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- 2021-05-13 发布
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2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分
一、选择题
．（2012年高考（新课标理））已知函数;则的图像大致为
．（2012年高考（浙江理））设a>0,b>0. （ ）
A．若,则a>b B．若,则ab D．若,则a0,bR,函数.
(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,
(ⅰ)函数的最大值为|2a-b|﹢a;
(ⅱ) +|2a-b|﹢a≥0;
(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.
．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)
设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求函数的极值.
．（2012年高考（陕西理））设函数
(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;
(2)设,若对任意,有,求的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.
．（2012年高考（山东理））已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设,其中为的导函数.证明:对任意.
．（2012年高考（辽宁理））设,曲线与
直线在(0,0)点相切.
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)证明:当时,.
．（2012年高考（江苏））若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.
已知是实数,1和是函数的两个极值点.
(1)求和的值;
(2)设函数的导函数,求的极值点;
(3)设,其中,求函数的零点个数.
．（2012年高考（湖南理））已知函数=,其中a≠0.
(1) 若对一切x∈R,≥1恒成立,求a的取值集合.
(2)在函数的图像上取定两点,,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.
．（2012年高考（湖北理））(Ⅰ)已知函数,其中为有理数,且. 求的
最小值;
(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:
设,为正有理数. 若,则;
(Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.
注:当为正有理数时,有求导公式.
．（2012年高考（广东理））(不等式、导数)设,集合,,.
(Ⅰ)求集合(用区间表示);
(Ⅱ)求函数在内的极值点.
．（2012年高考（福建理））已知函数.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线平行于轴,求函数的单调区间;
(Ⅱ)试确定的取值范围,使得曲线上存在唯一的点,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.
．（2012年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效)
设函数.
(1)讨论的单调性;
(2)设,求的取值范围.
．（2012年高考（北京理））已知函数(),.
(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;
(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.
．（2012年高考（安徽理））(本小题满分13分)设
(I)求在上的最小值;
(II)设曲线在点的切线方程为;求的值.
2012年高考真题理科数学解析汇编：导数参考答案
一、选择题
【解析】选
得:或均有 排除
【答案】A
【解析】若,必有.构造函数:,则恒成立,故有函数在x>0上单调递增,即a>b成立.其余选项用同样方法排除.
【答案】D
【解析】,由,函数为增;
,由,函数为减;
,由,函数为减;
,由,函数为增.
【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于0,则函数为增,当导函数小于0则函数递减.
解析:,令得,时,,为减函数;时,,为增函数,所以为的极小值点,选D.
【解析】若函数在R上为减函数,则有.函数为增函数,则有,所以,所以“函数在R上为减函数”是“函数为增函数”的充分不必要条件,选A.
考点分析:本题考察利用定积分求面积.
解析:根据图像可得: ,再由定积分的几何意义,可求得面积为.
【答案】C
【解析】,故,答案C
【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力.
答案A
【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用.要是函数图像与轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可.
【解析】因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而,当时取得极值
由或可得或,即.
二、填空题
N
x
y
O
D
M
1
5
P
图2
x
y
A
B
C
1
5
图1
[解析]如图1,,
所以,
易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MNO与OMP全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP的面积S=.
[评注]对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路.
【解析】由已知得,所以,所以.
【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用.
.
【点评】这里,许多学生容易把原函数写成,主要是把三角函数的导数公式记混而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面积等.
解析:.,所以切线方程为,即.
三、解答题
【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力.
(1)的定义域为
得：时，
（2）设
则在上恒成立（*）
①当时，与（*）矛盾
②当时，符合（*）
得：实数的最小值为(lfxlby)
（3）由（2）得：对任意的值恒成立
取：
当时， 得：（lb ylfx）
当时，
得：
【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行.
【解析】(1)
令得:
得:
在上单调递增
得:的解析式为
且单调递增区间为,单调递减区间为
(2)得
①当时,在上单调递增
时,与矛盾
②当时,
得:当时,
令;则
当时,
当时,的最大值为
【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力.
(Ⅰ)
(ⅰ).
当b≤0时,>0在0≤x≤1上恒成立,
此时的最大值为:=|2a-b|﹢a;
当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,
此时的最大值为:
=|2a-b|﹢a;
综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a;
(ⅱ) 要证+|2a-b|﹢a≥0,即证=﹣≤|2a-b|﹢a.
亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a,
∵,∴令.
当b≤0时,<0在0≤x≤1上恒成立,
此时的最大值为:=|2a-b|﹢a;
当b<0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,
≤|2a-b|﹢a;
综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a.
即+|2a-b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a,
且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大.
∵﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立,
∴|2a-b|﹢a≤1.
取b为纵轴,a为横轴.
则可行域为:和,目标函数为z=a+b.
作图如下:
由图易得:当目标函数为z=a+b过P(1,2)时,有,.
∴所求a+b的取值范围为:.
【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) .
【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力.
解:(1)因,故
由于曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即,
从而,解得
(2)由(1)知,
令,解得(因不在定义域内,舍去),
当时,,故在上为减函数;
当时,,故在上为增函数;
故在处取得极小值.
解析:(1),时,
∵,∴在内存在零点.
又当时,
∴ 在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点.
(2)当时,
对任意都有等价于在上最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:(ⅰ)当,即时,
,与题设矛盾
(ⅱ)当,即时,
恒成立
(ⅲ)当,即时,
恒成立.
综上可知,
注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下:
用表示中的较大者.当,即时,
恒成立
(3)证法一 设是在内的唯一零点
,,
于是有
又由(1)知在上是递增的,故,
所以,数列是递增数列.
证法二 设是在内的唯一零点
则的零点在内,故,
所以,数列是递增数列.
解析:由f(x) = 可得,而,即,解得;
(Ⅱ),令可得,
当时,;当时,.
于是在区间内为增函数;在内为减函数.
(Ⅲ),
(1)当时, ,.
(2)当时,要证.
只需证即可
设函数.
则,
则当时,
令解得,
当时;当时,
则当时,且,
则,于是可知当时成立
综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立.
另证1:设函数,则,
则当时,
于是当时,要证,
只需证即可,
设,,
令解得,
当时;当时,
则当时,
于是可知当时成立
综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立.
另证2:根据重要不等式当时,即,
于是不等式,
设,,
令解得,
当时;当时,
则当时,
于是可知当时成立.
【答案及解析】
【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用.本题容易忽略函数的定义域,根据条件曲线与直线在(0,0)点相切,求出的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明即可.从近几年的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练.本题属于中档题.
【答案】解:(1)由,得.
∵1和是函数的两个极值点,
∴ ,,解得.
(2)∵ 由(1)得, ,
∴,解得.
∵当时,;当时,,
∴是的极值点.
∵当或时,,∴ 不是的极值点.
∴的极值点是-2.
(3)令,则.
先讨论关于 的方程 根的情况:
当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2.
当时,∵, ,
∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根.
由(1)知.
① 当时, ,于是是单调增函数,从而.
此时在无实根.
② 当时.,于是是单调增函数.
又∵,,的图象不间断,
∴ 在(1 , 2 )内有唯一实根.
同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根.
③ 当时,,于是是单调减两数.
又∵, ,的图象不间断,
∴在(一1,1 )内有唯一实根.
因此,当时,有两个不同的根满足;当 时
有三个不同的根,满足.
现考虑函数的零点:
( i )当时,有两个根,满足.
而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点.
( 11 )当时,有三个不同的根,满足.
而有三个不同的根,故有9 个零点.
综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点.
【考点】函数的概念和性质,导数的应用.
【解析】(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可.
(2)由(1)得,,求出,令,求解讨论即可.
(3)比较复杂,先分和讨论关于 的方程 根的情况;再考虑函数的零点.
【解析】(Ⅰ)若,则对一切,,这与题设矛盾,又,
故.
而令
当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取最小值
于是对一切恒成立,当且仅当
. ①
令则
当时,单调递增;当时,单调递减.
故当时,取最大值.因此,当且仅当即时,①式成立.
综上所述,的取值集合为.
(Ⅱ)由题意知,
令则
令,则.
当时,单调递减;当时,单调递增.
故当,即
从而,又
所以
因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使单调递增,故这样的是唯一的,且.故当且仅当时, .
综上所述,存在使成立.且的取值范围为
.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,f(x) 1恒成立转化为,从而得出a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.
考点分析:本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学归纳法,对考生的归纳推理能力有较高要求.
解析:(Ⅰ),令,解得.
当时,,所以在内是减函数;
当 时,,所以在内是增函数.
故函数在处取得最小值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,有,即 ①
若,中有一个为0,则成立;
若,均不为0,又,可得,于是
在①中令,,可得,
即,亦即.
综上,对,,为正有理数且,总有. ②
(Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为:
设为非负实数,为正有理数.
若,则. ③
用数学归纳法证明如下:
(1)当时,,有,③成立.
(2)假设当时,③成立,即若为非负实数,为正有理数,
且,则.
当时,已知为非负实数,为正有理数,
且,此时,即,于是
=.
因,由归纳假设可得
,
从而.
又因,由②得
,
从而.
故当时,③成立.
由(1)(2)可知,对一切正整数,所推广的命题成立.
说明:(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对成立,则后续证明中不需讨论的情况.
解析:(Ⅰ)考虑不等式的解.
因为,且,所以可分以下三种情况:
①当时,,此时,.
②当时,,此时,.
③当时,,此时有两根,设为、,且,则,,于是
.
当时,,,所以,此时;当时,,所以,,此时.
综上所述,当时,;当时,;当时,;当时,.其中,.
(Ⅱ),令可得.因为,所以有两根和,且.
①当时,,此时在内有两根和,列表可得
1
+
0
-
0
+
递增
极小值
递减
极大值
递增
所以在内有极大值点1,极小值点.
②当时,,此时在内只有一根,列表可得
+
0
-
+
递增
极小值
递减
递增
所以在内只有极小值点,没有极大值点.
③当时,,此时(可用分析法证明),于是在
内只有一根,列表可得
+
0
-
+
递增
极小值
递减
递增
所以在内只有极小值点,没有极大值点.
④当时,,此时,于是在内恒大于0,在内没有极值点.
综上所述,当时,在内有极大值点1,极小值点;当时,在内只有极小值点,没有极大值点.当时,在内没有极值点.
【考点定位】本题主要考查函数的导数、导数的应用、二次函数的性质、函数的零点等基础知识,考查运算求解能力、抽象与概括的能力、推理与论证的能力,考查数形结合的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想、有限与无限的思想.
解:(1),,故
时,,时,,所以函数的增区间为,减区间为
(2)设切点,则切线
令,因为只有一个切点,所以函数就只有一个零点,因为
,若
,因此有唯一零点,由的任意性知不合题意
若,令,则
,存在一个零点,使曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.故的取值范围为.
【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一就是函数中有三角函数,要利用三角函数的有界性,求解单调区间.另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用.
解:.
(Ⅰ)因为,所以.
当时,,在上为单调递增函数;
当时,,在上为单调递减函数;
当时,由得,
由得或;
由得.
所以当时在和上为为单调递增函数;在上为单调递减函数.
(Ⅱ)因为
当时,恒成立
当时,
令,则
又令,则
则当时,,故,单调递减
当时,,故,单调递增
所以在时有最小值,而
,
综上可知时,,故在区间单调递
所以
故所求的取值范围为.
另解:由恒成立可得
令,则
当时,,当时,
又,所以,即
故当时,有
①当时,,,所以
②当时,
综上可知故所求的取值范围为.
【点评】试题分为两问,题词面比较简单,给出的函数比较新颖,因为里面还有三角函数,这一点对于同学们来说有点难度,不同于平时的练习题,相对来说做得比较少.但是解决的关键还是要看导数的符号,求解单调区间.第二问中,运用构造函数的思想,证明不等式,一直以来是个难点,那么这类问题的关键是找到合适的函数,运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决.
【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考查的切线、单调性、极值以及最值的问题都是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好的知识点.
解:(1)由为公共切点可得:,则,,
,则,,①
又,,,即,代入①式可得:.
(2),设
则,令,解得:,;
,,
原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增
①若,即时,最大值为;
②若,即时,最大值为
③若时,即时,最大值为.
综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为.
【解析】(I)设;则
①当时,在上是增函数
得:当时,的最小值为
②当时,
当且仅当时,的最小值为
(II)
由题意得:
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