高考数学理专题目二第二讲三角恒等变换、解三角形及其应用二轮复习 6页

第二讲　三角恒等变换、解三角形及其应用 ‎1．(2013·山西省高三上学期诊断考试)已知sin(＋θ)＝，则cos(π－2θ)＝(　　)‎ A.　　　　　　　　 B．－ C．－ D. ‎2．(2013·高考湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．若cos(3π－x)－3cos(x＋)＝0，则tan(x＋)等于(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B．－2‎ C. D．2‎ ‎4．(2013·高考陕西卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 ‎5．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝，cos A＝，则△ABC的面积等于(　　)‎ A.　 B. C. D．3‎ ‎6．(2013·高考四川卷)设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．‎ ‎7．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2，B＝，sin C＝，则c＝________，a＝________．‎ ‎8．某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31 km的公路上的B处有一个人开车正沿着此公路向A驶去，行驶20 km到达D，此时测得CD距离为21 km，若此人从D处必须在20分钟内到达A处，则此人的行驶速度为________．‎ ‎9．已知函数f(x)＝tan.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)设α∈，若f＝2，求cos 的值．‎ ‎10．(2013·青岛市质检)如图，在△ABC中，已知B＝，AC＝4 ，D为BC边上一点．‎ ‎ (1)若AD＝2，S△DAC＝2 ，求DC的长；‎ ‎(2)若AB＝AD，试求△ADC的周长的最大值．‎ ‎11．(2013·高考重庆卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．‎ ‎ ‎ 答案：‎ ‎1．【解析】选D.依题意得sin(θ＋)＝cos θ＝，cos(π－2θ)＝－cos 2θ＝1－2cos2θ＝1－2×()2＝，故选D.‎ ‎2．【解析】选A.在△ABC中，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC的外接圆半径)．‎ ‎∵2asin B＝b，∴2sin Asin B＝sin B.‎ ‎∴sin A＝.又△ABC为锐角三角形，∴A＝.‎ ‎3．【解析】选D.由cos(3π－x)－3cos(x＋)＝0，得tan x＝.‎ 所以tan(x＋)＝＝＝2.‎ ‎4．【解析】选B.∵bcos C＋ccos B ‎＝b·＋c· ‎＝ ‎＝＝a＝asin A，∴sin A＝1.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴A＝，即△ABC是直角三角形．‎ ‎5．【解析】选C.∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0.‎ 即(b＋c)·(b－2c)＝0，∴b＝2c.‎ 又a＝，cos A＝＝，‎ 解得c＝2，b＝4.‎ ‎∴S△ABC＝bcsin A＝×4×2× ＝.‎ ‎6．【解析】∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.‎ ‎∵α∈，sin α≠0，∴cos α＝－.‎ 又∵α∈，∴α＝π，‎ ‎∴tan 2α＝tan π＝tan＝tan ＝.‎ ‎【答案】 ‎7．【解析】根据正弦定理得：＝，则c＝＝2 ，再由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B，即a2－4a－12＝0，(a＋2)·(a－6)＝0，解得a＝6或a＝－2(舍去)．‎ ‎【答案】2　6‎ ‎8.‎ ‎【解析】由已知得∠CAD＝60°，CD＝21，BC＝31，BD＝20，‎ ‎∴cos B＝＝＝，‎ 那么sin B＝，‎ 于是在△ABC中，AC＝＝24，‎ 在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos 60°，即312＝242＋AB2－24AB解得AB＝35或AB＝－11(舍去)．‎ 因此，AD＝AB－BD＝35－20＝15，‎ 故此人在D处距A处还有15 km，则此人的行驶速度为45 km/h.‎ ‎【答案】45 km/h ‎9．【解】(1)f＝tan＝＝ ‎＝－2－.‎ ‎(2)因为f＝tan＝tan(α＋π)‎ ‎＝tan α＝2，‎ 所以＝2，即sin α＝2cos α.①‎ 又sin2α＋cos2α＝1，②‎ 由①、②解得cos2α＝.‎ 因为α∈，所以cos α＝－，sin α＝－.‎ 所以cos＝cos αcos＋sin αsin ‎＝－×＋×＝－.‎ ‎10．【解】(1)∵S△DAC＝2，‎ ‎∴·AD·AC·sin∠DAC＝2，‎ ‎∴sin∠DAC＝.‎ ‎∵∠DAC<∠BAC<π－＝，‎ ‎∴∠DAC＝.‎ 在△ADC中，由余弦定理，得 DC2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos，‎ ‎∴DC2＝4＋48－2×2×4×＝28，‎ ‎∴DC＝2.‎ ‎(2)∵AB＝AD，B＝，‎ ‎∴△ABD为正三角形．‎ 在△ADC中，根据正弦定理，可得 ＝＝，‎ ‎∴AD＝8sin C，DC＝8sin(－C)，‎ ‎∴△ADC的周长为 AD＋DC＋AC＝8sin C＋8sin(－C)＋4 ‎＝8(sin C＋cos C－sin C)＋4 ‎＝8(sin C＋cos C)＋4 ‎＝8sin(C＋)＋4，‎ ‎∵∠ADC＝，∴0