近年安徽省高考数列大题 5页

近年安徽省高考数列问题 ‎2014. 设实数，整数 ‎（Ⅰ）证明：当且时，；‎ ‎（Ⅱ）数列满足，，证明：‎ ‎（Ⅰ）证：用数学归纳法证明 ‎（1）当时，，原不等式成立。‎ ‎（2）假设时，不等式成立 当时，‎ 所以时，原不等式成立。‎ 综合（1）（2）可得当且时，对一切整数，不等式均成立。‎ ‎（Ⅱ）证法一：先用数学归纳法证明 ‎（1）当时由假设知成立。‎ ‎（2）假设时，不等式成立 由易知 当时 由得 由（Ⅰ）中的结论得 因此，即 所以，当时，不等式也成立。‎ 综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。‎ 再由得，即 综上所述，‎ 证法二：设，则，并且 由此可见，在上单调递增，因而当时 ‎（1）当时由，即可知 并且，从而 故当时，不等式成立。‎ ‎（2）假设时，不等式成立，则 当时，即有 所以当时原不等式也成立。‎ 综合（1）（2）可得，对一切正整数不等式均成立。‎ ‎2013. 设函数，证明：‎ ‎（Ⅰ）对每个，存在唯一的，满足；‎ ‎（Ⅱ）对任意，由（Ⅰ）中构成的数列满足。‎ ‎【解析】 （Ⅰ） ‎ 是x的单调递增函数,也是n的单调递增函数. .‎ 综上，对每个，存在唯一的，满足；(证毕)‎ ‎（Ⅱ） 由题知 上式相减：‎ ‎.(证毕)‎ ‎2012. 数列满足：‎ ‎ （I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是 ‎ （II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。‎ ‎【解析】（I）必要条件 ‎ 当时，数列是单调递减数列 ‎ 充分条件 ‎ 数列是单调递减数列 ‎ 得：数列是单调递减数列的充分必要条件是 ‎ （II）由（I）得：‎ ‎ ①当时，，不合题意 ‎ ②当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，与同号，‎ 由 ‎ ‎ ‎ 当时，存在，使与异号 与数列是单调递减数列矛盾 得：当时，数列是单调递增数列.‎ ‎2009.‎ 首项为正数的数列满足 ‎（I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；‎ ‎（II）若对一切都有，求的取值范围。‎ ‎（21）本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。‎ 解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，‎ 则由递推关系得是奇数。‎ 根据数学归纳法，对任何，都是奇数。‎ ‎（II）（方法一）由知，当且仅当或。‎ 另一方面，若则；若，则 根据数学归纳法，‎ 综合所述，对一切都有的充要条件是或。‎ ‎（方法二）由得于是或。‎ 因为所以所有的均大于0，因此与同号。‎ 根据数学归纳法，，与同号。‎ 因此，对一切都有的充要条件是或。‎