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  • 2021-05-13 发布

高考数学专题复习空间角的计算

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高考数学专题复习 空间角的计算 一、 高考要求 空间角的计算在高考中通常有一道解答题,题目为中等难度,这是作为立体几何中重点考查的内容之一,解题时要注意计算与证明相结合.‎ 二、 两点解读 重点:①求异面直线所成的角;②求直线与平面所成的角;③求二面角.‎ 难点:二面角的作法与求法.‎ 三、 课前训练 ‎1.正六棱柱ABCDEF—A1B‎1C1D1E‎1F1的底面边长为1,侧棱长为,则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是 ( B )‎ ‎(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°‎ ‎2. A1B‎1C1-ABC是直三棱柱,∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1、A‎1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是 ( A )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎3. 已知正三棱柱ABC-A1B‎1C1的所有棱长都相等,则与平面所成角的余弦值为 ‎4. 已知正四棱锥的体积为12,底面的对角线长为,则侧面与底面所成的二面角等于()‎ 四、 典型例题 例1 是从点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为,那么直线与平面所成角的余弦值是 ( C )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 例2如图,∠BAD=90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直,E是BC的中点,则AE与平面BCD所成角的大小为___45° ___‎ 例3若正三棱锥底面边长为4,体积为1,则侧面和底面所成二面角的大小等于(结果用反三角函数值表示).‎ 例4在三棱锥S—ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=,SB=‎ ‎(Ⅰ)证明:SC⊥BC;‎ ‎(Ⅱ)求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小;‎ ‎(Ⅲ)求异面直线SC与AB所成的角的大小(用反三角函数表示).‎ 解:(Ⅰ)略 ‎(Ⅱ)解:∵BC⊥AC,SC⊥BC,‎ ‎∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角.‎ 在Rt△SCB中,由BC=,SB=,得 SC=== 4.‎ 在Rt△SAC中,由AC=2,SC=4,得cos∠SCA=.‎ ‎∴∠SCA=60°,即侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小为60°.‎ 图9—65‎ ‎(Ⅲ)解:过点C作CD∥BA,过点A作BC的平行线交CD于D,连结SD,则∠SCD是异面直线SC与AB所成的角.如图9—65.‎ 又四边形ABCD是平行四边形,‎ DC=AB=,‎ SA=,‎ SD==5.‎ 在△SCD中,cosSCD=‎ ‎∴SC与AB所成的角的大小为arccos.‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ 例5已知如图斜三棱柱ABC—A1B‎1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=2,且AA1⊥A‎1C,AA1=A‎1C.‎ ‎(Ⅰ)求侧棱A‎1A与底面ABC所成角的大小;‎ ‎(Ⅱ)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;‎ ‎(Ⅲ)求侧棱B1B和侧面A1ACC1的距离.‎ 解:(Ⅰ)作A1D⊥AC,垂足为D,由面A1ACC1⊥面ABC,得A1D⊥面ABC ‎∴∠A1AD为A‎1A与面ABC所成的角.‎ ‎∵AA1⊥A‎1C,AA1=A‎1C,‎ ‎∴∠A1AD=45°为所求.‎ ‎(Ⅱ)作DE⊥AB,垂足为E,连A1E,则由A1D⊥面ABC,得A1E⊥AB.‎ ‎∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.‎ 由已知,AB⊥BC,得ED∥BC.又D是AC的中点,BC=2,AC=2,‎ ‎∴DE=1,AD=A1D=,tanA1ED==.‎ 故∠A1ED=60°为所求.‎ ‎(Ⅲ)作BF⊥AC,F为垂足,由面A1ACC1⊥面ABC,知BF⊥面A1ACC1.‎ ‎∵B1B∥面A1ACC1,‎ ‎∴BF的长是B1B和面A1ACC1的距离.‎ 在Rt△ABC中,AB=,‎ ‎∴BF=为所求.‎ 评述:本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,棱柱的性质,空间的角和距离的概念,逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.‎