2020高考数学三轮冲刺 专题 双曲线练习（含解析） 11页

双曲线 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1. 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：双曲线两焦点间的距离为4，，‎ 当焦点在x轴上时，‎ 可得：，解得：，‎ 方程表示双曲线，‎ ‎，可得：，‎ 解得：，即n的取值范围是：．‎ 当焦点在y轴上时，‎ 可得：，解得：，‎ 无解．‎ 故选：A．‎ 由已知可得，利用，解得，又，从而可求n的取值范围．‎ 本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．‎ ‎2. 若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则C的离心率为 ‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：双曲线C：的一条渐近线不妨设为：，‎ 11‎ 圆的圆心，半径为：2，‎ 双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，‎ 可得圆心到直线的距离为：，‎ 解得：，可得，即．‎ 故选：A．‎ 通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．‎ 本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．‎ ‎3. 已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B ‎【分析】‎ 本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．‎ 根据椭圆得，根据渐近线方程为，，结合，求得a，b，即可得到C的方程。‎ ‎【解答】‎ 解：椭圆的焦点坐标，则双曲线的焦点坐标为，可得，‎ 双曲线C：的一条渐近线方程为，‎ 可得，即，可得，解得，，‎ 所求的双曲线方程为：．‎ 故选B．‎ 11‎ ‎4. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ‎ A. B. ‎3 C. 5 D. ‎ ‎（正确答案）A 解：抛物线的焦点坐标为，‎ 依题意，，‎ ‎．‎ 双曲线的方程为：，‎ 其渐近线方程为：，‎ 双曲线的一个焦点到其渐近线的距离等于．‎ 故选A．‎ 由双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，先求出，再求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，由此能求出结果．‎ 本题考查双曲线的简单性质，求得的值是关键，考查点到直线间的距离公式，属于中档题．‎ ‎5. 双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：由题意可得，，，，‎ 11‎ ‎，，‎ 且，菱形的边长为，‎ 由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D．‎ 由面积相等，可得，‎ 即为，‎ 即有，‎ 由，可得，‎ 解得，‎ 可得，或舍去．‎ 故选：A．‎ 由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．‎ 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎6. 已知双曲线C：的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线C的方程为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B 解：双曲线C：的渐近线方程为，‎ 可得；其右焦点为，可得，又，‎ 11‎ 解得，，‎ 则双曲线C的方程为：．‎ 故选：B．‎ 利用已知条件列出方程，求解即可．‎ 本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，是基础题．‎ ‎7. 已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为 ‎ A. B. C. D. 2‎ ‎（正确答案）A 解：设，则，‎ 与x轴垂直，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：A．‎ 11‎ 设，则，利用勾股定理，求出，利用，求得，可得，求出，即可得出结论．‎ 本题考查双曲线的定义与方程，考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．‎ ‎8. 已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为 ‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎（正确答案）D ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理，结合双曲线离心率的定义是解决本题的关键．‎ ‎【解答】解：与x轴垂直，，‎ 设，则，‎ 由双曲线的定义得，即，‎ 在直角三角形中，，即，‎ 即，‎ 则，‎ 故选D．‎ ‎9. 设双曲线的离心率是3，则其渐近线的方程为 ‎ A. B. C. D. ‎ 11‎ ‎（正确答案）A 解：双曲线的离心率是3，‎ 可得，则．‎ 双曲线的离心率是3，则其渐近线的方程为：．‎ 故选：A．‎ 利用双曲线的离心率，这求出a，b的关系式，然后求渐近线方程．‎ 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎10. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P是双曲线C右支上一点，且若直线与圆相切，则双曲线的离心率为 ‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎（正确答案）B 解：解：设与圆相切于点M，‎ 因为，所以为等腰三角形，N为的中点，‎ 所以，‎ 又因为在直角中，，所以 ‎ 又 ，‎ ‎ ‎ 由可得，‎ 即为，即，‎ 解得．‎ 故选：B．‎ 先设与圆相切于点M，利用，及直线与圆相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值．‎ 本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎11. 已知抛物线的焦点为双曲线的右焦点，且其准线被该双曲线截得的弦长是，则该双曲线的离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）D 解：由题意可知：抛物线的焦点，准线，‎ 将代入双曲线方程，解得：，‎ 则准线被该双曲线截得的弦长为，‎ ‎，，‎ 双曲线的离心率，‎ 则双曲线的离心率，‎ 故选D．‎ 由题意可知：抛物线的焦点，准线，将代入双曲线方程，解得：，即可求得，，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．‎ 本题考查双曲线的简单几何性质，主要是离心率公式，考查计算能力，属于基础题．‎ 11‎ ‎12. 设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：根据题意，抛物线的方程为，则其焦点为，‎ 又由双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，‎ 则有而，且；‎ 双曲线的离心率为，则有，‎ 解可得，‎ 又由；‎ 则；‎ 故双曲线的方程为：；‎ 故选：A．‎ 根据题意，由抛物线的方程计算可得其焦点坐标，结合题意可得双曲线中有，结合离心率公式可得，解可得n的值，由双曲线的几何性质计算可得m的值，将m、n的值代入双曲线的方程即可得答案．‎ 本题考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线焦点的位置．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13. 已知双曲线C：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若，则C的离心率为______ ．‎ ‎（正确答案）‎ 解：双曲线C：的右顶点为，‎ 以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．‎ 若，可得A到渐近线的距离为：，‎ 可得：，即，可得离心率为：．‎ 故答案为：．‎ 利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．‎ 本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎14. 双曲线的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为______．‎ ‎（正确答案）‎ ‎【分析】‎ 本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到a、b关系，然后求解双曲线的离心率．‎ ‎【解答】‎ 解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：，‎ 圆的圆心，半径为1，‎ 双曲线的渐近线与圆相切，‎ 可得：，‎ 可得，，‎ ‎．‎ 故答案为．‎ 11‎ ‎15. 双曲线的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率______．‎ ‎（正确答案）‎ 解：双曲线的右焦点为，左顶点为，‎ 右焦点到双曲线渐近线的距离为：，‎ 右焦点到左顶点为的距离为：，‎ 由题意可得，，‎ 即有，即，‎ 即，‎ 由，则有，‎ 解得，．‎ 故答案为：．‎ 求出双曲线的左顶点以及右焦点，以及渐近线方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，列出a、b、c关系式，然后由离心率公式即可计算得到．‎ 本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．‎ ‎16. 已知双曲线的离心率为，则______．‎ ‎（正确答案）2或 解：双曲线，‎ 当焦点在x轴时，，，‎ 可得，‎ 双曲线的离心率为，‎ ‎，‎ 当焦点在y轴时，，，‎ 可得，‎ 双曲线的离心率为，‎ ‎，‎ 可得，即，可得．‎ 故答案为：2或．‎ 直接利用双曲线的方程，求出a，b，c利用离心率求解即可．‎ 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ 三、解答题（本大题共3小题，共30分）‎ ‎17. 已知双曲线C：及直线l：．‎ 若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；‎ 若l与C交于A，B两点，且AB中点横坐标为，求AB的长．‎ ‎（正确答案）解：双曲线C与直线l有两个不同的交点，‎ 则方程组有两个不同的实数根，分 ‎ 整理得分 ‎ ‎，解得且分 ‎ 双曲线C与直线l有两个不同交点时，k的取值范围是分 ‎ 设交点，，‎ 由得，即，解得：．‎ 且分 ‎ 11‎ ‎．‎ 分 联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k的范围．‎ 设交点，，利用韦达定理以及弦长公式区间即可．‎ 本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎18. 已知双曲线C以、为焦点，且过点．‎ 求双曲线C与其渐近线的方程；‎ 若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且为坐标原点求直线l的方程．‎ ‎（正确答案）解：设双曲线C的方程为，半焦距为c，‎ 则，，，‎ 所以，‎ 故双曲线C的方程为 ‎ 双曲线C的渐近线方程为 ‎ 设直线l的方程为，将其代入方程，‎ 可得 ‎ ‎，若设，，‎ 则，是方程的两个根，所以，‎ 又由，可知，‎ 即，可得，‎ 11‎ 故，解得，‎ 所以直线l方程为 ‎ 设出双曲线C方程，利用已知条件求出c，a，解得b，即可求出双曲线方程与渐近线的方程；‎ 设直线l的方程为，将其代入方程，通过，求出t的范围，设，，利用韦达定理，通过，求解t即可得到直线方程．‎ 本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查计算能力．‎ ‎19. 双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程．‎ ‎（正确答案）解：椭圆的焦点为，，‎ 设双曲线方程为，‎ 过点，则，‎ 得或36，而，，‎ 双曲线方程为．‎ 根据已知中双曲线与椭圆有相同焦点，我们可以设出双曲线的标准方程含参数，然后根据经过点，得到一个关于a的方程，解方程，即可得到的值，进而得到双曲线的方程．‎ 本题考查的知识点是双曲线的标准方程，其中根据已知条件设出双曲线的标准方程含参数，并构造一个关于a的方程，是解答本题的关键．‎ 11‎