线上异于A，B的一点，且直线PA、PB的斜率kPA ‎，kPB均存在，求证：kPA•kPB为定值；‎ ‎（3）若l过双曲线的右焦点F1，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点F1无论怎样转动，都有•=0成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”．‎ ‎（1）若数列{an}为“H型数列”，且a1=﹣3，a2=，a3=4，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）是否存在首项为1的等差数列{an}为“H型数列”，且其前n项和Sn满足Sn＜n2+n（n∈N*）？若存在，请求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）已知等比数列{an}的每一项均为正整数，且{an}为“H型数列”，bn=an，cn=，当数列{bn}不是“H型数列”时，试判断数列{cn}是否为“H型数列”，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017年上海市松江区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．‎ ‎1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∩N　{1}　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】先求出集合M和N，由此能求出M∩N．‎ ‎【解答】解：∵集合M={x|x2=x}={0，1}，‎ N={x|lgx≤0}{x|0＜x≤1}，‎ ‎∴M∩N={1}．‎ 故答案为：{1}．‎ ‎　‎ ‎2．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=　3﹣4i　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得a，b的值，则复数a+bi可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案．‎ ‎【解答】解：由a，b∈R，且a+i=2﹣bi，得 ‎，即a=2，b=﹣1．‎ ‎∴a+bi=2﹣i．‎ ‎∴（a+bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i．‎ 故答案为：3﹣4i．‎ ‎　‎ ‎3．已知函数f（x）=ax﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）　2　．‎ ‎【考点】反函数．‎ ‎【分析】根据反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域可得答案．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=ax﹣1的图象经过（1，1）点，‎ 可得：1=a﹣1，‎ 解得：a=2．‎ ‎∴f（x）=2x﹣1‎ 那么：f﹣1（3）的值即为2x﹣1=3时，x的值．‎ 由2x﹣1=3，解得：x=2．‎ ‎∴f﹣1（3）=2．‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ ‎4．不等式x|x﹣1|＞0的解集为　（0，1）∪（1，+∞）　．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】通过讨论x的范围，去掉绝对值号，求出不等式的解集即可．‎ ‎【解答】解：∵x|x﹣1|＞0，‎ ‎∴x＞0，|x﹣1|＞0，‎ 故x﹣1＞0或x﹣1＜0，‎ 解得：x＞1或0＜x＜1，‎ 故不等式的解集是（0，1）∪（1，+∞），‎ 故答案为：（0，1）∪（1，+∞）．‎ ‎　‎ ‎5．已知向量=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），则函数f（x）=•的最小正周期为　π　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由平面向量的坐标运算可得f（x），再由辅助角公式化积，利用周期公式求得周期．‎ ‎【解答】解：∵=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），‎ ‎∴f（x）=•=sin2x﹣sinxcosx=‎ ‎==．‎ ‎∴T=．‎ 故答案为：π．‎ ‎　‎ ‎6．里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】先求出基本事件总数n=，再求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=，由此能求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率．‎ ‎【解答】解：里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．‎ 在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，‎ 基本事件总数n=，‎ ‎2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=，‎ ‎∴2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为p===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎7．按如图所示的程序框图运算：若输入x=17，则输出的x值是　143　．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，k的值，当x=143时满足条件x＞115，退出循环，输出x的值为143，即可得解．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得 x=17，k=0‎ 执行循环体，x=35，k=1‎ 不满足条件x＞115，执行循环体，x=71，k=2‎ 不满足条件x＞115，执行循环体，x=143，k=3‎ 满足条件x＞115，退出循环，输出x的值为143．‎ 故答案为：143．‎ ‎　‎ ‎8．设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，若=，则n=　11　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】利用二项式定理展开可得：（1+x）n=+x3+…=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，比较系数即可得出．‎ ‎【解答】解：∵（1+x）n=+x3+…=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，‎ 又=，∴=，∴=，n﹣2=9，‎ 则n=11．‎ 故答案为：11．‎ ‎　‎ ‎9．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是　π　cm2．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知球的体积为：×13=cm3，‎ 圆锥的体积为：×π×12×h=hcm3，‎ 因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，‎ 所以 =h，所以h=4cm，‎ 圆锥的母线：l==cm．‎ 故圆锥的侧面积S=πrl=πcm2，‎ 故答案为：π ‎　‎ ‎10．设P（x，y）是曲线C： +=1上的点，F1（﹣4，0），F2（4，0），则|PF1|+|PF2|的最大值=　10　．‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10．‎ ‎【解答】解：曲线C可化为： =1，它表示顶点分别为（±5，0），（0，±3）的平行四边形，‎ 根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10，当且仅当点P为（0，±3）时取最大值，‎ 故答案为10．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=，若F（x）=f（x）﹣kx在其定义域内有3个零点，则实数k∈　（0，）　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】问题转化为f（x）和y=kx有3个交点，画出函数f（x）和y=kx的图象，求出临界值，从而求出k的范围即可．‎ ‎【解答】解：若F（x）=f（x）﹣kx在其定义域内有3个零点，‎ 即f（x）和y=kx有3个交点，‎ 画出函数f（x）和y=kx的图象，如图示：‎ ‎，‎ 点（2，0）到直线y=kx的距离d==1，‎ 解得：k=，‎ 故：0＜k＜；‎ 故答案为：（0，）．‎ ‎　‎ ‎12．已知数列{an}满足a1=1，a2=3，若|an+1﹣an|=2n（n∈N*），且{a2n﹣1}是递增数列、{a2n}是递减数列，则=　﹣　．‎ ‎【考点】数列的极限．‎ ‎【分析】依题意，可求得a3﹣a2=22，a4﹣a3=﹣23，…，a2n﹣a2n﹣1=﹣22n﹣1‎ ‎，累加求和，可得a2n=﹣•22n，a2n﹣1=a2n+22n﹣1=+•22n；从而可求得的值．‎ ‎【解答】解：∵a1=1，a2=3，|an+1﹣an|=2n（n∈N*），‎ ‎∴a3﹣a2=±22，‎ 又{a2n﹣1}是递增数列、{a2n}是递减数列，‎ ‎∴a3﹣a2=4=22；‎ 同理可得，a4﹣a3=﹣23，‎ a5﹣a4=24，‎ a6﹣a5=﹣25，‎ ‎…，‎ a2n﹣1﹣a2n﹣2=22n﹣2，‎ a2n﹣a2n﹣1=﹣22n﹣1，‎ ‎∴a2n=（a2n﹣a2n﹣1）+（a2n﹣1﹣a2n﹣2）+…+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1=1+2+（22﹣23+24﹣…+22n﹣2﹣22n﹣1）=3+=﹣•22n﹣2=﹣•22n；‎ ‎∴a2n﹣1=a2n+22n﹣1=+•22n；‎ ‎∴则===﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎13．已知a，b∈R，则“ab＞0“是“+＞2”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：由+＞2，得：＞0，‎ 故ab＞0且a≠b，‎ 故“ab＞0“是“+＞2”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】由已知可得AC1⊥平面A1DB，可得P为AC1与截面A1DB的垂足时线段AP最小，然后利用等积法求解．‎ ‎【解答】解：如图，连接AC1交截面A1DB于P，由CC1⊥底面，可得CC1⊥BD，又AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC1，则AC1⊥BD．‎ 同理可得AC1⊥A1B，得到AC1⊥平面A1DB，此时线段AP最小．‎ 由棱长为1，可得等边三角形A1DB的边长为，∴．‎ 由，可得，得AP=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎15．若矩阵满足：a11，a12，a21，a22∈{0，1}，且 ‎=0，则这样的互不相等的矩阵共有（　　）‎ A．2个 B．6个 C．8个 D．10个 ‎【考点】几种特殊的矩阵变换．‎ ‎【分析】根据题意，分类讨论，考虑全为0；全为1；三个0，一个1；两个0，两个1，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由 =0，‎ 可得a11a22﹣a12a21=0，‎ 由于a11，a12，a21，a22∈{0，1}，‎ 可得矩阵可以是，，，，‎ ‎，，，，，．‎ 则这样的互不相等的矩阵共有10个．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎16．解不等式（）x﹣x+＞0时，可构造函数f（x）=（）x﹣x，由f（x）在x∈R是减函数，及f（x）＞f（1），可得x＜1．用类似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3＞0的解集为（　　）‎ A．（0，1] B．（﹣1，1） C．（﹣1，1] D．（﹣1，0）‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】由题意，构造函数g（x）=arcsinx+x3，在x∈[﹣1，1]上是增函数，且是奇函数，不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3＞0可化为g（x2）＞g（﹣x），即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，构造函数g（x）=arcsinx+x3，在x∈[﹣1，1]上是增函数，且是奇函数，‎ 不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3＞0可化为g（x2）＞g（﹣x），‎ ‎∴﹣1≤﹣x＜x2≤1，‎ ‎∴0＜x≤1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎17．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点．‎ ‎（1）求证：PC⊥BD；‎ ‎（2）求直线BE与PA所成角的余弦值．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）推导出△PBC，△PDC都是等边三角形，从而BE⊥PC，DE⊥PC，由此能证明PC⊥BD．‎ ‎（2）连接AC，交BD于点O，连OE，则AP∥OE，∠BOE即为BE与PA所成的角，由此能求出直线BE与PA所成角的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，且PA=AB=a，‎ ‎∴△PBC，△PDC都是等边三角形，…‎ ‎∵E是棱PC的中点，‎ ‎∴BE⊥PC，DE⊥PC，又 BE∩DE=E，‎ ‎∴PC⊥平面BDE…‎ 又BD⊂平面BDE，‎ ‎∴PC⊥BD…‎ 解：（2）连接AC，交BD于点O，连OE． ‎ 四边形ABCD为正方形，∴O是AC的中点…‎ 又E是PC的中点 ‎∴OE为△ACP的中位线，∴AP∥OE ‎∴∠BOE即为BE与PA所成的角 …‎ 在Rt△BOE中，BE=，EO=，…‎ ‎∴．‎ ‎∴直线BE与PA所成角的余弦值为．…‎ ‎　‎ ‎18．已知函数F（x）=，（a为实数）．‎ ‎（1）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）若对任意的x≥1，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（1）、根据题意，先求出函数的定义域，易得其定义域关于原点对称，求出F（﹣x）的解析式，进而分2种情况讨论：①若y=f（x）是偶函数，②若y=f（x）是奇函数，分别求出每种情况下a的值，综合即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，由f（x）的范围，分2种情况进行讨论：f（x）≥1以及f（x）≤3，分析求出每种情况下函数的恒成立的条件，可得a的值，进而综合2种情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）函数F（x）=定义域为R，‎ 且F（﹣x）==，‎ ‎①若y=f（x）是偶函数，则对任意的x 都有f（x）=f（﹣x），‎ 即=，即2x（a+1）=a+1，‎ 解可得a=﹣1；‎ ‎②若y=f（x）是奇函数，则对任意的x 都有f（x）=﹣f（﹣x），‎ 即=﹣，即2x（a﹣1）=1﹣a，‎ 解可得a=1；‎ 故当a=﹣1时，y=f（x）是偶函数，‎ 当a=1时，y=f（x）是奇函数，‎ 当a≠±1时，y=f（x）既非偶函数也非奇函数，‎ ‎（2）由f（x）≥1可得：2x+1≤a•2x﹣1，即≤a﹣1 …‎ ‎∵当x≥1时，函数y1= 单调递减，其最大值为1，‎ 则必有a≥2，‎ 同理，由f（x）≤3 可得：a•2x﹣1≤3•2x+3，即a﹣3≤，‎ ‎∵当x≥1时，y2=单调递减，且无限趋近于0，‎ 故a≤3，‎ 综合可得：2≤a≤3．‎ ‎　‎ ‎19．上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H．在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角k∠HAP=45°，过O点与OA成120°的地面上选B点，使仰角∠HPB=45°（点A、B、O都在同一水平面上），此时测得∠OAB=27°，A与B之间距离为33.6米．试求：‎ ‎（1）塔高（即线段PH的长，精确到0.1米）；‎ ‎（2）塔身的倾斜度（即PO与PH的夹角，精确到0.1°）．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：△PAH，△PBH均为等腰直角三角形，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，即可求得x===18.86；‎ ‎（2）∠OBH=180°﹣120°﹣2×27°=6°，BH=18.86，由正弦定理可知： =，OH==2.28，则倾斜角∠OPH=arctan=arctan=6.89°．‎ ‎【解答】解：（1）设塔高PH=x，由题意知，∠HAP=45°，∠HBP=45°，‎ ‎∴△PAH，△PBH均为等腰直角三角形，‎ ‎∴AH=BH=x…‎ 在△AHB中，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，‎ ‎∴x===18.86…‎ ‎（2）在△BOH中，∠BOH=120°，‎ ‎∴∠OBH=180°﹣120°﹣2×27°=6°，BH=18.86，‎ 由=，‎ 得OH==2.28，…‎ ‎∴∠OPH=arctan=arctan=6.89°，…‎ ‎∴塔高18.9米，塔的倾斜度为6.8°． …‎ ‎　‎ ‎20．已知双曲线C：﹣=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）若l过原点，P为双曲线上异于A，B的一点，且直线PA、PB的斜率kPA，kPB均存在，求证：kPA•kPB为定值；‎ ‎（3）若l过双曲线的右焦点F1，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点F1无论怎样转动，都有•=0成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与双曲线的位置关系．‎ ‎【分析】（1）利用双曲线C：﹣=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，建立方程，即可求双曲线C的方程；‎ ‎（2）设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N的坐标，设P（x，y），结合题意，又由M、P在双曲线上，可得y02=3x02﹣3，y2=3x2﹣3，将其坐标代入kPM•kPN中，计算可得答案．‎ ‎（3）先假设存在定点M，使MA⊥MB恒成立，设出M点坐标，根据数量级为0，求得结论．‎ ‎【解答】（1）解：由题意得 …‎ 解得a=1，b= …‎ ‎∴双曲线C的方程为； …‎ ‎（2）证明：设A（x0，y0），由双曲线的对称性，可得B（﹣x0，﹣y0）．‎ 设P（x，y），…‎ 则kPA•kPB=，‎ ‎∵y02=3x02﹣3，y2=3x2﹣3，…‎ 所以kPA•kPB==3 …‎ ‎（3）解：由（1）得点F1为（2，0）‎ 当直线l的斜率存在时，设直线方程y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 将方程y=k（x﹣2）与双曲线方程联立消去y得：（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3=0，‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=‎ 假设双曲线C上存在定点M，使MA⊥MB恒成立，设为M（m，n）‎ 则•=（x1﹣m）（x2﹣m）+[k（x1﹣2）﹣n][k（x2﹣2）﹣n]‎ ‎=（k2+1）x1x2﹣（2k2+kn+m）（x1+x2）+m2+4k2+4kn+n2==0，‎ 故得：（m2+n2﹣4m﹣5）k2﹣12nk﹣3（m2+n2﹣1）=0对任意的k2＞3恒成立，‎ ‎∴，解得m=﹣1，n=0‎ ‎∴当点M为（﹣1，0）时，MA⊥MB恒成立；‎ 当直线l的斜率不存在时，由A（2，3），B（2，﹣3）知点M（﹣1，0）使得MA⊥MB也成立．‎ 又因为点（﹣1，0）是双曲线C的左顶点，‎ 所以双曲线C上存在定点M（﹣1，0），使MA⊥MB恒成立．…‎ ‎　‎ ‎21．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”．‎ ‎（1）若数列{an}为“H型数列”，且a1=﹣3，a2=，a3=4，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）是否存在首项为1的等差数列{an}为“H型数列”，且其前n项和Sn满足Sn＜n2+n（n∈N*）？若存在，请求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）已知等比数列{an}的每一项均为正整数，且{an}为“H型数列”，bn=an，cn=，当数列{bn}不是“H型数列”时，试判断数列{cn}是否为“H型数列”，并说明理由．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）由题意得，a2﹣a1=3＞2，a3﹣a2=4﹣＞2，即2﹣=＞0，解得m范围即可得出．‎ ‎（2）假设存在等差数列{an}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：Sn=n+，由题意可得：n+＜n2+n对n∈N*都成立，即d都成立．解出即可判断出结论．‎ ‎（3）设等比数列{an}的公比为q，则an=，且每一项均为正整数，且an+1﹣an=an（q﹣1）＞2＞0，可得an+1﹣an=an（q﹣1）＞an﹣an﹣1，即在数列{an﹣an﹣1}（n≥2）中，“a2﹣a1”为最小项．同理在数列{bn﹣bn﹣1}（n≥2）中，“b2﹣b1”为最小项．由{an}为“H型数列”，可知只需a2﹣a1＞2，即 a1（q﹣1）＞2，又因为{bn}不是“H型数列”，且“b2﹣b1”为最小项，可得b2﹣b1≤2，即 a1（q﹣1）≤3，由数列{an}的每一项均为正整数，可得 a1（q﹣1）=3，a1=1，q=4或a1=3，q=2，通过分类讨论即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，a2﹣a1=3＞2，a3﹣a2=4﹣＞2，即2﹣=＞0，解得m或m＜0．‎ ‎∴实数m的取值范围时（﹣∞，0）∪．‎ ‎（2）假设存在等差数列{an}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：Sn=n+，由题意可得：n+＜n2+n对n∈N*都成立，即d 都成立．∵=2+＞2，且=2，∴d≤2，与d＞2矛盾，因此不存在等差数列{an}为“H型数列”．‎ ‎（3）设等比数列{an}的公比为q，则an=，且每一项均为正整数，且an+1﹣an=an（q﹣1）＞2＞0，‎ ‎∴a1＞0，q＞1．∵an+1﹣an=an（q﹣1）＞an﹣an﹣1，即在数列{an﹣an﹣1}（n≥2）中，“a2﹣a1”为最小项．‎ 同理在数列{bn﹣bn﹣1}（n≥2）中，“b2﹣b1”为最小项．由{an}为“H型数列”，可知只需a2﹣a1＞2，‎ 即 a1（q﹣1）＞2，又因为{bn}不是“H型数列”，且“b2﹣b1”为最小项，∴b2﹣b1≤2，即 a1（q﹣1）≤3‎ ‎，由数列{an}的每一项均为正整数，可得 a1（q﹣1）=3，∴a1=1，q=4或a1=3，q=2，‎ ‎①当a1=1，q=4时，，则，令，则，令，则 ‎=，‎ ‎∴{dn}为递增数列，‎ 即 dn＞dn﹣1＞dn﹣2＞…＞d1，‎ 即 cn+1﹣cn＞cn﹣cn﹣1＞cn﹣1﹣cn﹣2＞…＞c2﹣c1，‎ ‎∵，所以，对任意的n∈N*都有cn+1﹣cn＞2，‎ 即数列{cn}为“H型数列”．②当a1=3，q=2时，，‎ 则，显然，{cn}为递减数列，c2﹣c1＜0≤2，‎ 故数列{cn}不是“H型数列”； ‎ ‎ 综上：当时，数列{cn}为“H型数列”，‎ ‎ 当时，数列{cn}不是“H型数列”．‎ ‎　‎