2019届高考数学二轮复习 第5讲 数列的通项与求和学案（无答案）文 9页

第5讲 数列的通项与求和 学习目标 ‎【目标分解一】求数列通项常用的四种方法 ‎【目标分解二】掌握等差(比)数列求和公式及方法、裂项相消求和.‎ ‎【目标分解三】掌握数列分组求和、错位相减求和的方法.‎ 重点 裂项相消求和、错位相减求和 ‎【课前自主复习区】‎ ‎■核心知识储备 ‎1．数列{an}中，an与Sn的关系：‎ an＝提醒：在利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式时，务必验证n＝1时的情形 2． 递推公式求通项常用的方法和技巧 ‎(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．‎ ‎(2)已知Sn与an的关系，利用an＝求an.‎ ‎(3)累加法 an＋1＝an＋f(n)，把原递推公式转化为an＋1－an＝f(n)．‎ ‎(4)累乘法an＋1＝f(n)an，把原递推公式转化为＝f(n)．‎ ‎(5)构造法an＋1＝qan＋p(其中p，q均为常数，pq(q－1)≠0)，把原递推公式转化为an＋1－t＝q(an－t)，‎ 其中t＝，再利用构造法转化为等比数列求解．‎ ‎3．数列求和常用的方法 ‎(1)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．‎ ‎(2)裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即an＝f(n＋1)－f(n)的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如(其中{an}是各项均不为0的等差数列，c为常数)的数列等．‎ ‎(3)错位相减法：形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．‎ ‎(4)倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．‎ 易错提醒 ‎(1)公比为字母的等比数列求和时，需注意分类讨论．‎ ‎(2)错位相减法求和时，易漏掉减数式的最后一项.‎ ‎(3)在裂项变形时，务必注意裂项前的系数.‎ ‎[高考真题回访]‎ 9‎ ‎1.an与an＋1的关系 ‎ (2014·全国卷Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.‎ ‎2．数列求和 ‎ (2012·全国卷)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为(　　)‎ A．3 690　 B．3 ‎660 C．1 845　 D．1 830‎ ‎3.(2013·全国卷Ⅰ改编)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.则 ‎(1){an}的通项公式为__________；(2)数列的前n项和为__________．‎ ‎4．(2014·全国卷Ⅰ改编)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根，则 ‎(1){an}的通项公式为__________；(2)数列的前n项和为__________．‎ ‎【课堂互动探究区】‎ ‎【目标分解一】由递推关系求an ,Sn ‎【例1】　(考查已知an与Sn的递推关系求Sn)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2.若首项a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝________.‎ ‎ ‎ ‎【例2】(考查已知an与Sn的递推关系求an)数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足＝1(n≥2)．求数列{an}的通项公式．‎ ‎【我会做】1．已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 018＝(　　)‎ A．－1　 B． C．1 D．2‎ ‎2．已知数列{an}前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n ，则Sn＝__________. ‎ ‎【我能做对】‎ ‎1.(2017·郑州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.‎ 9‎ ‎【目标分解二】裂项相消法求和 ‎【例3】(本小题满分12分)(2015·全国Ⅰ卷)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，.①‎ ‎(1)求{an}的通项公式；(2)设，②求数列{bn}的前n项和. ‎ ‎　‎ ‎ 裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，常见的裂项方式有：‎ 提醒：在裂项变形时，务必注意裂项前的系数.‎ ‎【我能做对】‎ ‎(2017·郑州第三次质量预测)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－2，且满足Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝log3(－an＋1)，设数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜.‎ ‎【目标分解三】错位相减求和 9‎ ‎【例4】设数列{an}满足a1＋‎3a2＋‎32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. ‎ 用错位相减法求和时，应注意：‎ (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.‎ ‎ 2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.‎ (3)应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况进行讨论，这在以前的高考中经常考查.‎ ‎【我会做】‎ ‎1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2＝‎2a2－2，S3＝a4－2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.‎ 9‎ ‎★2.设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d＞1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【我能做对】‎ ‎★★已知在公比大于1的等比数列{an}中，a2，a4是函数f(x)＝(x－2)(x－8)的两个零点．‎ ‎(1)求数列{an }的通项公式；(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.‎ ‎【课后作业】：专题限时集训(二)　‎ ‎1.已知等比数列{an}中，a2·a8＝‎4a5，等差数列{bn}中，b4＋b6＝a5，则数列{bn}的前9项和S9等于(　　)‎ A．9　　　　B．‎18　‎　　　C．36　　　　D．72‎ 2． ‎(2017·全国Ⅱ卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝________. ‎ 3． ‎(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.‎ 9‎ ‎4.(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0 ‎ ‎(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．‎ ‎5.(2016·全国Ⅱ卷)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.‎ ‎(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1 000项和．‎ 9‎ ‎★6.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且. ‎ ‎(I)求数列{an}通项公式；‎ ‎(II){ bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.‎ ‎7.【2017课标3，文17】设数列满足.‎ ‎（1）求的通项公式； （2）求数列 的前项和.‎ 9‎ ‎8．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝15.‎ ‎ (1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. ‎ ‎★★9.已知函数f(x)＝x2＋bx为偶函数，数列{an}满足an＋1＝‎2f(an－1)＋1，且a1＝3，an>1.‎ ‎(1)设bn＝log2(an－1)，证明：数列{bn＋1}为等比数列；(2)设cn＝nbn，求数列{cn}的前n项和Sn.‎ ‎★★★10．‎ 9‎ ‎(2017·全国Ⅰ卷)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(　　)‎ A．440　 B．‎330 C．220 D．110‎ 9‎