- 159.00 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
高考数学专题复习 空间角的计算
一、 高考要求
空间角的计算在高考中通常有一道解答题,题目为中等难度,这是作为立体几何中重点考查的内容之一,解题时要注意计算与证明相结合.
二、 两点解读
重点:①求异面直线所成的角;②求直线与平面所成的角;③求二面角.
难点:二面角的作法与求法.
三、 课前训练
1.正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面边长为1,侧棱长为,则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是 ( B )
(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°
2. A1B1C1-ABC是直三棱柱,∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是 ( A )
(A) (B) (C) (D)
3. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则与平面所成角的余弦值为
4. 已知正四棱锥的体积为12,底面的对角线长为,则侧面与底面所成的二面角等于()
四、 典型例题
例1 是从点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为,那么直线与平面所成角的余弦值是 ( C )
(A) (B) (C) (D)
例2如图,∠BAD=90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直,E是BC的中点,则AE与平面BCD所成角的大小为___45° ___
例3若正三棱锥底面边长为4,体积为1,则侧面和底面所成二面角的大小等于(结果用反三角函数值表示).
例4在三棱锥S—ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=,SB=
(Ⅰ)证明:SC⊥BC;
(Ⅱ)求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小;
(Ⅲ)求异面直线SC与AB所成的角的大小(用反三角函数表示).
解:(Ⅰ)略
(Ⅱ)解:∵BC⊥AC,SC⊥BC,
∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角.
在Rt△SCB中,由BC=,SB=,得
SC=== 4.
在Rt△SAC中,由AC=2,SC=4,得cos∠SCA=.
∴∠SCA=60°,即侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小为60°.
图9—65
(Ⅲ)解:过点C作CD∥BA,过点A作BC的平行线交CD于D,连结SD,则∠SCD是异面直线SC与AB所成的角.如图9—65.
又四边形ABCD是平行四边形,
DC=AB=,
SA=,
SD==5.
在△SCD中,cosSCD=
∴SC与AB所成的角的大小为arccos.
A
B
C
A1
B1
C1
例5已知如图斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=2,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.
(Ⅰ)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;
(Ⅱ)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;
(Ⅲ)求侧棱B1B和侧面A1ACC1的距离.
解:(Ⅰ)作A1D⊥AC,垂足为D,由面A1ACC1⊥面ABC,得A1D⊥面ABC
∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角.
∵AA1⊥A1C,AA1=A1C,
∴∠A1AD=45°为所求.
(Ⅱ)作DE⊥AB,垂足为E,连A1E,则由A1D⊥面ABC,得A1E⊥AB.
∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.
由已知,AB⊥BC,得ED∥BC.又D是AC的中点,BC=2,AC=2,
∴DE=1,AD=A1D=,tanA1ED==.
故∠A1ED=60°为所求.
(Ⅲ)作BF⊥AC,F为垂足,由面A1ACC1⊥面ABC,知BF⊥面A1ACC1.
∵B1B∥面A1ACC1,
∴BF的长是B1B和面A1ACC1的距离.
在Rt△ABC中,AB=,
∴BF=为所求.
评述:本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,棱柱的性质,空间的角和距离的概念,逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.