高考数学向量专题复习专题训练 8页

高考《向量》专题复习 ‎1.向量的有关概念：‎ ‎（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。‎ ‎（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：.‎ ‎（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。‎ 任意向量的单位化：与共线的单位向量是.‎ ‎（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。‎ ‎（5）平行向量又叫共线向量，记作：∥.‎ ①向量与共线，则有且仅有唯一一个实数，使；‎ ‎②规定：零向量和任何向量平行；‎ ‎③两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；‎ ‎④平行向量无传递性！（因为有)；‎ ‎⑤相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；‎ ‎（6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；‎ ‎2.平面向量的坐标表示及其运算：‎ ‎（1）设，，则；‎ ‎（2）设，，则；‎ ‎（3）设、两点的坐标分别为，，则=；‎ ‎（4）设，，向量平行；‎ ‎（5）设两个非零向量，，则，‎ 所以；‎ ‎（6）若，则；‎ ‎（7）定比分点：设点是直线上异于的任意一点，若存在一个实数，使 ‎，则叫做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点；当分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成的比为.‎ 注意：①设、，分有向线段所成的比为，则， ‎ 在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些 点确定对应的定比.当时，就得到线段的中点公式.‎ ‎②的符号与分点的位置之间的关系：‎ 当点在线段上时；‎ 当点在线段的延长线上时　；‎ 当点在线段的反向延长线上时；‎ ‎3.平面向量的数量积：‎ ‎（1）两个向量的夹角：对于非零向量、，作，，称为向量、的夹角。‎ ‎（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量、，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即.‎ 零向量与任一向量的数量积是0，注意：向量的数量积是一个实数，不再是一个向量。‎ ‎（3）在上的投影为，投影是一个实数，不一定大于0.‎ ‎（4）的几何意义：数量积等于与在上的投影的乘积。‎ ‎（5）向量数量积的应用：设两个非零向量、，其夹角为，则，‎ 当时，为直角；‎ 当时，为锐角或同向；注意：是为锐角的_____________条件；‎ 当时，为钝角或反向；注意：是为钝角的_____________条件；‎ ‎（6）向量三角不等式：‎ 当同向，；‎ 当反向，；‎ 当不共线；‎ ‎4.平面向量的分解定理 ‎（1）平面向量分解定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使成立，我们把不共线的向量、叫做这一平面内所有向量的一组基底。‎ ‎（2）O为平面任意一点，A、B、C为平面另外三点，则A、B、C三点共线且.‎ ‎5.空间向量 空间向量是由平面向量拓展而来的，它是三维空间里具有大小和方向的量，它的坐标表示有x，y，z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似，故在学习空间向量时，可进行类比学习。‎ 如，若、、三个向量共面，则.同时，对于空间任意一点O，存在，其中＝_____________‎ 例1.下列命题： ①若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使b=λa； ②若向量a‎、‎b所在的直线为异面直线，则向量a‎、‎b一定不共面； ③向量a、b、c共面，则它们所在直线也共面； ④若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，若OM‎=‎1‎‎3‎OA+‎1‎‎3‎OB+‎‎1‎‎3‎OC，则点M一定在平面ABC上，且在内部；‎ ⑤若，且，则 ； ⑥若，则它们的夹角为锐角； 其中正确的命题有__________________（填序号）‎ 例2.已知向量a，b夹角为π‎3‎，|b|=2，对任意x∈R，有|b+xa|≥|a-b|，则|tb-a|+|tb-a‎2‎|（t∈R）的最小值是______________‎ 例3.如图，在等腰三角形ABC中，已知|AB|=|AC|=1，∠A=120°，E、F分别是AB、AC上的点，且AE‎=λAB，AF=μAC，且λ，μ∈（0，1），且λ+4μ=1，若线段EF、BC的中点分别为M、N，则MN的最小值为_____________‎ 例4.已知平面向量a，b，c满足|a|=‎2‎，|b|=1，a•b=-1，且a-c与b-c的夹角为π‎4‎，则|c|的最大值为______________‎ 变式训练：‎ ‎1.已知向量a=（-1，-2），b=（1，λ），若a，b的夹角为钝角，则λ的取值范围是_____________‎ ‎2.在△ABC中，|AB|=5，|AC|=6，若B=2C，则向量BC在BA上的投影是_________‎ ‎3.如图，在中，已知∠BAC=π‎3‎，|AB|=2，|AC|=3，点D为边BC上一点，满足AC+2AB=3AD，点E是AD上一点，满足AE=2ED，则|BE|=______________‎ ‎4.在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB=1，EF=‎‎2‎，CD=‎3‎．若AD‎⋅BC=15‎，则AC‎⋅‎BD的值为_____________‎ ‎5.向量a‎，‎b的夹角为120°，|a|=|b|=2，|c|=4，则|a+b-c|的最大值为__________‎ ‎6.已知O是面α上一定点，A，B，C是平面α上的三个顶点，∠B、∠C分别是边AC、AB的对角。以下命题正确的是________________（填序号）‎ ‎①动点P满足OP=OA+PB+PC，则的外心一定在满足条件的P点集合中； ②动点P满足OP=OA+λ（AB‎|AB|‎+AC‎|AC|‎）（λ＞0），则的内心一定在满足条件的P点集合中； ③动点P满足OP=OA+λ（AB‎|AB|sinB+AC‎|AC|sinC）（λ＞0），则的重心一定在满足条件的P点集合中； ④动点P满足OP=OA+λ（AB‎|AB|cosB+AC‎|AC|cosC）（λ＞0），则的垂心一定在满足条件的P点集合中； ⑤动点P满足OP=OB‎+‎OC‎2‎+λ（AB‎|AB|cosB+AC‎|AC|cosC）（λ＞0），则的外心一定在满足条件的P点集合中；‎ ‎7.已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且∠A=，若cosBsinCAB‎+cosCsinBAC=2mAO，‎ 则m=_____________‎ ‎8.（2017全国）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA•（PB+PC）的最小值是_______‎ ‎9.在中，点A在OM上，点B在ON上，且AB//MN，2OA=OM，若OP=xOA+yOB，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，y+x+2‎x+1‎的取值范围为____________ ‎ ‎10.如图，在直角坐标系中，△ABC是以（2，1）为圆心，1为半径的圆的内接正三角形，‎ ‎△ABC可绕圆心旋转， M、N分别是边AC、AB的中点，的取值范围是_____________‎ ‎11.如图，已知点P（2，0），且正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O旋转时，PM‎⋅‎ON的取值范围为_________‎ ‎12.如图，矩形ORTM内放置5个边长均为‎3‎的小正方形，其中A，B，C，D在矩形的边上，且E为AD的中点，则（AE-BC）•BD= ______ ‎ ‎13.（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=，I2=，I3=，则（ ）‎ A.I1＜I2＜I3 B.I1＜I3＜I2 C.I3＜I1＜I2 D.I2＜I1＜I3‎ ‎14.在坐标系中，O点坐标为（0，0），点A（3，4），点B（-4，3），点P在∠AOB的角平分线上，且OP长度为，则点P坐标为_____________‎ ‎15.（2017浙江）已知向量，满足，，则的最小值是 ，最大值是 ‎ ‎16.如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记=，则m1+m2+…+m10的值为_____________‎ ‎17.已知向量、满足||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则当取最小值时，向量与的夹角为_________________（用反三角表示）‎ ‎18.正十二边形A1A2…A12内接于半径为1的圆，从、、、…、这12个向量中任取两个，记它们的数量积为S，则S的最大值等于_________________‎ ‎19.已知正方体ABCD-EFGH的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足AP‎=‎3‎‎4‎AB+‎1‎‎2‎AD+‎‎2‎‎3‎AE，则P点到直线AB的距离为_________‎ ‎20.已知=（1，2，3），=（2，1，2），=（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为____________‎