高考新课标卷试题 4页

2019 年全国高考新课标Ⅰ数学试卷（理科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.（2019 新课标Ⅰ卷·理 1）已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 2.（2019 新课标Ⅰ卷·理 2）设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则 A. B. C. D. 3.（2019 新课标Ⅰ卷·文理 3）已知 ， ， ，则 A. B. C. D. 4.（2019 新课标Ⅰ卷·文理 4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐 至足底的长度之比是 ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便 是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满 足上述两个黄金分割比例，且腿长为 ，头顶至脖子下端的长度为 ，则其身高可 能是 A. B. C. D. 5.（2019 新课标Ⅰ卷·文理 5）函数 的图象在 ， 的大致为 A. B. C. D. 6.（2019 新课标Ⅰ卷·理 6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重 卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图就是一 重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是 A. B. C. D. 7.（2019 新课标Ⅰ卷·文 8 理 7）已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为　 A. B. C. D. 8.（2019 新课标Ⅰ卷·文 9 理 8）如图是求 的程序框图，图中空白框中应 填入 A. B. { | 4 2}M x x= − < < 2{ | 6 0}N x x x= − − < M N = { | 4 3}x x− < < { | 4 2}x x− < < − { | 2 2}x x− < < { | 2 3}x x< < z | | 1z i− = z ( , )x y 2 2( 1) 1x y+ + = 2 2( 1) 1x y− + = 2 2( 1) 1x y+ − = 2 2( 1) 1x y+ + = 2log 0.2a = 0.22b = 0.30.2c = a b c< < a c b< < c a b< < b c a< < 5 1 5 1( 0.6182 2 − − ≈ 5 1 2 − 105cm 26cm 165cm 175cm 185cm 190cm 2 sin( ) cos x xf x x x += + [ π− ]π 5 16 11 32 21 32 11 16 a b | | 2 | |a b=  ( )a b b− ⊥  a b 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π 1 12 12 2 + + 1 2A A = + 12A A = + C. D. 9.（2019 新课标Ⅰ卷·理 9）记 为等差数列 的前 项和.已知 ， ，则 A. B. C. D. 10.（2019 新课标Ⅰ卷·文 12 理 10）已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点.若 ， ，则 的方程为 A. B. C. D. 11.（2019 新课标Ⅰ卷·理 11）关于函数 有下述四个结论： ① 是偶函数 ② 在区间 ， 单调递增 ③ 在 ， 有 4 个零点 ④ 的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是　　 A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 12.（2019 新课标Ⅰ卷·理 12）已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， ， 是边长为 2 的正三角形， ， 分别是 ， 的中点， ，则球 的体积为 A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.（2019 新课标Ⅰ卷·理 14）曲线 在点 处的切线方程为　 　. 14.（2019 新课标Ⅰ卷·理 14）记 为等比数列 的前 项和.若 ， ，则 　 　. 15.（2019 新课标Ⅰ卷·理 15）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队 获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概 率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 获胜的概率是　 　. 16.（2019 新课标Ⅰ卷·理 16）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的 直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点.若 ， ，则 的离心率为　 　. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. （2019 新课标Ⅰ卷·理 17 ） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， . 设 . （1）求 ； （2）若 ，求 . 18.（2019 新课标Ⅰ卷·理 18）如图，直四棱柱 的底面是菱形， ， ， ， ， ， 分别是 ， ， 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的正弦值. 19.（2019 新课标Ⅰ卷·理 19）已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 的交点为 ， ，与 轴的交点为 . （1）若 ，求 的方程； 1 1 2A A = + 11 2A A = + nS { }na n 4 0S = 5 5a = 2 5na n= − 3 10na n= − 22 8nS n n= − 21 22nS n n= − C 1( 1,0)F − 2 (1,0)F 2F C A B 2 2| | 2 | |AF F B= 1| | | |AB BF= C 2 2 12 x y+ = 2 2 13 2 x y+ = 2 2 14 3 x y+ = 2 2 15 4 x y+ = ( ) sin | | | sin |f x x x= + ( )f x ( )f x ( 2 π )π ( )f x [ π− ]π ( )f x P ABC− O PA PB PC= = ABC∆ E F PA AB 90CEF∠ = ° O 8 6π 4 6π 2 6π 6π 23( ) xy x x e= + (0,0) nS { }na n 1 1 3a = 2 4 6a a= 5S = 4:1 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 1F 2F 1F C A B 1F A AB=  1 2 0F B F B⋅ =  C ABC∆ A B C a b c 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B− = − C A 2 2a b c+ = sinC 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 4AA = 2AB = 60BAD∠ = ° E M N BC 1BB 1A D / /MN 1C DE 1A MA N− − 2: 3C y x= F 3 2 l C A B x P | | | | 4AF BF+ = l （2）若 ，求 . 20.（2019 新课标Ⅰ卷·理 20）已知函数 ， 为 的导数.证明： （1） 在区间 存在唯一极大值点； （2） 有且仅有 2 个零点. 21.（2019 新课标Ⅰ卷·理 21）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此 进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲 药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈 的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施 以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分.甲、乙两种药的 治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为 . （1）求 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， ，1， ， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认 为 甲 药 比 乙 药 更 有 效 ” 的 概 率 ， 则 ， ， ， 2 ， ， ， 其 中 ， ， .假设 ， . 证明： ，1，2， ， 为等比数列； 求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22.（2019 新课标Ⅰ卷·文理 22）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数）.以坐标 原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （1）求 和 的直角坐标方程； （2）求 上的点到 距离的最小值. [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23.（2019 新课标Ⅰ卷·文理 23）已知 ， ， 为正数，且满足 .证明： （1） ； （2） . 3AP PB=  | |AB ( ) sin (1 )f x x ln x= − + ( )f x′ ( )f x ( )f x′ ( 1, )2 π− ( )f x 1− 1− α β X X ( 0ip i = … 8) i 0 0p = 8 1p = 1 1( 1i i i ip ap bp cp i− += + + = … 7) ( 1)a P X= = − ( 0)b P X= = ( 1)c P X= = 0.5α = 0.8β = ( )i 1{ }( 0i ip p i+ − = … 7) ( )ii 4p 4p xOy C 2 2 2 1 ,1 ( 4 1 tx t t ty t  −= +  = + O x l 2 cos 3 sin 11 0ρ θ ρ θ+ + = C l C l a b c 1abc = 2 2 21 1 1 a b ca b c + + + + 3 3 3( ) ( ) ( ) 24a b b c c a+ + + + + 