2020高考数学一轮复习 函数系列之函数综合之定义域和值域学案 7页

函数综合之定义域与值域 ‎【知识网络】‎ ‎1．函数的定义域；‎ ‎2．函数的值域．‎ ‎【典型例题】‎ 例1．（1）函数的定义域是________‎ 提示：由解得．‎ ‎（2）已知=，则函数的定义域是_________‎ 提示：，∴ ，解得 ‎（3）函数＝的定义域为R，则的取值范围是________‎ 提示：∵恒成立， 显然不符，‎ ‎ ∴　，　 解得：‎ ‎（4）下列函数中,最小值是2的是__③_(正确的序号都填上).‎ ‎①；②；③；④．‎ ‎（5）若_____5____‎ 提示：设，则，其最大值为5．‎ 例2．（1）求下列函数的定义域：的定义域．‎ ‎（2）已知函数的定义域是，求函数的定义域．‎ ‎ 解：由函数解析式有意义，得 ‎ ‎ 故函数的定义域是． ‎ ‎(2）由 ．‎ ‎ ∵ 函数的定义域不可能为空集，∴ 必有，即 此时，，函数的定义域为（）；‎ ‎ ‎ 例3．求下列函数的值域： ‎ ‎（1）； （2）；‎ 7‎ ‎（3）； （4）；‎ 解：（1），‎ ‎∵ ， ∴ ∴‎ ‎∴所给函数的值域为[2，4]‎ ‎（2）令()，则x=．‎ ‎∴ ，当时，‎ ‎∴所给函数的值域为(－∞,1.‎ ‎（3）由已知得：…………（*）‎ ‎①当时，，代入（*）式，不成立，∴．‎ ‎②当时，则：‎ ‎∴ 所给函数的值域为．‎ ‎（4）‎ ‎∴函数定义域为[3,5]‎ 当时，，当时，‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴ 所给 例4．已知函数在区间[1，1]上的最小值为3，求实数的值．‎ 解：‎ ‎（1），解得：‎ ‎（2）当，即时，，解得（舍去）‎ ‎（3）当，即时，，解得：．‎ 综合（1）（2）（3）可得：a=±7．‎ ‎【课内练习】‎ 7‎ ‎1．函数的定义域为_________‎ 提示：由得：‎ ‎2．函数的值域为_________‎ 提示：y＝, ∵≠0, ∴ y≠‎ ‎3．若函数的定义域为，且，则函数的定义域是___________‎ 提示：由得：即 ‎ 4．函数的值域为_______‎ 提示：由得：，解得：．‎ ‎5．函数 的值域是 提示：作出函数的图象，得值域为．‎ ‎6．函数 ()的值域是 提示：，‎ 当且仅当即时取等号．又函数无最大值，故函数值域为．‎ ‎7．若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为、值域为{1,4}的“同族函数”共有 9 个.‎ 提示：设函数的定义域为D，其值域为{1,4}，D的所有情形的个数，即是同族函数的个数，D的所有情形为：，‎ 共9个，答案为9．‎ ‎8．求下列函数的定义域：‎ ‎（1）； （2） ．‎ ‎ 解：（1）由 , 得, 即：‎ ‎∴ 函数的定义域是(0, 2)∪(2, 3] ．‎ ‎（2）由，得： ，即：，∴ 函数的定义域为．‎ ‎9．求下列函数的值域： ‎ ‎（1）；（2）；（3）．‎ 解：（1）‎ ‎∵ ，∴ 当时，，当时，‎ 7‎ ‎∴ 所给函数的值域为．‎ ‎（2）由解得：，由得 两边平方后整理，得：，解得：，‎ 故所给函数的值域为．‎ ‎（3）由已知得 (*)‎ ‎① 若，代入（*）式，∴，‎ 此时原函数分母的值为0，∴y≠1；‎ ‎ ② 若y≠1，则 但当时，代入(*)得：，∴‎ ‎∴函数的值域为：．‎ 评注：本题中需要检验的原因是：函数可化简为．‎ ‎10．已知函数在区间上的最大值为4，求的值．‎ 解：‎ ‎（1）当，即时，在时函数有最大值，‎ ‎，解得，适合；‎ ‎（2）当，即时，在时函数有最大值， ‎ ‎，解得，适合．‎ 综上所述：或．‎ 作业1‎ ‎1．设I＝R，已知的定义域为F，函数的定义域为G，那么GU等于__________ ‎ 提示：由得：，∴　(－∞，1)(2，＋∞)，＝[1，2]，　‎ 7‎ 又由　得，∴ G＝(2，＋∞)　　∴ GU＝[1，＋∞]‎ ‎ 2．已知函数的定义域为[0，4]，求函数的定义域为__________‎ 提示：由题意有 解得 ，故此函数的定义域为[－2，1]‎ ‎3．若＞1, 则 的最小值是_________ ‎ 提示：．‎ 当且仅当，即时取等号，∴ 时，的最小值是为3．‎ ‎4．函数的值域为 提示：＝, ∴ ‎ ‎5．函数的值域为 提示：作出函数的图象，可以看出函数值域为 ‎6．求函数的值域 解：, 得 (y―2)x―(y―2)x＋y－3＝0 ‎ ‎ 当y≠2时, △＝(y―2)―4(y―2)(y―3)0, 解得2