精编高考数学理科一轮复习通用版随机变量及其分布双基过关检测 6页

‎“随机变量及其分布”双基过关检测 一、选择题 ‎1．设随机变量ξ～N(2,1)，若P(ξ>3)＝m，则P(1<ξ<3)等于(　　)‎ A.－2m　　　　　　　 B．1－m C．1－2m D.－m 解析：选C　因为随机变量ξ～N(2,1)，‎ 所以随机变量ξ服从正态分布，且正态曲线的对称轴为x＝2，‎ 因为P(ξ>3)＝m，所以P(ξ<1)＝m，‎ 因此P(1<ξ<3)＝1－2P(ξ>3)＝1－2m.‎ ‎2．已知离散型随机变量X的概率分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P a 则随机变量X的数学期望为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　∵a＝1－＝，∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎3．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　由题可得，c1－＋－＋－＋－＝c×＝1，解得c＝.‎ 所以P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝×＝.‎ ‎4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他在第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　设事件A为“第一次取到的是螺口灯泡”，‎ 事件B为“第二次取到的是卡口灯泡”，‎ 则P(A)＝，P(AB)＝×＝，‎ 故所求概率为P(B|A)＝＝＝.‎ ‎5．(2018·邢台摸底)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　由题意知取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝.‎ ‎6．下列各组的两个事件相互独立的是(　　)‎ ‎①运动员甲射击一次，“射中10环”与“射中8环”；‎ ‎②甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中8环”；‎ ‎③盒子中放有5个红球、5个白球，从盒子中陆续取出两个球，事件A为“第一次取出白球”，取出的球放回盒中，事件B为“第二次取出的是白球”；‎ ‎④盒子中放有5个红球、5个白球，从盒子中陆续取出两个球，事件A为“第一次取出白球”，取出的球不放回盒中，事件B为“第二次取出的是白球”．‎ A．①② B．②③‎ C．①④ D．③④‎ 解析：选B　①甲射击一次，“射中10环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，是互斥事件；‎ ‎②甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中8环”的概率没有影响，故二者是相互独立事件；‎ ‎③在有放回的取球中，事件A与B是否发生相互之间没有任何影响，故二者是相互独立事件；‎ ‎④在不放回的取球中，事件A发生后，事件B的概率发生了改变，故二者不是相互独立事件．‎ 二、填空题 ‎7．随机掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为m，已知向量＝(m,1)，＝ (2－m，－4)，设X＝·，则X的数学期望E(X)＝________.‎ 解析：∵＝＋＝(2，－3)，‎ ‎∴X＝·＝2m－3，而m＝1,2,3,4,5,6.‎ 列出X的分布列(如表所示)，‎ X ‎－1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ P ‎∴E(X)＝(－1＋1＋3＋5＋7＋9)＝4.‎ 答案：4‎ ‎8．已知随机变量ξ的分布列为：‎ ξ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P x y 若E(ξ)＝，则x＋y＝________，D(ξ)＝________.‎ 解析：由题意，得x＋y＝.又E(ξ)＝－x＋＋2y＝，‎ 解得x＝， y＝，‎ 所以D(ξ)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.‎ 答案：　 ‎9．设随机变量η服从正态分布N(1，σ2)，若P(η <－1)＝0.2，则函数f(x)＝x3＋x2＋η2x没有极值点的概率是______．‎ 解析：f′(x)＝x2＋2x＋η2，‎ 因为函数f(x)＝x3＋x2＋η2x没有极值点，‎ 所以f′(x)＝x2＋2x＋η2≥0恒成立，‎ 所以Δ＝4－4η2≤0，则η≤－1或η≥1，‎ 因为P(η≤－1)＝0.2，且随机变量η服从正态分布N(1，σ2)，‎ 所以P(η≤－1或η≥1)＝P(η≤－1)＋P(η≥1)＝0.2＋0.5＝0.7.‎ 答案：0.7‎ 三、解答题 ‎10．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.‎ ‎(1)求p；‎ ‎(2)求电流能在M与N之间通过的概率．‎ 解：记Ai表示事件“电流能通过Ti”，i＝1,2,3,4，‎ A表示事件“T1，T2，T3中至少有一个能通过电流”，‎ B表示事件“电流能在M与N之间通过”．‎ ‎(1)＝，A1，A2，A3相互独立，‎ P()＝P()＝P()P()P()＝(1－p)3，‎ 又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，‎ 故(1－p)3＝0.001，解得p＝0.9.‎ ‎(2)B＝A4∪(A1A3)∪(A2A3)，‎ P(B)＝P(A4)＋P(A1A3)＋P(A2A3)‎ ‎＝P(A4)＋P()P(A1)P(A3)＋P()P()P(A2)P(A3)‎ ‎＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1.‎ ‎11．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为：‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．‎ ‎(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；‎ ‎(2)求η的分布列及数学期望E(η)．‎ 解：(1)由事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，‎ 可知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，‎ 因为P()＝(1－0.4)3＝0.216，‎ 所以P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.‎ ‎(2)由题意知，η的可能取值为200元，250元，300元，‎ 则P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，‎ P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，‎ P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，‎ 所以η的分布列为 η ‎200‎ ‎250‎ ‎300‎ P ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ 故数学期望E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．‎ ‎12．(2017·北京高考)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．‎ ‎(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；‎ ‎(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；‎ ‎(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)‎ 解：(1)由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，‎ 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率P＝＝0.3.‎ ‎(2)由图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.‎ 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.‎ P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.‎ ‎(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．‎