高考新课标卷文科数学试题解析 18页

2014 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合 A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛ | - - ﹜，则 A B= (A) （B） （C） (D) 【答案】B 【解析】 把 M=｛0,1,2}中的数,代入等式，经检验 x=2 满足。所以选 B. (2) （A） （B） （C） (D) 【答案】B 【解析】 （3）函数 在 处导数存在，若 p：f‘（x0）=0；q：x=x0 是 的极值点，则 （A） 是 的充分必要条件 （B） 是 的充分条件，但不是 的必要条件 （C） 是 的必要条件，但不是 的充分条件 (D) 既不是 的充分条件，也不是 的必要条件 【答案】C 【解析】 x 2 x x 2 0=  ∅ { }2 { }0 { }2− 1 3 1 i i + =− 1 2i+ 1 2i− + 1-2i 1-2i− .∴21-2 42- 2 )1)(31( -1 31 Biiii i i 选+=+=++=+  ( )f x 0x=x ( )f x p q p q q p q q p q q （4）设向量 , 满足 ， ，则 a·b= （A）1 （B） 2 （C）3 (D) 5 【答案】A 【解析】 （5）等差数列 的公差为 2，若 ， ， 成等比数列，则 的 前 n 项和 = （A） （B） （C） (D) 【答案】A 【解析】 （6）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm）， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件 由一个底面半径为 3cm，高为 6c m 的圆柱 体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与 原来毛坯体积的比值为 （A） （B） （C） (D) 【答案】 C 【解析】 .,.∴0)(, ;,0)( 00 00 Cqpxfx qpxxf 选所以的必要条件是命题则是极值点若 的充分条件不是命题不一定是极值点则若 =′ ∴=′   a b |a+b|= 10 |a-b|= 6 ..1.62-∴6|-|.102∴10|| 2222 Abababababababa 选两式相减，则 ==+==++=+  { }na 2a 4a 8a { }na nS ( )1n n + ( )1n n − ( )1 2 n n + ( )1 2 n n − ...6 .2,4),6()2(,,,2 2 1222 2 282 2 4842 AAS aadaadaaaaaaad 选正确经验证，仅 解得，即成等比 =∴ ==+=+=∴= 17 27 5 9 10 27 1 3 （7）正三棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 ，D 为 BC 中 点，则三棱锥 的体积为 （A）3 （B） （C）1 （D） 【答案】 C 【解析】 （8）执行右面的程序框图，如果如果输入的 x，t 均为 2，则输出的 S= （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 【答案】 D 【解析】 ..27 10 π54 π34-π54 π.342π944 .2342 π.546π963 2 1 C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体 体积 ，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部 体积，，高加工前的零件半径为 ==∴ =•+•=∴ =•=∴ π   1 1 1ABC A B C− 3 11DCBA− 3 2 3 2 ..13322 1 3 1 ,//∴// 111111 --- 111111 CVVV CABDBCABBDBDCB ABBCCABBCABD 故选 的距离相等到面和点面 =••••===∴  . 372 252 131 ,2,2 D KSM tx 故选 变量变化情况如下：== （9）设 x，y 满足的约束条件 ，则 的最大值为 （A）8 （B）7 （C）2 （D）1 【答案】 B 【解析】 （10）设 F 为抛物线 的焦点，过 F 且倾斜角为 的直线交于 C 于 两点，则 = （A） （B）6 （C）12 （D） 【答案】 C 【解析】 （11）若函数 在区间（1，+ ）单调递增，则 k 的取值 范围是 （A） （B） （C） （D） 【答案】 D 【解析】 1 0 1 0 3 3 0 x y x y x y + − ≥  − − ≤  − + ≥ 2z x y= + ..7,2 ).1,0(),2,3(),0,1(. Byxz 故选则最大值为代入 两两求解，得三点坐标，可以代值画可行区域知为三角形 += 2: y =3xC °30 ,A B AB 30 3 7 3 ..1222 .6∴),3-2(2 3),32(2 33-4 322,34 322 ).0,4 3(2,2 CnmBFAFAB nmnmnnmm FnBFmAF 故选 ，解得 角三角形知识可得，则由抛物线的定义和直，设 =+=+= =+=+=•=+•= == ( ) lnf x kx x= − ∞ ( ], 2−∞ − ( ], 1−∞ − [ )2,+∞ [ )1,+∞ .),∞,1[.11≥ .0≥1-)(ln-)(0)(),1()( Dkxk xkxfxkxxfxfxf 选所以即 恒成立上递增，在 +∈> =′∴=≥′∴+∞  （12）设点 ，若在圆 上存在点 N，使得 , 则 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【答案】 A 【解析】 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题， 每个考试考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题，考生根据要 求做答。 二、填空题：本大概题共 4 小题，每小题 5 分。 （13）甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动 服种选择 1 种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______. 【答案】 【解析】 （14）函数 —2 的最大值为_________. 3 1 )sin()( ϕ+= xxf ϕsin xcos 0(x ,1)M 2 2: x y =1O + °45OMN∠ = 0x [ ]1,1− 1 1 2 2  −  ， 2, 2 −  2 2 2 2  −    ， .].1,1-[∈x .,1)M(x1,yO 0 0 A故选形外角知识，可得由圆的切线相等及三角 在直线上其中和直线在坐标系中画出圆 = .3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1.3 1 3 1 =•+•+• •• 率为他们选择相同颜色的概 色的概率也是同理，均选择红、或蓝为甲乙均选择红色的概率   【答案】 1 【解析】 （15）已知函数 的图像关于直线 =2 对称， =3，则 _______. 【答案】 3 【解析】 （16）数列 满足 = ， =2，则 =_________. 【答案】 【解析】 三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 12 分） 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补，AB=1，BC=3, CD=DA=2. (I)求 C 和 BD; (II)求四边形 ABCD 的面积。 ( )f x x =− )1(f { }na 1+na na−1 1 2a 1a 2 1 1.1)φ-sin(φsincos-φcossin cosφsin2-φsincosφcossincossin2-)φsin()( 故最大值为≤== +=+= xxx xxxxxxf φ )3(f 3)1-(∴ 3)3()1(∴2)()1()1-()( = ====∴ f ffxxfffxf 对称图像关于为偶函数  .2 1 -1 1 -1 1,2 1 1 212 ==∴== + aaaaaa n n 解得 【答案】 (1) (2) 【解析】 （1） (2) （18）（本小题满分 12 分） 如图，四凌锥 p—ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA 上面 ABCD，E 为 PD 的点。 （I）证明：PP//平面 AEC; (II)设置 AP=1，AD= ,三凌 P-ABD 的体积 V= ，求 A 到平面 PBC 的距离。 【答案】 (1) 省略 (2) 【解析】 （1） 设 AC 的中点为 G, 连接 EG。在三角形 PBD 中，中位线 EG//PB,且 EG 在平面 AEC 上，所 以 PB//平面 AEC. 73 π == BDC ， 32 3 4 3 13 133 73 π,,2 1cos,7 0coscos∴π.322 -49cos,22 -41cos ,CA,ΔBCDΔABD,, 22 ==== =+=+•• +=• += = BDCCx CACAxCxA BDx ，所以联立上式解得 则用余弦定理中，对角分别在设  32.32 )31(2 3sin2 1sin2 1 2 3sinin∴3 ππ, ΔΔ 面积为所以，四边形 面积四边形 ABCD CCDCBAADABSSSABCD CAsCCA BCDABDABCD = +=••+••=+= ====+ (2) （19）（本小题满分 12 分） 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了 50 位市民。 根据这 50 位市民 （I）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数； （II）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于 90 的概率； （III）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。 【答案】 (1) 75,77 (2) 0.1,0.16 【解析】 （1） 两组数字是有序排列的，50 个数的中位数为第 25,26 两个数。由 给出的数据可知道，市民对甲部门评分的中位数为(75+75)/2=75,对乙 13 133 13 133∴4 13, ,PAB-CBCPB,⊥BCPAB,⊥BCAPAABBC,⊥BC,⊥ 2 3,132 1 3 1 3 1,4 3 ,.-BC,⊥∴⊥ 2 -- Δ-- 的距离为到面所以， 由勾股定理解得 的高为三棱锥面 的距离为到面设的高是三棱锥面 PBCA hPBhPBBCBCABPAVV PAAB xxPASVV hPBDAABxABDPPAPAABCDPA PBCAABCP ABDABDPABDP ==••=••= ∴=∩ =∴••••=•== =     部门评分的中位数为(66+68)/2=77 所以，市民对甲、乙两部门评分的中位数分别为 75,77 (2) 甲部门评分数高于 90 共有 5 个、乙部门评分数高于 90 共有 8 个， 部门的评分做于 90 的概率。因此，估计市民对甲、乙部门的评分小 于 90 的概率分别为 所以，市民对甲、乙部门的评分大于 90 的概率分别为 0.1,0.16 （20）（本小题满分 12 分） 设 F1 ，F2 分别是椭圆 C： （a>b>0）的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N。 （I）若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率； （II）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且|MN|=5|F1N|，求 a，b。 【答案】 (1) （2） 【解析】 （1） （2） 12 2 2 2 =+ b y a x 4 3 2 1 72,7 == ba 16.050 8,1.050 5 ==== 乙甲 pp .2 1∴.2 1 02-32.,4 3 2 1∴4 3 2222 2 21 1 的离心率为解得 ，联立整理得：且由题知， Ce eecbaca b FF MF = =++==•= （21）（本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）= ，曲线 在点（0,2）处的切线与 轴交点的横坐标为-2. （I） 求 a； （II）证明：当时，曲线 与直线 只有一个交点。 【答案】 (1) 1 (2) 省略 【解析】 （1） (2) (2) 72,7 .72,7. ,,1:4:)2 3-(, :.2 3-,, .4, .422 222 1111 11 2 2 == ==+= ==+=+= == =•= ba bacba a ceNFMFceaNFecaMF ccNM mMFmNF a bMF 所以， 联立解得 ，且 由焦半径公式可得两点横坐标分别为 可得由两直角三角形相似，由题可知设 ，即知，由三角形中位线知识可 3 23 2x x ax− + + ( )y f x= x ( )y f x= 2y kx= − 1, 20 0-2),0(),0,2-()2,0( )0(6-3)(∴23-)( 223 = =+′= =′+=′++= a afkBxA afaxxxfaxxxxf AB 所以 即则轴交点为，切线与设切点 ， 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的 仅有一个交点与时，当所以 图像如图所示仅有一个根点时，当 时，单调递减，且，当 时，，当 上递增；，在时，当 上递减；，在时，当 递增；且时，，，或，当 递减时，当 ，则令 则令 则时，令当 2-)(1, ,)(1∴ )∞,∞-(∈)()0∞-(∈ 1)2(≥)()∞0(∪)2,0(∈∴ )∞0()(,0)(,0)(2 )2,0(),0∞-()(,0)(,0)(2∴ .0)2(,0)0()(,0)()∞1()0∞-(∈ .)(,0)()1,0(∈∴ )1-(66-6)(4-3-2)( .4-3-24-3-2)(.413-)( 0≠,413-.04-3-2-)(1 223 2 23 2 2 223 kxyxfyk kxgk xgx gxgx xgxgxhx xgxgxhx hhxhxhx xhxhx xxxxxhxxxh x xx xxxgxxxxg xkxxxkxxxxkxxfk ==< =< + =+ +>′>> <′<< =<>′+ <′ ==′= ==′++= =++=++=+< 第一题计分，做答时请写清题号。 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选 讲 如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点， 割线 PBC 与⊙O 相交于点 B，C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点 E，证明: （I）BE=EC； （II）AD·DE=2PB2。 【解析】 （1） （2） （23）（本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 p=2cosθ，θ [0， ]。 （I）求 C 的参数方程； ∈ 2 π EC.BEBE∠CE∠BE∠αBE,∠βαβ BE∠∠DEB∠PDA∠∠∠∠∠ .AE∠CE,∠EB∠, ,,2 ===+=+∴ +===+=+ ====∠ Δ=∴== ，所以，即即 则连接 为等腰三角形。， DBDD DPADBADPABBCEPAB BBDPABAB PADPDPADCPDPAPC   αβ 2 2 2PA PA-PAPB-PB)PA-(PADCBD ,,PADC,BDDEAD PBPBPBPB PCPBPCPB PADCPDPCPB =•=• •=••==•∴ ==•=•=• ）（  （II）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y= x+2 垂直，根 据（I）中你得到的参数方程，确定 D 的坐标。 （24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 f（x）=|x+ |+|x-a|(a>0)。 （I）证明：f（x）≥2； （II）若 f（3）<5，求 a 的取值范围。 3 a 1