高考数学模拟试卷新课标含答案 15页

‎2015年高考数学模拟试卷 新课标 含答案 ‎1．运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对所对应的点都在函数（ ）‎ 开始 结束 输出 否 是 A．的图像上 B．的图像上 C．的图像上 D．的图像上 ‎2．下列说法正确的是（ ）‎ A．命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“若，则”的逆否命题是真命题 D．“”是“”的充分不必要条件 ‎3．设、是双曲线：（，）的两个焦点，是上一点，‎ 若，且△最小内角的大小为，则双曲线的渐近线方程 是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设函数的定义域为，若对于任意、，当时，恒有 ‎，则称点为函数图像的对称中心．研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知为虚数单位，计算：___________．‎ ‎6．已知集合，集合，则_______．‎ ‎7．函数的最小正周期是__________________．‎ ‎8．展开式中含项的系数是_________．‎ ‎9．某校选修篮球课程的学生中，高一学生有名，高二学生有名，现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了人，则在高二学生中应抽取__________人．‎ ‎10．在直角三角形中，，，则__________．‎ ‎11．对于任意，函数的反函数的图像经 过的定点的坐标是______________．‎ ‎12．已知函数将的图像与轴围成的封闭图形绕 轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．‎ ‎13．已知点在曲线：（为参数）上，则到曲线的焦点的距离 为_______________．‎ ‎14．已知抛物线型拱桥的顶点距水面米时，量得水面宽为米．则水面升高米后，水面 宽是____________米（精确到米）．‎ ‎15．设随机变量的概率分布律如下表所示：‎ 其中，，成等差数列，若随机变量的的均值为，则的方差为___________．‎ ‎16．若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎17．设（），若△的内角满足 ‎，则____________．‎ ‎18．定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，．当（）时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则________________．‎ ‎19．在△中，角、、所对的边分别为、、，已知（），且．‎ ‎（1）当，时，求，的值；‎ ‎（2）若为锐角，求实数的取值范围．‎ ‎20．在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，，平面，．‎ A B C D P Q ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．‎ ‎21．已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设斜率为的直线与椭圆交于不同两点、，以线段为底边作等腰三角形，其中顶点的坐标为，求△的面积．‎ ‎22．设数列，，，已知，，，，，（）．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求证：对任意，为定值；‎ ‎（3）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．‎ ‎23．设是实数，函数（）．‎ ‎（1）求证：函数不是奇函数；‎ ‎（2）当时，求满足的的取值范围；‎ ‎（3）求函数的值域（用表示）．‎ 参考答案 ‎1．D ‎【解析】‎ 试题分析：据题意，输出的第一个点是，可排除，第二个点是，又排除，故选.‎ 考点：程序框图.‎ ‎2．C ‎【解析】‎ 试题分析：中，否命题应该是“若，则”， 错；中时，有，故至少是充分的，错；中“若，则”是真命题，因此其逆否命题也是真命题，选，而应该是必要不充分条件．‎ 考点：充分必要条件，四种命题．‎ ‎3．B ‎【解析】‎ 试题分析：不妨设，则由已知，得，又，因此中最小角为，由余弦定理得 ‎，解得，所以，渐近线方程为，选B．‎ 考点：双曲线的定义，余弦定理，渐近线方程．‎ ‎4．D ‎【解析】‎ 试题分析：考虑到正弦函数的性质，当时，‎ ‎，因此函数关于点对称，则，，又，故所和为．‎ 考点：分组求和．‎ ‎5．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：．‎ 考点：复数的运算．‎ ‎6．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，．‎ 考点：集合的运算．‎ ‎7．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，．‎ 考点：三角函数的周期．‎ ‎8．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，所以的系数为．‎ 考点：二项展开式的系数．‎ ‎9．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设高二学生抽取人，则，解得．‎ 考点：分层抽样．‎ ‎10．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：．‎ 考点：向量的数量积．‎ ‎11．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，过点，则其反函数必过点．‎ 考点：反函数的性质．‎ ‎12．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：．‎ 考点：旋转体的体积．‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：消去参数和，得曲线的普通方程为，这是抛物线，其焦点为，.‎ 考点：参数方程与普通方程的互化，抛物线的定义.‎ ‎14．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设抛物线方程为，当 x=0时 c=2，当x=-4和x=4时y=0，求得， b=0，则，令y=1，得，所以水面宽.‎ 考点：抛物线方程.‎ ‎15．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意有， ，，解得，则其方差为 ‎.‎ 考点：随机变量的均值与方差.‎ ‎16．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，所以，因为，所以.‎ 考点：简单的不等式恒成立问题.‎ ‎17．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由诱导公式可得，，即 ‎，即，所以，.‎ 考点：三角函数的周期性.‎ ‎18．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，，当时，，，的取值依次为共个，即，由此可得，‎ ‎，所以，‎ ‎.‎ 考点：归纳推理，裂项相消求和，数列的极限.‎ ‎19．(1) 或；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）题设要求边，因此已知中角的关系应该转化为边的关系，显然应用正弦定理可达到目的，，再由已知，与联立可解得；（2）已知为锐角，即，因此为了求的范围，最好能把用表示出来，首先用余弦定理 ‎，把已知条件代入，可得所想要的关系式，即，由此可求得范围.‎ 试题解析：（1）由正弦定理得，，所以， （2分）‎ 又，所以或 （5分）（少一组解扣1分）‎ ‎（2）由余弦定理，，（1分）‎ 即， （2分）‎ 所以． （4分）‎ 由是锐角，得，所以． （6分）‎ 由题意知，所以． （7分）‎ 考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理及三角函数值的范围.‎ ‎20．（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题中由于垂直关系较多，由题意易得两两相互垂直，因此可以他们分别为轴建立空间直角坐标系，若设，则，，，，，‎ 这样第（1）题证明线面垂直，计算出，就能证得结论；而第（2）题只要求出平面和平面的法向量，这两个法向量的夹角与所求二面角一定是相等或互补，其中平面是坐标平面平面，其法向量可取，从而只要再求一个法向量即可．当然如果不用空间向量，也可直接证明，第（1）题只要用平面几何知识在直角梯形中证得，又有，线面垂直易得，为此取中点，可得是正方形，，接着可得，正好辅助线就是所求二面角的棱，可证就是平面角，这个角是．‎ 试题解析：（1）由已知，，，两两垂直，可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． （1分）‎ 设，则，，，，‎ 故，，， （3分）‎ 因为，，故，，‎ 即，， （5分）‎ 所以，平面． （6分）‎ ‎（2）因为平面，所以可取平面的一个法向量 为， （1分）‎ 点的坐标为，则，，（2分）‎ 设平面的一个法向量为，则，，‎ 故即取，则，‎ 故． （5分）‎ 设与的夹角为，则． （7分）‎ 所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为． （8分）‎ 解法二：‎ ‎（1）因为平面，所以， （1分）‎ 作，为垂足，则四边形是正方形，设，则，，‎ 又，所以是的中点，，所以， ‎ 所以，所以． （5分）‎ 所以，平面． （6分）‎ ‎（2）连结，由（1）知，又，所以平面，（2分）‎ 所以，所以为所求二面角的平面角． （4分）‎ 因为△是等腰直角三角形，所以． （7分）‎ 所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为． （8分）‎ 考点：（1）线面垂直，（2）二面角．‎ ‎21．（1） ；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)要确定椭圆方程，要确定两个参数的值，因此需要两个条件，题中有焦点为，‎ 即，又椭圆过点，代入方程又得到一个关于的等式，联立可解得；(2) 直线和圆锥曲线相交问题，一般都是设出直线方程，本题直线的方程可设为，代入椭圆方程得到关于的一元二次方程，再设交点为，则可得，，而条件等腰三角形的应用方法是底边边上的中线就是此边上的高，即取中点为，则．由此可求得从而得到坐标，最终求得 的面积．‎ 试题解析：（1）由已知得，因为椭圆过点，所以 （2分）‎ 解得 （5分）‎ 所以，椭圆的方程为． （6分）‎ ‎（2）设直线的方程为， （1分）‎ 由得 ① （2分）‎ 因为直线与椭圆交于不同两点、，所以△，‎ 所以． （3分）‎ 设，，则，是方程①的两根，所以， ‎ 设的中点为，则，， （4分）‎ 因为是等腰三角形的底边，所以，向量是直线的一个法向量，‎ 所以∥向量，即∥向量，‎ 所以，解得． （5分）‎ 此时方程①变为，解得，，所以．‎ 又到直线：的距离， （7分）‎ 所以△的面积． （8分）‎ 考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交的综合问题．‎ ‎22．（1）；（2）证明见解析；（3）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据已知条件与待求式，作差，可得，而，故数列是等比数列，通项公式可求；（2）考虑要证的表达式求和 ‎，表面上看不出什么，但由，可得，由由，可以想象，是常数，因此可用数学归纳法证明；（3）由（1）（2）可解得，那么其前项和可用分组求和法求得，，这样我们就可求出，，相当于，由于，从而，一直是我们只要求得的最大值和的最小值，则就是，由此可求得的范围．‎ 试题解析：（1）因为，，所以（）， （１分）‎ 所以，，‎ ‎， （2分）‎ 即数列是首项为，公比为的等比数列， （3分）‎ 所以． （4分）‎ ‎（2）解法一：， （1分）‎ 因为，所以，，‎ 猜测：（）． （2分）‎ 用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，，结论成立； （3分）‎ ‎②假设当（）时结论成立，即，那么当时，‎ ‎，即时结论也成立． （5分）‎ 由①，②得，当时，恒成立，即恒为定值．（6分）‎ 解法二：， （1分）‎ 所以，（4分）‎ 而，所以由上述递推关系可得，当时，恒成立，即恒为定值．（6分）‎ ‎（3）由（1）、（2）知，所以，（1分）‎ 所以，‎ 所以， （2分）‎ 由得，‎ 因为，所以， （3分）‎ 当为奇数时，随的增大而递增，且，‎ 当为偶数时，随的增大而递减，且，‎ 所以，的最大值为，的最小值为． （4分）‎ 由，得，解得． （6分）‎ 所以，所求实数的取值范围是．‎ 考点：（1）等比数列的定义；（2）数列的通项；（3）数列与不等式恒成立问题．‎ ‎23．（1）证明见解析；（2）；（3）当时，函数的值域是；‎ 当时，函数的值域是；当时，函数的值域是． ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）要证明函数不是奇函数，可用定义证，也可用其必要条件证，实质上证明否定性命题，只要举一个反例即能说明，本题上中，就说明不是奇函数了；（2）由于，函数式中的绝对值符号可去掉，即，本题就是解关于的不等式，变形得，由于恒成立，因此，即，这是应该分两种情况和分别求解；（3）本题要求函数的值域，一个要用换元法把指数式转化为一般的代数式，其次要能够对绝对值进行处理（实质是分类讨论，分段函数），设，则，原函数变为，由（1）的结论知当时，有，值域可求，当时函数为注意分段求解，每一个都是二次函数在给定区间上求值域，最后还要适当合并，得出结论．时，，是增函数，则有，当时，，还要分和两类情况讨论．‎ 试题解析：（1）假设是奇函数，那么对于一切，有，‎ 从而，即，但是，矛盾．‎ 所以不是奇函数．（也可用等证明） （4分）‎ ‎（2）因为，，所以当时，，由，得，即，，（2分）‎ 因为，所以，即． （3分）‎ ‎①当，即时，恒成立，故的取值范围是；（4分）‎ ‎②当，即时，由，得，故的取值范围是． （6分）‎ ‎（3）令，则，原函数变成．‎ ‎①若，则在上是增函数，值域为．（2分）‎ ‎②若，则 （3分）‎ 对于，有，当时，是关于的减函数，的取值范围是；当时，，当时，的取值范围是，当时，的取值范围是． （5分)‎ 对于，有是关于的增函数，‎ 其取值范围． （7分）‎ 综上，当时，函数的值域是；‎ 当时，函数的值域是；‎ 当时，函数的值域是． （8分）‎ 考点：（1）奇函数的定义；（2）解含参数的不等式；（3）求函数值域．‎