江苏省南通市高考数学模拟试卷四 26页

‎2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷（四）‎ ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，则A∩B=　　．‎ ‎2．（5分）若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a=　　．‎ ‎3．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为　　．‎ ‎4．（5分）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是　　．‎ ‎5．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为　　．‎ ‎6．（5分）三棱锥S﹣ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S﹣ABC的表面积是　　．‎ ‎7．（5分）已知F为双曲线C：2x2﹣my2=4m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为　　．‎ ‎8．（5分）与的大小关系是　　．（用“＞”或“＜”连接）‎ ‎9．（5分）为了得到y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，则φ的最小值为　　．‎ ‎10．（5分）若函数f（x）=，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为　　．‎ ‎11．（5分）已知{an}，{bn}均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，总有=，则=　　．‎ ‎12．（5分）如图，在圆O：x2+y2=4上取一点A（﹣，1），E、F为y轴上的两点，且AE=AF，延长AE，AF分别与圆交于点MN．则直线MN的斜率为　　．‎ ‎13．（5分）如图，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=45°，则•=　　．‎ ‎14．（5分）已知正实数a、b、c满足+=1，++=1，则实数c的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（14分）已知向量，，．‎ ‎（1）若，求向量、的夹角θ；‎ ‎（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．‎ ‎16．（14分）如图，平面ABC⊥平面DBC，AB=AC，AB⊥AC，DB=DC；DE⊥平面DBC，BC=2DE，‎ ‎（1）求证：DE∥平面ABC；‎ ‎（2）求证：AE⊥平面ABC．‎ ‎17．（14分）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、‎ CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成 如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km，，．‎ ‎（1）求区域Ⅱ的总面积；‎ ‎（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元． 试问当θ为多少时，年总收入最大？‎ ‎18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：+y2=1的左、右顶点，P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F．‎ ‎（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；‎ ‎（2）若t=﹣1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：+定值；‎ ‎（3）求证：四边形AFBE为平行四边形．‎ ‎19．（16分）已知数列{an}，{bn}满足：对于任意的正整数n，当n≥2时，an2+bnan﹣12=2n+1．‎ ‎（1）若bn=（﹣1）n，求的值；‎ ‎（2）若数列{an}的各项均为正数，且a1=2，bn=﹣1．设Sn=，Tn=，试比较Sn与Tn的大小，并说明理由．‎ ‎20．（16分）已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．‎ ‎（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；‎ ‎（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）‎ ‎21．（10分）在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=AB•ED．‎ ‎　‎ ‎[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9．求证：++≥．‎ ‎　‎ 解答题 ‎25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp（λ＞0）．‎ ‎（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．‎ ‎26．（10分）在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为Pn（k）．‎ ‎（1）求P3（1）‎ ‎（2）求P4（k）；‎ ‎（3）证明kPn（k）=nPn﹣1（k），并求出kPn（k）的值．‎ ‎　‎ ‎2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷（四）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1．（5分）（2016•南通模拟）已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，则A∩B=　{0，1}　．‎ ‎【考点】交集及其运算．菁优网版权所有 ‎【专题】集合思想；定义法；集合．‎ ‎【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．‎ ‎【解答】解：∵A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，‎ ‎∴A∩B={0，1}，‎ 故答案为：{0，1}‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2016•南通模拟）若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a=　1　．‎ ‎【考点】复数的基本概念．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据纯虚数的定义，得到实部为0，虚部不为0列出不等式和方程，解不等式组求出a的值．‎ ‎【解答】解：∵复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数 ‎∴解得 ‎∴a=1‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2016•南通模拟）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为　32　．‎ ‎【考点】频率分布直方图．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形”对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数．‎ ‎【解答】解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，‎ 则有：，‎ 解得：x=0.2，‎ ‎∴中间一组的频数=160×0.2=32．‎ 故填：32．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2016•江苏模拟）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】根据互斥时间的概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：从5个球中任意取两个共有C52=10种，‎ 两球颜色相同的有2种，‎ 两球颜色不同的概率是1﹣=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2016•南通模拟）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为　205　．‎ ‎【考点】顺序结构．菁优网版权所有 ‎【专题】算法和程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值 ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，‎ S=2i+3的值，‎ ‎∵i+2=101时，满足条件，‎ ‎∴输出的S值为S=2×101+3=205．‎ 故答案为：205．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2016•南通模拟）三棱锥S﹣ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S﹣ABC的表面积是　3+　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先求面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形的面积，再求正三角形△ABC的面积，求解即可．‎ ‎【解答】解：设侧棱长为a，则a=2，a=，‎ 侧面积为3××a2=3，底面积为×22=，‎ 表面积为3+．‎ 故答案为：3+．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2016•南通模拟）已知F为双曲线C：2x2﹣my2=4m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为　2　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】求出双曲线的标准方程，根据焦点在x轴上的双曲线的焦点到渐近线的距离为b进行求解即可．‎ ‎【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，‎ 双曲线的焦点在x轴，则a2=2m，b2=4，‎ 则b=2，‎ 设焦点在x轴的双曲线的方程为=1，‎ 设焦点F（c，0），双曲线的一条渐近线方程为y=x，即bx﹣ay=0‎ 则点F到C的一条渐近线的距离d==2‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2016•南通模拟）与的大小关系是　＞　．（用“＞”或“＜”连接）‎ ‎【考点】不等式比较大小．菁优网版权所有 ‎【专题】转化思想；数学模型法；不等式．‎ ‎【分析】由于=＞=＞，即可得出．‎ ‎【解答】解：∵==＞=＞，‎ ‎∴＞，‎ 故答案为：＞．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2016•南通模拟）为了得到y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，则φ的最小值为　　．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】将y=sinx化为y=cos[（x﹣π）]，再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可．‎ ‎【解答】解：∵y=sin=cos（﹣）=cos[（x﹣π）]，‎ ‎∴将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数图象对于的解析式为：y=cos[（x﹣π+φ）]，‎ 又∵y=cos（﹣）=cos[（x﹣）]，‎ ‎∴由题意可得：（x﹣π+φ）=（x﹣）+2kπ，k∈Z，‎ 解得：φ=4kπ+，k∈Z，‎ ‎∵φ＞0‎ ‎∴当k=0时，φ的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2016•南通模拟）若函数f（x）=，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为　　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】当x≤0时，f（x）=x+2x，单调递增，由f（﹣1）f（0）＜0，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点；x＞0时，f（x）=ax﹣lnx有且只有一个零点，即有a=有且只有一个实根．令g（x）=，求出导数，求得单调区间，极值，即可得到a的值．‎ ‎【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+2x，单调递增，‎ f（﹣1）=﹣1+2﹣1＜0，f（0）=1＞0，‎ 由零点存在定理，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点；‎ 则由题意可得x＞0时，f（x）=ax﹣lnx有且只有一个零点，‎ 即有a=有且只有一个实根．‎ 令g（x）=，g′（x）=，‎ 当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减；‎ 当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增．‎ 即有x=e处取得极大值，也为最大值，且为，‎ 如图g（x）的图象，当直线y=a（a＞0）与g（x）的图象 只有一个交点时，则a=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2015•淮安模拟）已知{an}，{bn}均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，总有=，则=　9　．‎ ‎【考点】数列的求和．菁优网版权所有 ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】设{an}，{bn}的公比分别为q，q′，利用=，求出q=9，q′=3，可得=3，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：设{an}，{bn}的公比分别为q，q′，‎ ‎∵=，‎ ‎∴n=1时，a1=b1．‎ n=2时，．‎ n=3时，．‎ ‎∴2q﹣5q′=3，7q′2+7q′﹣q2﹣q+6=0，‎ 解得：q=9，q′=3，‎ ‎∴．‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2016•南通模拟）如图，在圆O：x2+y2=4上取一点A（﹣，1），E、F为y轴上的两点，且AE=AF，延长AE，AF分别与圆交于点MN．则直线MN的斜率为　﹣　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．‎ ‎【分析】不适一般性，取特殊点，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，取M（0，2），AM的斜率为，‎ ‎∵AE=AF，‎ ‎∴AN的斜率为﹣，过原点，‎ ‎∴N（（，﹣1），‎ ‎∴直线MN的斜率为=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2016•南通模拟）如图，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=45°，则•=　﹣　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 ‎【专题】综合题；转化思想；综合法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】取PC中点D，连结BD，设BD=x．利用三角形中位线定理与含有45°角的直角三角形的性质，算出∠BDC=135°，CD=PD=x．在△‎ BCD中利用余弦定理，结合题中数据建立关于x的方程，解出x，从而得出PA，PC．最后利用数量积的公式加以计算，可得则•的值 ‎【解答】解：取PC中点D，连结BD．设BD=x，‎ ‎∵BD是△PAC的中位线，∴BD∥PA且BD=PA．‎ ‎∵∠APB=90°，∴△PBD中，∠PBD=∠APB=90°，‎ ‎∵∠BPD=45°，BD=x，∴PD=x，CD=PD=x，‎ ‎△BDC中，∠BDC=∠APC=90°+450°=130°，BC=1，‎ 由余弦定理，得BC2=BD2+CD2﹣2BD•CDcos∠BDC=1，‎ 即x2+2x2﹣2x•xcos135°=1，解之得x=，即BD=，‎ ‎∴PA=2BD=，PC=2×=，‎ ‎∴•=||•||cosAPC=××（﹣）=﹣，‎ 故答案为：﹣‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2016•南通模拟）已知正实数a、b、c满足+=1，++=1，则实数c的取值范围是　（1，]　．‎ ‎【考点】基本不等式．菁优网版权所有 ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由于+=1，++=1，可得，化为．由于正实数a、b满足+=1，利用基本不等式的性质可得ab≥4，据此可得c的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵++=1，∴，化为．‎ ‎∵正实数a、b满足+=1，∴，化为ab≥4．‎ 则c==1+，ab﹣1≥3，‎ 则1＜c≤．‎ 故答案为：（1，]．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（14分）（2011•宝山区二模）已知向量，，．‎ ‎（1）若，求向量、的夹角θ；‎ ‎（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；综合题．‎ ‎【分析】（1）当时，求出向量、，利用数量积的坐标运算求出向量•，从而求出向量、的夹角θ；（2）向量，，代入函数，利用三角函数的诱导公式进行化简，转化为三角函数在定区间上的最值，即可求得结果．‎ ‎【解答】解：（1）当时，，‎ 所以，‎ 因而；‎ ‎（2），，‎ 因为，‎ 所以，‎ 当λ＞0时，，即，‎ 当λ＜0时，，即，‎ 所以．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）（2016•南通模拟）如图，平面ABC⊥平面DBC，AB=AC，AB⊥AC，DB=DC；DE⊥平面DBC，BC=2DE，‎ ‎（1）求证：DE∥平面ABC；‎ ‎（2）求证：AE⊥平面ABC．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有 ‎【专题】证明题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（1）取BC中点F，连结AF，可证AF⊥BC，由平面ABC⊥平面DBC，且交线为BC，可证AF⊥平面DBC，从而AF∥DE，即可证明DE∥平面ABC．‎ ‎（2）连结DF，可证DF⊥平面ABC，AE∥DF，从而有AE⊥平面ABC．‎ ‎【解答】解：（1）取BC中点F，连结AF，‎ 因为AB=AC，所以，AF⊥BC，‎ 又因为平面ABC⊥平面DBC，且交线为BC，‎ 所以，AF⊥平面DBC，‎ 因为DE⊥平面DBC，所以，AF∥DE，‎ 而AF在平面ABC内，DE在平面ABC外，所以，DE∥平面ABC；‎ ‎（2）连结DF，‎ ‎∵DB=DC，F为BC中点，‎ ‎∴DF⊥BC，‎ ‎∵平面ABC⊥平面DBC，DF⊂平面DBC，‎ 可证DF⊥平面ABC，‎ ‎∵AE∥DF，‎ ‎∴AE⊥平面ABC．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）（2016•南通模拟）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、‎ CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成 如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km，，．‎ ‎（1）求区域Ⅱ的总面积；‎ ‎（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元． 试问当θ为多少时，年总收入最大？‎ ‎【考点】在实际问题中建立三角函数模型．菁优网版权所有 ‎【专题】导数的综合应用；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求区域Ⅱ的总面积；‎ ‎（2）建立三角函数关系式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．‎ ‎【解答】解：（1）因为BD=AC，OB=OA，所以OD=OC．‎ 因为，DE∥OA，CF∥OB，‎ 所以DE⊥OB，CF⊥OA．‎ 又因为OE=OF，所以Rt△ODE≌Rt△OCF．‎ 所以． …（2分）‎ 所以．‎ 所以，‎ 所以，． …（6分）‎ ‎（2）因为，‎ 所以．‎ 所以=，…（10分）‎ 所以，‎ 令y'=0，则． …（12分）‎ 当时，y'＞0，当时，y'＜0．‎ 故当时，y有最大值．‎ 答：当θ为时，年总收入最大．…（15分）‎ ‎　‎ ‎18．（16分）（2016•南通模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：+y2=1的左、右顶点，P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F．‎ ‎（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；‎ ‎（2）若t=﹣1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：+定值；‎ ‎（3）求证：四边形AFBE为平行四边形．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 ‎【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ ‎【分析】（1）由题意得l：y=﹣x+1，由此能求出t的值．‎ ‎（2）直线AC：y=k1（x+2），与联立得C：，同理得D：，由此能证明=﹣4（定值）．‎ ‎（3）要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O．‎ ‎【解答】（1）解：由题意：椭圆：+y2=1上顶点C（0，1），‎ 右焦点E（﹣，0），‎ 所以l：y=﹣x+1，‎ 令x=2，得t=1﹣．…（2分）‎ ‎（2）证明：直线AC：y=k1（x+2），与联立 得C：，同理得D：，…（4分）‎ 由C，D，P三点共线得：kCP=kDP，得=﹣4（定值）．…（8分）‎ ‎（3）证明：要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O，‎ 设点P（2，t），则OP：y=x，‎ 分别与直线AC：y=k1（x+2）与AD：y=k2（x+2）联立得：‎ xE=，xF=，下证：xE+xF=0，即+=0‎ 化简得：t（k1+k2）﹣4k1k2=0…（12分）‎ 由（2）知C：，D：，‎ 由C，D，P三点共线得：kCP=kDP，‎ 得t（k1+k2）﹣4k1k2=0，‎ 所以四边形AFBE为平行四边形．…（16分）‎ ‎　‎ ‎19．（16分）（2016•南通模拟）已知数列{an}，{bn}满足：对于任意的正整数n，当n≥2时，an2+bnan﹣12=2n+1．‎ ‎（1）若bn=（﹣1）n，求的值；‎ ‎（2）若数列{an}的各项均为正数，且a1=2，bn=﹣1．设Sn=，Tn=，试比较Sn与Tn的大小，并说明理由．‎ ‎【考点】数列递推式；数列与函数的综合．菁优网版权所有 ‎【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）根据数列的递推关系时，即可得到a22+a12=5，a42+a32=9，a62+a52=13，…a182+a172=37，累加即可，‎ ‎（2）根据数列的递推关系求出an=n+1，n∈N，再分别表示出Sn与Tn，分别计算它们的平方，n=1，2，3，4，5，6，当n≥6时，构造数列cn=，利用换元法和作差法得到数列{cn}为递增数列，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得a22+a12=5，a42+a32=9，a62+a52=13，…a182+a172=37，‎ 将上面的式子相加得到=5+9+13+…+37=189，‎ ‎（2）∵an2+bnan﹣12=2n+1，a1=2，bn=﹣1‎ ‎∴an2﹣an﹣12=2n+1，n≥2，‎ ‎∴a22﹣a12=5，a32﹣a22=7，a42﹣a32=9，an2﹣an﹣12=2n+1，‎ 将上面的式子相加得到an2﹣a12=，‎ ‎∴an2=（n+1）2，n≥2，‎ ‎∵数列{an}的各项均为正数，‎ ‎∴an=n+1，‎ 当n=1时，也成立，‎ ‎∴an=n+1，n∈N*，‎ ‎∴Sn==2n﹣1，Tn==，‎ 下面比较Sn与Tn的大小，‎ 取n=1，2，3，4，5，6，‎ ‎∴S12＜T12，S22＞T22，S32＞T32，S42＞T42，S52＞T52，S62＜T62，‎ 当n≥6时，令cn=，‎ 则=‎ 设2n=t≥64，‎ 则（n+2）（2n﹣1）2﹣（2n+1﹣1）2=8（t﹣1）2﹣（2t﹣1）2=4t2﹣12t+7＞0‎ ‎∴当n≥6时，数列{cn}为递增数列，‎ ‎∴cn≥c6=＞1，‎ ‎∴n≥6时，Sn2＜Tn2，‎ 综上所述：当n=2，3，4，5时，Sn＞Tn，当n=1，n≥6时，Sn＜Tn．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）（2016•南通模拟）已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．‎ ‎（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；‎ ‎（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】分类讨论；分析法；导数的综合应用；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；‎ ‎（2）由题意可得即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；‎ ‎（3）原不等式等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．‎ ‎【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，‎ 曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，‎ 由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，‎ 解得a=﹣2；‎ ‎（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，‎ 对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为 ‎＞0，‎ 令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，‎ 由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，‎ 可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，‎ 则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；‎ ‎（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，‎ 整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，‎ 则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．‎ 对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，‎ 因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．‎ ‎①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．‎ ‎②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，‎ 令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），‎ 可得＜ln（a+1）‎ 考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立 ‎③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，‎ 又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．‎ 综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）‎ ‎21．（10分）（2016•南通模拟）在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=AB•ED．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 ‎【专题】选作题；推理和证明．‎ ‎【分析】连接BD，证明△EAD∽△DBA．即可证明AD2=AB•ED．‎ ‎【解答】证明：连接BD，‎ 因为直线AE与圆O相切，所以∠EAD=∠ABD．…（4分）‎ 又因为AB∥CD，所以∠BAD=∠ADE，‎ 所以△EAD∽△DBA． …（8分）‎ 从而=，所以AD2=AB•ED． …（10分）‎ ‎　‎ ‎[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎22．（10分）（2016•南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．‎ ‎【考点】逆变换与逆矩阵．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换．‎ ‎【分析】在直线x+y﹣2=0上取两点M（2，0），M（0，2）． 在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M′，N′．推导出M′、N′的坐标，由题意，M′、N′在直线x+y﹣2=0上，列出方程组求出A=，由此能求出矩阵A的逆矩阵A﹣1．‎ ‎【解答】解：在直线x+y﹣2=0上取两点M（2，0），M（0，2）．M，N在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M′，N′．‎ ‎∵=，∴M′的坐标为（2，2b）；‎ ‎=，∴N′的坐标为（2a，4）．‎ 由题意，M′、N′在直线x+y﹣2=0上，‎ ‎∴．‎ 解得a=﹣1，b=0．‎ ‎∴A=，‎ ‎∵→→．‎ ‎∴A﹣1=．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23．（2015•淮安模拟）已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 ‎【专题】选作题；坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，可得F的坐标，直线l经过点（m，0），可求m的值；‎ ‎（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，利用参数的几何意义，即可求|FA|•|FB|的最大值与最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得，‎ ‎∴a=5，b=3，c=4，则点F的坐标为（4，0）．‎ ‎∵直线l经过点（m，0），∴m=4．…（4分）‎ ‎（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（9cos2α+25sin2α）t2+72tcosα﹣81=0．‎ 设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则 ‎|FA|•|FB|=|t1t2|=．…（8分）‎ 当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值9；‎ 当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值．…（10分）‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．（2016•南通模拟）已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9．求证：++≥．‎ ‎【考点】不等式的证明．菁优网版权所有 ‎【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得（a+2b+3c）（++）≥（++）2，‎ 化简整理，结合条件即可得证．‎ ‎【解答】证明：由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得：‎ ‎（a+2b+3c）（++）≥（++）2‎ ‎=（++）2=1，‎ 由a+2b+3c=9，可得++≥，‎ 当且仅当a=3b=9c，即a=，b=，c=时，等号成立．‎ ‎　‎ 解答题 ‎25．（10分）（2016•南京三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp（λ＞0）．‎ ‎（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）由题意可知x1=1﹣，A点坐标为（1﹣，1），将A点坐标代入抛物线方程求得p的值，写出抛物线的标准方程；‎ ‎（2）直线AB过M（﹣，0），设直线AB的方程为y=k（x+），代入抛物线方程y2=2px，消去y，整理得，解出x1、x2，将d=x1+，代入d=λp，得，+λ=，可知，，将x1、x2代入，即可解得，可证直线AB的斜率为定值．‎ ‎【解答】解：（1）由条件知，x1=1﹣，则A点坐标为（1﹣，1），代入抛物线方程得p=1，‎ ‎∴抛物线方程为y2=2x，‎ ‎（2）证明：设B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+），‎ 将直线AB的方程代入y2=2px，消去y得：，‎ 解得：x1=，x2=．‎ ‎∵d=λp，‎ ‎∴，‎ ‎+λ=，，‎ ‎∴p=x2﹣x1=，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线AB的斜率为定值．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）（2015•淮安模拟）在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为Pn（k）．‎ ‎（1）求P3（1）‎ ‎（2）求P4（k）；‎ ‎（3）证明kPn（k）=nPn﹣1（k），并求出kPn（k）的值．‎ ‎【考点】数列的求和．菁优网版权所有 ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，即可得出；‎ ‎（2）类比（1）即可得出；‎ ‎（3）：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则，可得，利用，即可得出．‎ ‎【解答】（1）解：∵数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，‎ ‎∴P3（1）=3；‎ ‎（2）解：=；‎ ‎（3）证明：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则有，‎ 故，‎ 又∵，‎ ‎∴．‎ 令，则an=nan﹣1，且a1=1．‎ 于是a2a3a4…an﹣1an=2a1×3a2×4a3×…×nan﹣1，‎ 左右同除以a2a3a4…an﹣1，得an=2×3×4×…×n=n!‎ ‎∴．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；涨停；yhx01248；whgcn；zlzhan；qiss；maths；沂蒙松；w3239003；双曲线；sxs123；刘长柏；394782；铭灏2016（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2016年11月9日