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- 2021-05-13 发布
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湖南省2014年长沙市高考模拟试卷(二模)
数学(理)试题
注意事项:
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上,并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。
2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答,在本试题卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3. 本试题卷共5页。如缺页,考生须及时报告监考老师,否则后果自负。
4. 考试结束后,将本试题卷和答题一并交回。
姓 名
准考证号
绝密★启用前
高考湘军
长沙市教科院组织名优教师联合命制
满分:150分 时量:120分钟
说明:本卷为试题卷,要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上.
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
1.已知复数满足(i为虚数单位),则z的值为
A.i B.-i C.1 D.-1
2.设随机变量X~N(2,32),若P(X≤c)=P(X>c),则c等于
A.0 B.1 C.2 D.3
3.二项式的展开式中常数项为
A.-15 B.15 C.-20 D.20
4.设A,B为两个互不相同的集合,命题P:, 命题q:或,则是的
A.充分且必要条件 B.充分非必要条件
C.必要非充分条件 D.非充分且非必要条件
5.已知集合,若,使得成立,则实数b的取值范围是
A. B. C. D.
6.函数的部分图象如图所示,设P是图象的最高点,A,B是图象与x轴的交点,若,则的值为
A. B. C. D.
7.设变量x,y满足约束条件,则z=x-3y的最大值为
A. B.4 C.3 D.
F
D
A
B
C
8.如图,正方形ABCD的边长为3,E为DC的中点,AE与BD相交于F,则 的值是
A. B. C. D.
9.若两条异面直线所成的角为,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有
A.12对 B.18对 C.24 对 D.30对
10.已知函数在区间(0,1)内任取两个实数p,q,且p≠q,不等式恒成立,则实数的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
(一)选做题(请考生在第11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)。
11.(选修4-1:几何证明选讲)如图,PA是圆O的切线,切点为A,PO交圆O于B,C两点,,则=_________.
12.(选修4-3:不等式证明)不等式有实数解的充要条件是_____.
13.(选修4-4:坐标系与参数方程)已知直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为. 以直角坐标系xOy中的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,圆C的极坐标方程为,则圆心C到直线l距离为______.
(二)必做题(14~16题)
14.设点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点,其中F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,且,则双曲线的离心率为______.
15.已知数列中,,若利用如图所示的程
序框图进行运算,则输出n的值为 .
16.若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足,则称a、
b、c是调和的;若满a + c = 2b足,则称a、b、c是等差的.若集
合P中元素a、b、c既是调和的,又是等差的,则称集合P为“好
集”.若集合,集合.则
(1)“好集” P中的元素最大值为 ;
(2)“好集” P的个数为 .
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(Ⅰ)求函数f (x)的最小正周期;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足,求f(B)的取值范围.
18.(12分)在如图所示的几何体中,平面,∥, 是的中点,,.
(Ⅰ)证明:∥平面;
(Ⅱ)求二面角的大小的余弦值.
19.(12分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(Ⅰ)张三选择方案甲抽奖,李四选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,若X≤3的概率为,求;
(Ⅱ)若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?
20.(13分)某地一渔场的水质受到了污染.渔场的工作人员对水质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为个单位的药剂后,经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y=mf(x),其中,当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化.
(Ⅰ)如果投放的药剂质量为m=6,试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天?
(Ⅱ)如果投放的药剂质量为m,为了使在8天(从投放药剂算起包括第8天)之内的渔场的水质达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量m的取值范围.
21.(13分)已知A、B为抛物线C:y2 = 4x上的两个动点,点A在第一象限,点B在第四象限l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切,P为l1、l2的交点.
(Ⅰ)若直线AB过抛物线C的焦点F,求证:动点P在一条定直线上,并求此直线方程;
(Ⅱ)设C、D为直线l1、l2与直线x = 4的交点,求面积的最小值.
22.(13分)设函数在上的最大值为().
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求证:对任何正整数n (n≥2),都有成立;
(III)设数列的前n项和为Sn,求证:对任意正整数n,都有成立.
2014年长沙市高考模拟试卷
数学(理科)参考答案及评分标准
三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
因此f (x)的值域为. ……12分
18.(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ)因为,∥,所以平面.
故以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则相关各点的坐标分别是,,,,
, .
所以,
因为平面的一个法向量为,
所以,
又因为平面,所以平面. ……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,.
设是平面的一个法向量,由 得
19.(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ)由已知得,张三中奖的概率为,李四中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.
记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A,
则事件A的对立事件为“X=5”,
因为P(X=5)=×,所以P (A)=1-P(X=5)=1-×=,所以 .……6分
(Ⅱ)设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,
则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),
选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).
由已知可得,X1~B,X2~B,
所以E(X1)=2×=,E(X2)=2×,
从而E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=6.
……12分
20.(本小题满分13分)
【解析】(Ⅰ)由题设:投放的药剂质量为,
渔场的水质达到有效净化
或
或,即:,
所以如果投放的药剂质量为,自来水达到有效净化一共可持续8天 .………6分
21.(本小题满分13分)
【解析】(Ⅰ)设, ().
易知斜率存在,设为,则方程为.
由得, …………… ①
由直线与抛物线相切,知.
于是,,方程为.
同理,方程为.
联立、方程可得点坐标为 ,
∵ ,方程为,
过抛物线的焦点.
∴ .
∴ .
设(),,
由知,,当且仅当时等号成立.
∴ .
设,则.
∴ 时,;时,.在区间上为减函数;
在区间上为增函数.
∴ 时,取最小值.
∴ 当,,
即,时,面积取最小值. ………… 13分
22.(本小题满分13分)
【解析】(Ⅰ)
,
当时,由知或,
当时,则,时,,在上单调递减,
所以
当时,,时,,时,,
∴在处取得最大值,即
当
时,由(II)知
.
所以,对任意正整数,都有成立. ……13分
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