- 308.50 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第3讲 圆锥曲线的综合问题
[考情考向分析] 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体,以参数处理为核心,考查范围、最值问题,定点、定值问题,探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法,对计算能力也有较高要求,难度较大.
热点一 范围、最值问题
圆锥曲线中的范围、最值问题,可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值),或者利用式子的几何意义求解.
例1 (2018·浙江省稽阳联谊学校联考)已知离心率为的椭圆C:+=1(a>b>0)过点P,与坐标轴不平行的直线l与椭圆C交于A,B两点,其中M为A关于y轴的对称点,N(0,),O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)分别记△PAO,△PBO的面积为S1,S2,当M,N,B三点共线时,求S1·S2的最大值.
解 (1)∵=,a2=b2+c2,∴a=2b.
19
把点P代入椭圆方程可得+=1,
解得a=2,b=1,∴椭圆方程为+y2=1.
(2)设点A坐标为(x1,y1),点B坐标为(x2,y2),
则M为(-x1,y1),
设直线l的方程为y=kx+b,
联立椭圆方程可得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0,
∴x1+x2=,x1x2=,Δ>0,
∵M,N,B三点共线,
∴kMN=kBN,
即+=0,
化简得8k(1-b)=0,
解得b=或k=0(舍去).
设A,B两点到直线OP的距离分别为d1,d2.
直线OP的方程为x-2y=0,|OP|=,
∴S1·S2=|(x1-2y1)(x2-2y2)|,
化简可得
S1·S2=|(2k-)2x1x2+(2k-)(x1+x2)+2|
=.
又∈∪,
∴当k=-时,S1·S2的最大值为.
思维升华 解决范围问题的常用方法
(1)数形结合法:利用待求量的几何意义,确定出极端位置后,利用数形结合法求解.
(2)构建不等式法:利用已知或隐含的不等关系,构建以待求量为元的不等式求解.
(3)构建函数法:先引入变量构建以待求量为因变量的函数,再求其值域.
跟踪演练1 (2018·绍兴市柯桥区模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=kx-4(1,得42-17·+4>0,
解得>4或<.
因为0<<1,所以0<<,
由+<7,得2-7·+1<0,
解得<<,
因此<<.
即的取值范围为.
热点二 定点、定值问题
19
1.由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).
2.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值.
例2 (2018·北京)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围;
(2)设O为原点,=λ,=μ,求证:+为定值.
(1)解 因为抛物线y2=2px过点(1,2),
所以2p=4,即p=2.
故抛物线C的方程为y2=4x.
由题意知,直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y=kx+1(k≠0),
由得k2x2+(2k-4)x+1=0.
依题意知Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,
解得k<0或00)的焦点F,与抛物线Γ相交于A,B两点,且|AB|=8.
(1)求抛物线Γ的方程;
(2)过点P(12,8)的两条直线l1,l2分别交抛物线Γ于点C,D和E,F,线段CD和EF的中点分别为M,N.如果直线l1与l2的倾斜角互余,求证:直线MN经过一定点.
(1)解 由题意可设直线AB的方程为y=x-,
由消去y整理得x2-3px+=0,
Δ=9p2-4×=8p2>0,
令A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=3p,
由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=4p=8,
∴p=2.
∴抛物线的方程为y2=4x.
(2)证明 设直线l1,l2的倾斜角分别为α,β,
由题意知,α,β≠.
直线l1的斜率为k,则k=tan α.
∵直线l1与l2的倾斜角互余,
19
∴tan β=tan=
===,
∴直线l2的斜率为.
∴直线CD的方程为y-8=k(x-12),
即y=k(x-12)+8.
由
消去x整理得ky2-4y+32-48k=0,
设C(xC,yC),D(xD,yD),
∴yC+yD=,
∴xC+xD=24+-,
∴点M的坐标为.
以代替点M坐标中的k,
可得点N的坐标为(12+2k2-8k,2k),
∴kMN==.
∴直线MN的方程为
y-2k=[x-(12+2k2-8k)],
即y=x-10,
显然当x=10时,y=0,
故直线MN经过定点.
热点三 探索性问题
19
1.解析几何中的探索性问题,从类型上看,主要是存在类型的相关题型,解决这类问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明确化.其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.
2.反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.
例3 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,上焦点F1到直线4x+3y+12=0的距离为3,椭圆C的离心率e=.
(1)求椭圆C的方程;
(2)椭圆E:+=1,设过点M(0,1),斜率存在且不为0的直线交椭圆E于A,B两点,试问y轴上是否存在点P,使得=λ?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
解 (1)由已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),
设椭圆的焦点F1(0,c),
由F1到直线4x+3y+12=0的距离为3,
得=3,
又椭圆C的离心率e=,所以=,
又a2=b2+c2,求得a2=4,b2=3.
椭圆C的方程为+=1.
(2)存在.理由如下:由(1)得椭圆E:+=1,
设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),
联立
消去y并整理得(4k2+1)x2+8kx-12=0,
Δ=(8k)2+4(4k2+1)×12=256k2+48>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=-.
假设存在点P(0,t)满足条件,
由于=λ,
19
所以PM平分∠APB.
所以直线PA与直线PB的倾斜角互补,
所以kPA+kPB=0.
即+=0,
即x2(y1-t)+x1(y2-t)=0.(*)
将y1=kx1+1,y2=kx2+1代入(*)式,
整理得2kx1x2+(1-t)(x1+x2)=0,
所以-2k·+=0,
整理得3k+k(1-t)=0,即k(4-t)=0,
因为k≠0,所以t=4.
所以存在点P(0,4),使得=λ.
思维升华 解决探索性问题的注意事项
存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.
(1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论.
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.
(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.
跟踪演练3 已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M(2,),且离心率为.
(1)求a,b的值,并写出椭圆C的方程;
(2)设A,B分别为椭圆C的左、右顶点,在椭圆C上有异于A,B的动点P,若直线PA,PB与直线l:x=m(m为常数)分别交于不同的两点M,N,则当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过定点?
解 (1)由题知,+=1,=,a2=b2+c2,
解得a=2,b=2,
∴椭圆C的方程为+=1.
(2)由(1)知,A(-2,0),B(2,0),
设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,
则直线PA,PB的方程分别为y=k1(x+2),
y=k2(x-2),
19
∴M(m,k1(m+2)),N(m,k2(m-2)),
∴根据射影定理知,以MN为直径的圆的方程为(x-m)2+[y-k1(m+2)][y-k2(m-2)]=0,
即(x-m)2+y2-[k1(m+2)+k2(m-2)]y+k1k2·(m2-8)=0,
设点P(x0,y0),则+=1,y=4,
∴k1k2=·==-,
∴(x-m)2+y2-[k1(m+2)+k2(m-2)]y-(m2-8)=0,
由y=0,得(x-m)2-(m2-8)=0,
∴(x-m)2=(m2-8).
当m2-8<0,即-20.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1,
所以|AB|=·|x1-x2|
=·
=·
=.
同理可得|DE|=4(1+k2).
所以|AB|+|DE|=+4(1+k2)
=4
=8+4≥8+4×2=16,
当且仅当k2=,即k=±1时,取得等号.
2.(2018·浙江)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.
(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;
(2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.
(1)证明 设P(x0,y0),A,B.
因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程2=4·,
即y2-2y0y+8x0-y=0的两个不同的实根.
所以y1+y2=2y0,
所以PM垂直于y轴.
19
(2)解 由(1)可知
所以|PM|=(y+y)-x0=y-3x0,
|y1-y2|=2.
所以△PAB的面积S△PAB=|PM|·|y1-y2|=(y-4x0).
因为x+=1(-1≤x0<0),
所以y-4x0=-4x-4x0+4∈[4,5],
所以△PAB面积的取值范围是.
押题预测
已知椭圆C1:+=1(a>0)与抛物线C2:y2=2ax相交于A,B两点,且两曲线的焦点F重合.
(1)求C1,C2的方程;
(2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M,Q两点,与抛物线分别交于P,N两点,是否存在斜率为k(k≠0)的直线l,使得=2?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
押题依据 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题,体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查.关注知识交汇,突出综合应用是高考的特色.
解 (1)因为C1,C2的焦点重合,
所以=,
所以a2=4.
又a>0,所以a=2.
于是椭圆C1的方程为+=1,
抛物线C2的方程为y2=4x.
(2)假设存在直线l使得=2,
当l⊥x轴时,|MQ|=3,|PN|=4,不符合题意,
∴直线l的斜率存在,
∴可设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4).
由可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
则x1+x4=,x1x4=1,且Δ=16k2+16>0,
所以|PN|=·
19
=.
由可得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
则x2+x3=,x2x3=,
且Δ=144k2+144>0,
所以|MQ|=·=.
若=2,则=2×,
解得k=±.
故存在斜率为k=±的直线l,使得=2.
A组 专题通关
1.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,且F2与抛物线y2=4x的焦点重合.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且AC⊥BD,求|AC|+|BD|的最小值.
解 (1)抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),所以c=1,
又因为e===,所以a=,
所以b2=2,所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)①当直线BD的斜率k存在且k≠0时,
直线BD的方程为y=k(x+1),
代入椭圆方程+=1,
并化简得x2+6k2x+3k2-6=0.
Δ=36k4-4(3k2+2)(3k2-6)=48(k2+1)>0恒成立.
设B(x1,y1),D(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=,
|BD|=·|x1-x2|
19
==.
由题意知AC的斜率为-,
所以|AC|==.
|AC|+|BD|=4
=≥
==.
当且仅当3k2+2=2k2+3,即k=±1时,上式取等号,
故|AC|+|BD|的最小值为.
②当直线BD的斜率不存在或等于零时,
可得|AC|+|BD|=>.
综上,|AC|+|BD|的最小值为.
2.(2018·诸暨市适应性考试)已知F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,过F的直线交抛物线C于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2=-1.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点B作x轴的垂线交直线AO(O为坐标原点)于点D,过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E,AE的中点为G.
①求点D的纵坐标;
②求的取值范围.
解 (1)设AB:y=kx+,
联立得x2=2p,
即x2-2pkx-p2=0,
∴x1x2=-p2=-1,∴p=1,
∴抛物线C的方程为x2=2y.
19
(2)①直线OA的方程为y=x=x,
∴D,即D,
∴点D的纵坐标为-.
②∵kDF=-,∴kAE=x2,
即直线AE的方程为y-y1=x2(x-x1),
联立得-x2x-y1-1=0,
∴xE=2x2-x1,∴G(x2,2y2+y1+1).
∴G,B,D三点共线,∴=,
∵y1·y2=,
∴=2-=2-
=2-∈(1,2),
∴∈.
3.(2018·全国Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).
(1)证明:k<-;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.
(1)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),
则+=1,+=1.
两式相减,并由=k,得+·k=0.
由题设知=1,=m,于是k=-.①
19
由题设得0b>0)的上顶点为点D,右焦点为F2(1,0),延长DF2交椭圆C于点E,且满足|DF2|=3|F2E|.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点F2作与x轴不重合的直线l和椭圆C交于A,B两点,设椭圆C的左顶点为点H,且直线HA,HB分别与直线x=3交于M,N两点,记直线F2M,F2N的斜率分别为k1,k2,则k1与k2之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
解 (1)椭圆C的上顶点为D,右焦点F2(1,0),点E的坐标为(x,y).
∵|DF2|=3|F2E|,可得=3,
又=,=,
∴代入+=1,
可得+=1,
19
又a2-b2=1,解得a2=2,b2=1,
即椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),H,M,
N.
由题意可设直线AB的方程为x=my+1,
联立消去x,
得y2+2my-1=0,
Δ=4m2+4(m2+2)>0恒成立.
∴
根据H,A,M三点共线,可得=,
∴yM=.
同理可得yN=,
∴M,N的坐标分别为,,
∴k1k2=·=yMyN
=··
=
=
=
==.
∴k1与k2之积为定值,且该定值是.
6.已知平面上动点P到点F的距离与到直线x=的距离之比为,记动点P
19
的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设M是曲线E上的动点,直线l的方程为mx+ny=1.
①设直线l与圆x2+y2=1交于不同两点C,D,求|CD|的取值范围;
②求与动直线l恒相切的定椭圆E′的方程,并探究:若M是曲线Γ:Ax2+By2=1上的动点,是否存在与直线l:mx+ny=1恒相切的定曲线Γ′?若存在,直接写出曲线Γ′的方程;若不存在,说明理由.
解 (1)设P(x,y),由题意,得=.
整理,得+y2=1,∴曲线E的方程为+y2=1.
(2)①圆心到直线l的距离d=,
∵直线与圆有两个不同交点C,D,
∴|CD|2=4.
又∵+n2=1(m≠0),
∴|CD|2=4.
∵|m|≤2,∴0
相关文档
- 高考一轮复习高中数学立体几何知识2021-05-1310页
- 高中历史人民版选修三20世纪的战争2021-05-1322页
- 高中生物一轮复习蛋白质的相关高考2021-05-133页
- 2020版高中数学 第三章 概率 32021-05-134页
- 2018高考高中语文散文阅读技巧2021-05-139页
- 高考复习——高中历史知识点汇编更2021-05-13170页
- 2020版高中数学 第二章 算法初步 22021-05-133页
- 高中化学计算题总结高考真题2021-05-135页
- 高考备战冲刺指导高中数学必修15知2021-05-138页
- 2016江苏普通高中学业水平测试小高2021-05-1310页