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  • 2021-05-13 发布

2020高考数学二轮复习 专题四 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题学案

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第3讲 圆锥曲线的综合问题 ‎[考情考向分析] 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体,以参数处理为核心,考查范围、最值问题,定点、定值问题,探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法,对计算能力也有较高要求,难度较大.‎ 热点一 范围、最值问题 圆锥曲线中的范围、最值问题,可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值),或者利用式子的几何意义求解.‎ 例1 (2018·浙江省稽阳联谊学校联考)已知离心率为的椭圆C:+=1(a>b>0)过点P,与坐标轴不平行的直线l与椭圆C交于A,B两点,其中M为A关于y轴的对称点,N(0,),O为坐标原点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)分别记△PAO,△PBO的面积为S1,S2,当M,N,B三点共线时,求S1·S2的最大值.‎ 解 (1)∵=,a2=b2+c2,∴a=2b.‎ 19‎ 把点P代入椭圆方程可得+=1,‎ 解得a=2,b=1,∴椭圆方程为+y2=1.‎ ‎(2)设点A坐标为(x1,y1),点B坐标为(x2,y2),‎ 则M为(-x1,y1),‎ 设直线l的方程为y=kx+b,‎ 联立椭圆方程可得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0,‎ ‎∴x1+x2=,x1x2=,Δ>0,‎ ‎∵M,N,B三点共线,‎ ‎∴kMN=kBN,‎ 即+=0,‎ 化简得8k(1-b)=0,‎ 解得b=或k=0(舍去).‎ 设A,B两点到直线OP的距离分别为d1,d2.‎ 直线OP的方程为x-2y=0,|OP|=,‎ ‎∴S1·S2=|(x1-2y1)(x2-2y2)|,‎ 化简可得 S1·S2=|(2k-)2x1x2+(2k-)(x1+x2)+2|‎ ‎=.‎ 又∈∪,‎ ‎∴当k=-时,S1·S2的最大值为.‎ 思维升华 解决范围问题的常用方法 ‎(1)数形结合法:利用待求量的几何意义,确定出极端位置后,利用数形结合法求解.‎ ‎(2)构建不等式法:利用已知或隐含的不等关系,构建以待求量为元的不等式求解.‎ ‎(3)构建函数法:先引入变量构建以待求量为因变量的函数,再求其值域.‎ 跟踪演练1 (2018·绍兴市柯桥区模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=kx-4(1,得42-17·+4>0,‎ 解得>4或<.‎ 因为0<<1,所以0<<,‎ 由+<7,得2-7·+1<0,‎ 解得<<,‎ 因此<<.‎ 即的取值范围为.‎ 热点二 定点、定值问题 19‎ ‎1.由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).‎ ‎2.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值.‎ 例2 (2018·北京)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.‎ ‎(1)求直线l的斜率的取值范围;‎ ‎(2)设O为原点,=λ,=μ,求证:+为定值.‎ ‎(1)解 因为抛物线y2=2px过点(1,2),‎ 所以2p=4,即p=2.‎ 故抛物线C的方程为y2=4x.‎ 由题意知,直线l的斜率存在且不为0.‎ 设直线l的方程为y=kx+1(k≠0),‎ 由得k2x2+(2k-4)x+1=0.‎ 依题意知Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,‎ 解得k<0或00)的焦点F,与抛物线Γ相交于A,B两点,且|AB|=8.‎ ‎(1)求抛物线Γ的方程;‎ ‎(2)过点P(12,8)的两条直线l1,l2分别交抛物线Γ于点C,D和E,F,线段CD和EF的中点分别为M,N.如果直线l1与l2的倾斜角互余,求证:直线MN经过一定点.‎ ‎(1)解 由题意可设直线AB的方程为y=x-,‎ 由消去y整理得x2-3px+=0,‎ Δ=9p2-4×=8p2>0,‎ 令A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=3p,‎ 由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=4p=8,‎ ‎∴p=2.‎ ‎∴抛物线的方程为y2=4x.‎ ‎(2)证明 设直线l1,l2的倾斜角分别为α,β,‎ 由题意知,α,β≠.‎ 直线l1的斜率为k,则k=tan α.‎ ‎∵直线l1与l2的倾斜角互余,‎ 19‎ ‎∴tan β=tan= ‎===,‎ ‎∴直线l2的斜率为.‎ ‎∴直线CD的方程为y-8=k(x-12),‎ 即y=k(x-12)+8.‎ 由 消去x整理得ky2-4y+32-48k=0,‎ 设C(xC,yC),D(xD,yD),‎ ‎∴yC+yD=,‎ ‎∴xC+xD=24+-,‎ ‎∴点M的坐标为.‎ 以代替点M坐标中的k,‎ 可得点N的坐标为(12+2k2-8k,2k),‎ ‎∴kMN==.‎ ‎∴直线MN的方程为 y-2k=[x-(12+2k2-8k)],‎ 即y=x-10,‎ 显然当x=10时,y=0,‎ 故直线MN经过定点.‎ 热点三 探索性问题 19‎ ‎1.解析几何中的探索性问题,从类型上看,主要是存在类型的相关题型,解决这类问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明确化.其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.‎ ‎2.反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.‎ 例3 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,上焦点F1到直线4x+3y+12=0的距离为3,椭圆C的离心率e=.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)椭圆E:+=1,设过点M(0,1),斜率存在且不为0的直线交椭圆E于A,B两点,试问y轴上是否存在点P,使得=λ?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.‎ 解 (1)由已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),‎ 设椭圆的焦点F1(0,c),‎ 由F1到直线4x+3y+12=0的距离为3,‎ 得=3,‎ 又椭圆C的离心率e=,所以=,‎ 又a2=b2+c2,求得a2=4,b2=3.‎ 椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)存在.理由如下:由(1)得椭圆E:+=1,‎ 设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),‎ 联立 消去y并整理得(4k2+1)x2+8kx-12=0,‎ Δ=(8k)2+4(4k2+1)×12=256k2+48>0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=-,x1x2=-.‎ 假设存在点P(0,t)满足条件,‎ 由于=λ,‎ 19‎ 所以PM平分∠APB.‎ 所以直线PA与直线PB的倾斜角互补,‎ 所以kPA+kPB=0.‎ 即+=0,‎ 即x2(y1-t)+x1(y2-t)=0.(*)‎ 将y1=kx1+1,y2=kx2+1代入(*)式,‎ 整理得2kx1x2+(1-t)(x1+x2)=0,‎ 所以-2k·+=0,‎ 整理得3k+k(1-t)=0,即k(4-t)=0,‎ 因为k≠0,所以t=4.‎ 所以存在点P(0,4),使得=λ.‎ 思维升华 解决探索性问题的注意事项 存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.‎ ‎(1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论.‎ ‎(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.‎ ‎(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.‎ 跟踪演练3 已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M(2,),且离心率为.‎ ‎(1)求a,b的值,并写出椭圆C的方程;‎ ‎(2)设A,B分别为椭圆C的左、右顶点,在椭圆C上有异于A,B的动点P,若直线PA,PB与直线l:x=m(m为常数)分别交于不同的两点M,N,则当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过定点?‎ 解 (1)由题知,+=1,=,a2=b2+c2,‎ 解得a=2,b=2,‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)由(1)知,A(-2,0),B(2,0),‎ 设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,‎ 则直线PA,PB的方程分别为y=k1(x+2),‎ y=k2(x-2),‎ 19‎ ‎∴M(m,k1(m+2)),N(m,k2(m-2)),‎ ‎∴根据射影定理知,以MN为直径的圆的方程为(x-m)2+[y-k1(m+2)][y-k2(m-2)]=0,‎ 即(x-m)2+y2-[k1(m+2)+k2(m-2)]y+k1k2·(m2-8)=0,‎ 设点P(x0,y0),则+=1,y=4,‎ ‎∴k1k2=·==-,‎ ‎∴(x-m)2+y2-[k1(m+2)+k2(m-2)]y-(m2-8)=0,‎ 由y=0,得(x-m)2-(m2-8)=0,‎ ‎∴(x-m)2=(m2-8).‎ 当m2-8<0,即-20.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1,‎ 所以|AB|=·|x1-x2|‎ ‎=· ‎=· ‎=.‎ 同理可得|DE|=4(1+k2).‎ 所以|AB|+|DE|=+4(1+k2)‎ ‎=4 ‎=8+4≥8+4×2=16,‎ 当且仅当k2=,即k=±1时,取得等号.‎ ‎2.(2018·浙江)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.‎ ‎(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;‎ ‎(2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.‎ ‎(1)证明 设P(x0,y0),A,B.‎ 因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程2=4·,‎ 即y2-2y0y+8x0-y=0的两个不同的实根.‎ 所以y1+y2=2y0,‎ 所以PM垂直于y轴.‎ 19‎ ‎(2)解 由(1)可知 所以|PM|=(y+y)-x0=y-3x0,‎ ‎|y1-y2|=2.‎ 所以△PAB的面积S△PAB=|PM|·|y1-y2|=(y-4x0).‎ 因为x+=1(-1≤x0<0),‎ 所以y-4x0=-4x-4x0+4∈[4,5],‎ 所以△PAB面积的取值范围是.‎ 押题预测 已知椭圆C1:+=1(a>0)与抛物线C2:y2=2ax相交于A,B两点,且两曲线的焦点F重合.‎ ‎(1)求C1,C2的方程;‎ ‎(2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M,Q两点,与抛物线分别交于P,N两点,是否存在斜率为k(k≠0)的直线l,使得=2?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.‎ 押题依据 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题,体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查.关注知识交汇,突出综合应用是高考的特色.‎ 解 (1)因为C1,C2的焦点重合,‎ 所以=,‎ 所以a2=4.‎ 又a>0,所以a=2.‎ 于是椭圆C1的方程为+=1,‎ 抛物线C2的方程为y2=4x.‎ ‎(2)假设存在直线l使得=2,‎ 当l⊥x轴时,|MQ|=3,|PN|=4,不符合题意,‎ ‎∴直线l的斜率存在,‎ ‎∴可设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4).‎ 由可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,‎ 则x1+x4=,x1x4=1,且Δ=16k2+16>0,‎ 所以|PN|=· 19‎ ‎=.‎ 由可得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,‎ 则x2+x3=,x2x3=,‎ 且Δ=144k2+144>0,‎ 所以|MQ|=·=.‎ 若=2,则=2×,‎ 解得k=±.‎ 故存在斜率为k=±的直线l,使得=2.‎ A组 专题通关 ‎1.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,且F2与抛物线y2=4x的焦点重合.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且AC⊥BD,求|AC|+|BD|的最小值.‎ 解 (1)抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),所以c=1,‎ 又因为e===,所以a=,‎ 所以b2=2,所以椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎(2)①当直线BD的斜率k存在且k≠0时,‎ 直线BD的方程为y=k(x+1),‎ 代入椭圆方程+=1,‎ 并化简得x2+6k2x+3k2-6=0.‎ Δ=36k4-4(3k2+2)(3k2-6)=48(k2+1)>0恒成立.‎ 设B(x1,y1),D(x2,y2),‎ 则x1+x2=-,x1x2=,‎ ‎|BD|=·|x1-x2|‎ 19‎ ‎==.‎ 由题意知AC的斜率为-,‎ 所以|AC|==.‎ ‎|AC|+|BD|=4 ‎=≥ ‎==.‎ 当且仅当3k2+2=2k2+3,即k=±1时,上式取等号,‎ 故|AC|+|BD|的最小值为.‎ ‎②当直线BD的斜率不存在或等于零时,‎ 可得|AC|+|BD|=>.‎ 综上,|AC|+|BD|的最小值为.‎ ‎2.(2018·诸暨市适应性考试)已知F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,过F的直线交抛物线C于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2=-1.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)过点B作x轴的垂线交直线AO(O为坐标原点)于点D,过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E,AE的中点为G.‎ ‎①求点D的纵坐标;‎ ‎②求的取值范围.‎ 解 (1)设AB:y=kx+,‎ 联立得x2=2p,‎ 即x2-2pkx-p2=0,‎ ‎∴x1x2=-p2=-1,∴p=1,‎ ‎∴抛物线C的方程为x2=2y.‎ 19‎ ‎(2)①直线OA的方程为y=x=x,‎ ‎∴D,即D,‎ ‎∴点D的纵坐标为-.‎ ‎②∵kDF=-,∴kAE=x2,‎ 即直线AE的方程为y-y1=x2(x-x1),‎ 联立得-x2x-y1-1=0,‎ ‎∴xE=2x2-x1,∴G(x2,2y2+y1+1).‎ ‎∴G,B,D三点共线,∴=,‎ ‎∵y1·y2=,‎ ‎∴=2-=2- ‎=2-∈(1,2),‎ ‎∴∈.‎ ‎3.(2018·全国Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).‎ ‎(1)证明:k<-;‎ ‎(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.‎ ‎(1)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则+=1,+=1.‎ 两式相减,并由=k,得+·k=0.‎ 由题设知=1,=m,于是k=-.①‎ 19‎ 由题设得0b>0)的上顶点为点D,右焦点为F2(1,0),延长DF2交椭圆C于点E,且满足|DF2|=3|F2E|.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)过点F2作与x轴不重合的直线l和椭圆C交于A,B两点,设椭圆C的左顶点为点H,且直线HA,HB分别与直线x=3交于M,N两点,记直线F‎2M,F2N的斜率分别为k1,k2,则k1与k2之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.‎ 解 (1)椭圆C的上顶点为D,右焦点F2(1,0),点E的坐标为(x,y).‎ ‎∵|DF2|=3|F2E|,可得=3,‎ 又=,=,‎ ‎∴代入+=1,‎ 可得+=1,‎ 19‎ 又a2-b2=1,解得a2=2,b2=1,‎ 即椭圆C的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),H,M,‎ N.‎ 由题意可设直线AB的方程为x=my+1,‎ 联立消去x,‎ 得y2+2my-1=0,‎ Δ=‎4m2‎+4(m2+2)>0恒成立.‎ ‎∴ 根据H,A,M三点共线,可得=,‎ ‎∴yM=.‎ 同理可得yN=,‎ ‎∴M,N的坐标分别为,,‎ ‎∴k1k2=·=yMyN ‎=·· ‎= ‎= ‎= ‎==.‎ ‎∴k1与k2之积为定值,且该定值是.‎ ‎6.已知平面上动点P到点F的距离与到直线x=的距离之比为,记动点P 19‎ 的轨迹为曲线E.‎ ‎(1)求曲线E的方程;‎ ‎(2)设M是曲线E上的动点,直线l的方程为mx+ny=1.‎ ‎①设直线l与圆x2+y2=1交于不同两点C,D,求|CD|的取值范围;‎ ‎②求与动直线l恒相切的定椭圆E′的方程,并探究:若M是曲线Γ:Ax2+By2=1上的动点,是否存在与直线l:mx+ny=1恒相切的定曲线Γ′?若存在,直接写出曲线Γ′的方程;若不存在,说明理由.‎ 解 (1)设P(x,y),由题意,得=.‎ 整理,得+y2=1,∴曲线E的方程为+y2=1.‎ ‎(2)①圆心到直线l的距离d=,‎ ‎∵直线与圆有两个不同交点C,D,‎ ‎∴|CD|2=4.‎ 又∵+n2=1(m≠0),‎ ‎∴|CD|2=4.‎ ‎∵|m|≤2,∴0