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- 2021-05-13 发布
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高考数学大题突破训练(一)
1、设的内角所对的边长分别为,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的最大值.
2、甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.
(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率;
(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;
(Ⅲ)设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数,求的分布列.
3、已知函数,.
(Ⅰ)讨论函数的单调区间;
(Ⅱ)设函数在区间内是减函数,求的取值范围.
4、四棱锥中,底面为矩形,侧面底面,,,.
C
D
E
A
B
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)设与平面所成的角为,求二面角的大小.
5、设椭圆过点,且着焦点为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上
6、设函数.数列满足,.
(Ⅰ)证明:函数在区间是增函数;
(Ⅱ)证明:;
(Ⅲ)设,整数.证明:.
高考数学大题突破训练(二)
1、在中,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设的面积,求的长.
2、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为,购买乙种商品的概率为,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的。
(Ⅰ)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
(Ⅱ)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
(Ⅲ)记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求的分布列及期望。
3、如图,正四棱柱中,,点在上且.
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小.
4、设函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)如果对任何,都有,求的取值范围.
5、已知菱形的顶点在椭圆上,对角线所在直线的斜率为1.
(Ⅰ)当直线过点时,求直线的方程;
(Ⅱ)当时,求菱形面积的最大值.
6、设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ)设,求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,,求的取值范围.
高考数学大题突破训练(三)
1、已知函数()的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数在区间上的取值范围.
2、为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为p,设为成活沙柳的株数,数学期望,标准差为。
(Ⅰ)求n,p的值并写出的分布列;
(Ⅱ)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率
3、已知函数,求导函数,并确定的单调区间.
4、如图,在三棱锥中,,,,.
A
C
B
P
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
5、如图、椭圆的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动,值有,求a的取值范围.
6、设数列的前项和为,已知
(Ⅰ)证明:当时,是等比数列;
(Ⅱ)求的通项公式
高考数学大题突破训练(四)
1、 求函数的最大值与最小值。
2、甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.
(Ⅰ)求随机变量ε分布列和数学期望;
(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).
3、如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,, , ,为的中点,为的中点
(Ⅰ)证明:直线;
(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。
4、已知是函数的一个极值点。
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围。
5、设,椭圆方程为,抛物线方程为.如图4所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点.
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
A
y
x
O
B
G
F
F1
(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).
6、在数列中,,,且
().
(Ⅰ)设(),证明是等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)若是与的等差中项,求的值,并证明:对任意的,是与的等差中项.
高考数学大题突破训练(一)
1、解析:(Ⅰ)在中,由正弦定理及
可得
即,则;
(Ⅱ)由得
当且仅当时,等号成立,
故当时,的最大值为.
2、解:(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件,那么,
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是.
(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件,那么,
所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是.
(Ⅲ)随机变量可能取的值为1,2.事件“”是指有两人同时参加岗位服务,
则.
所以,的分布列是
1
2
3、解:(1)求导:
当时,,,在上递增
当,求得两根为
即在递增,递减,
递增
(2),且解得:
4、解:(1)取中点,连接交于点,
,,
又面面,面,
.
,
,,即,
面,.
(2)在面内过点作的垂线,垂足为.
,,面,,
则即为所求二面角的平面角.
,,,
,则,
,即二面角的大小.
5、解 (1)由题意:
,解得,所求椭圆方程为
(2)方法一
设点Q、A、B的坐标分别为。
由题设知均不为零,记,则且
又A,P,B,Q四点共线,从而
于是 ,
,
从而
,(1) ,(2)
又点A、B在椭圆C上,即
(1)+(2)×2并结合(3),(4)得
即点总在定直线上
方法二
设点,由题设,均不为零。
且
又 四点共线,可设,于是
(1)
(2)
由于在椭圆C上,将(1),(2)分别代入C的方程
整理得
(3)
(4)
(4)-(3) 得
即点总在定直线上
6、解析:
(Ⅰ)证明:,
故函数在区间(0,1)上是增函数;
(Ⅱ)证明:(用数学归纳法)(i)当n=1时,,,
由函数在区间是增函数,且函数在处连续,则在区间是增函数,,即成立;
(ⅱ)假设当时,成立,即
那么当时,由在区间是增函数,得
.而,则,
,也就是说当时,也成立;
根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数,恒成立.
(Ⅲ)证明:由.可得
1, 若存在某满足,则由⑵知:
2, 若对任意都有,则
,即成立.
高考数学大题突破训练(二)
1、解:(Ⅰ)由,得,由,得.
所以.
(Ⅱ)由得,
由(Ⅰ)知,故,又,
故,.所以.
2、【解】:记表示事件:进入商场的1位顾客购买甲种商品,
记表示事件:进入商场的1位顾客购买乙种商品,
记表示事件:进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种,
记表示事件:进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种,
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ),故的分布列
所以
3、解法一:
依题设知,.
(Ⅰ)连结交于点,则.
由三垂线定理知,. 3分
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
F
H
G
在平面内,连结交于点,
由于,
故,,
与互余.
于是.
与平面内两条相交直线都垂直,
所以平面. 6分
(Ⅱ)作,垂足为,连结.由三垂线定理知,
故是二面角的平面角. 8分
,
,.
,.
又,.
.
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
y
x
z
所以二面角的大小为. 12分
解法二:
以为坐标原点,射线为轴的正半轴,
建立如图所示直角坐标系.
依题设,.
,
. 3分
(Ⅰ)因为,,
故,.
又,
所以平面. 6分
(Ⅱ)设向量是平面的法向量,则
,.
故,.
令,则,,. 9分
等于二面角的平面角,
.
所以二面角的大小为. 12分
4、解:(Ⅰ). 2分
当()时,,即;
当()时,,即.
因此在每一个区间()是增函数,
在每一个区间()是减函数. 6分
(Ⅱ)令,则
.故当时,.
又,所以当时,,即. 9分
当时,令,则.
故当时,.因此在上单调增加.
故当时,,即.
于是,当时,.
当时,有.
因此,的取值范围是. 12分
5、解:(Ⅰ)由题意得直线的方程为.
因为四边形为菱形,所以.
于是可设直线的方程为.由得.
因为在椭圆上,所以,解得.
设两点坐标分别为,
则,,,.
所以.所以的中点坐标为.
由四边形为菱形可知,点在直线上,
所以,解得.所以直线的方程为,即.
(Ⅱ)因为四边形为菱形,且,
所以.所以菱形的面积.
由(Ⅰ)可得,
所以.
所以当时,菱形的面积取得最大值.
6、解:
(Ⅰ)依题意,,即,
由此得. 4分
因此,所求通项公式为
,.① 6分
(Ⅱ)由①知,,于是,当时,
,
,
当时,
.
又.
综上,所求的的取值范围是. 12分
高考数学大题突破训练(三)
1、解:(Ⅰ)
.
因为函数的最小正周期为,且,
所以,解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
因为,
所以,
所以,
因此,即的取值范围为.
2、解:(1)由得,
从而
的分布列为
0
1
2
3
4
5
6
(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得
或
3、解:
.
令,得.
当,即时,的变化情况如下表:
0
当,即时,的变化情况如下表:
0
所以,当时,函数在上单调递减,在上单调递增,
在上单调递减.
当时,函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.
当,即时,,所以函数在上单调递减,在上单调递减.
A
C
B
D
P
4、解法一:
(Ⅰ)取中点,连结.
,.,
.,平面.
平面,.
(Ⅱ),,.
又,A
C
B
E
P
.
又,即,且,
平面.取中点.连结.
,.是在平面内的射影,
.是二面角的平面角.
在中,,,,
A
C
B
D
P
H
.二面角的大小为.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,
平面平面.过作,垂足为.
平面平面,平面.
的长即为点到平面的距离.
由(Ⅰ)知,又,且,平面.
平面,.
在中,,,.
. 点到平面的距离为.
解法二:
(Ⅰ),,.又,
.,平面.平面,.
A
C
B
P
z
x
y
H
E
(Ⅱ)如图,以为原点建立空间直角坐标系.
则.
设.,
,.取中点,连结.
,,,.
是二面角的平面角.
,,,
.二面角的大小为.
(Ⅲ),
在平面内的射影为正的中心,且的长为点到平面的距离.
如(Ⅱ)建立空间直角坐标系.,
点的坐标为..点到平面的距离为.
5、解法一:(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点,
因为△MNF为正三角形, 所以,
即1= 因此,椭圆方程为
(Ⅱ)设 (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时,
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时,
设直线AB的方程为:整理得
所以因为恒有,所以AOB恒为钝角.
即恒成立.
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立,即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对mR恒成立.
当mR时,a2b2m2最小值为0,所以a2- a2b2+b2<0. a20,b>0,所以a0,解得a>或a<(舍去),即a>,
综合(i)(ii),a的取值范围为(,+).
解法二:
(Ⅰ)同解法一,
(Ⅱ)解:(i)当直线l垂直于x轴时,
x=1代入=1.
因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1,即>1,
解得a>或a<(舍去),即a>.
(ii)当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1), B(x2,y2).
设直线AB的方程为y=k(x-1)代入
得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,
故x1+x2=因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,
所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,得x1x2+ y1y2<0恒成立.
x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2
=(1+k2).
由题意得(a2- a2 b2+b2)k2- a2 b2<0对kR恒成立.①当a2- a2 b2+b2>0时,不合题意;
②当a2- a2 b2+b2=0时,a=;③当a2- a2 b2+b2<0时,a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0,a4- 3a2 +1>0,
解得a2>或a2>(舍去),a>,因此a.
综合(i)(ii),a的取值范围为(,+).
6、【解】:由题意知,且
两式相减得 即 ①
(Ⅰ)当时,由①知
于是
又,所以是首项为1,公比为2的等比数列。
(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)知,即
当时,由由①得
因此
得
高考数学大题突破训练(四)
1、【解】:
由于函数在中的最大值为
最小值为
故当时取得最大值,当时取得最小值
2、(Ⅰ)解法一:由题意知,ε的可能取值为0,1,2,3,且
所以ε的分布列为
ε
0
1
2
3
P
ε的数学期望为
Eε=
解法二:根据题设可知
因此ε的分布列为
(Ⅱ)解法一:用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件,所以AB=C∪D,且C、D互斥,又
由互斥事件的概率公式得
解法二:用Ak表示“甲队得k分”这一事件,用Bk表示“已队得k分”这一事件,k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件,故事P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).
=
3、方法一(综合法)
(1)取OB中点E,连接ME,NE
又
(2)
为异面直线与所成的角(或其补角)
作连接
,
所以 与所成角的大小为
(3)点A和点B到平面OCD的距离相等,连接OP,过点A作
于点Q,
又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
,
,所以点B到平面OCD的距离为
方法二(向量法)
作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系
,
(1)
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得
(2)设与所成的角为,
, 与所成角的大小为
(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,
由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为
4、【解】:(Ⅰ)因为 所以 因此
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
当时, 当时,
所以的单调增区间是 的单调减区间是
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,在内单调增加,在内单调减少,在上单调增加,且当或时,
所以的极大值为,极小值为
因此
所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点,当且仅当 因此,的取值范围为。
A
y
x
O
B
G
F
F1
5、【解析】(1)由得,
当得,G点的坐标为,,,过点G的切线方程为即,令得,点的坐标为,由椭圆方程得点的坐标为,
即,即椭圆和抛物线的方程分别为和;
(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个,
同理 以为直角的只有一个。
若以为直角,设点坐标为,、两点的坐标分别为和,
。
关于的二次方程有一大于零的解,有两解,
即以为直角的有两个,
因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
6、(Ⅰ)证明:由题设(),得
,即,.
又,,所以是首项为1,公比为的等比数列.
(Ⅱ)解法:由(Ⅰ)
, , …… ,,().
将以上各式相加,得().
所以当时,上式对显然成立.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ),当时,显然不是与的等差中项,故.
由可得,由得, ①
整理得,解得或(舍去).于是.
另一方面,, .
由①可得,.所以对任意的,是与的等差中项.
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