2020高考数学三轮冲刺 专题 圆锥曲线中的综合问题练习（含解析） 16页

圆锥曲线中的综合问题 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1. 已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，其中O为坐标原点，则与面积之和的最小值是 ‎ A. 2 B. ‎3 C. D. ‎ ‎（正确答案）B 解：设直线AB的方程为：，点，，‎ 直线AB与x轴的交点为，‎ 由，根据韦达定理有，‎ ‎，，‎ 结合及，得，‎ 点A，B位于x轴的两侧，，故．‎ 不妨令点A在x轴上方，则，又，‎ ‎，‎ ‎．‎ 当且仅当，即时，取“”号，‎ 与面积之和的最小值是3，故选B．‎ 可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．‎ 求解本题时，应考虑以下几个要点：‎ ‎1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．‎ 16‎ ‎2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．‎ ‎3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．‎ ‎2. 已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：交椭圆E于A，B两点，若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，‎ ‎，．‎ 取，点M到直线l的距离不小于，，解得．‎ ‎．‎ 椭圆E的离心率的取值范围是．‎ 故选：A．‎ 如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，可得取，由点M到直线l的距离不小于，可得，解得再利用离心率计算公式即可得出．‎ 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎3. 已知点是椭圆C：的左顶点，过点P作圆O：的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则的值是 ‎ 16‎ A. 12 B. ‎13 C. 14 D. 15‎ ‎（正确答案）C 解：由题意，．‎ 过点P作圆O：的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故选C．‎ 由题意，过点P作圆O：的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，可得，即可求出的值．‎ 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎4. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分交于A点，，垂足为K，则的面积为 ‎ A. 4 B. C. D. 8‎ ‎（正确答案）C 解：由抛物线的定义可得，则 的斜率等于，的倾斜角等于，，‎ ‎，故为等边三角形．‎ 又焦点，AF的方程为，‎ 设，，‎ 由得，‎ ‎，故等边三角形的边长，‎ 的面积是，‎ 16‎ 故选：C．‎ 先判断为等边三角形，求出A的坐标，可求出等边的边长的值，的面积可求．‎ 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断为等边三角形是解题的关键．‎ ‎5. 已知抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于M，N两点，若为直角三角形，其中F为直角顶点，则 ‎ A. B. C. D. 6‎ ‎（正确答案）A ‎【分析】‎ 本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力．‎ ‎【解答】‎ 解：由题设知抛物线的准线为，代入双曲线方程解得 ，‎ 由双曲线的对称性知为等腰直角三角形，，‎ ‎，，即，‎ 故选A．‎ ‎6. 若抛物线上恒有关于直线对称的两点A，B，则p的取值范围是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：设，，‎ 因为点A和B在抛物线上，所以有 ‎ ‎ ‎ 16‎ 得，．‎ 整理得，‎ 因为A，B关于直线对称，所以，即．‎ 所以．‎ 设AB的中点为，则．‎ 又M在直线上，所以．‎ 则．‎ 因为M在抛物线内部，所以．‎ 即，解得．‎ 所以p的取值范围是 ‎ 故选C．‎ 设出A，B两点的坐标，因为A，B在抛物线上，把两点的坐标代入抛物线方程，作差后求出AB中点的纵坐标，又AB的中点在直线上，代入后求其横坐标，然后由AB中点在抛物线内部列不等式求得实数p的取值范围．‎ 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了点差法，是解决与弦中点有关问题的常用方法，解答的关键是由AB中点在抛物线内部得到关于p的不等式，是中档题．‎ ‎7. 已知点，A，B是椭圆上的动点，且，则的取值是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：，可得，‎ 16‎ 设，‎ 则，‎ 时，的最小值为；时，的最大值为9，‎ 故选：C．‎ 利用，可得，设，可得，即可求解数量积的取值范围．‎ 本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎8. 过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、若，则双曲线的离心率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：直线l：与渐近线：交于，‎ l与渐近线：交于，，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 故选C．‎ 16‎ 分别表示出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据求得a和b的关系，进而根据，求得a和c的关系，则离心率可得．‎ 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．‎ ‎9. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限内的公共点，若，则的离心率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：由题意，是双曲线与椭圆的公共焦点可知，，‎ ‎，，，‎ ‎，的离心率是．‎ 故选：C．‎ 利用椭圆以及双曲线的定义，转化求解椭圆的离心率即可．‎ 本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎10. 已知双曲线C：与抛物线的准线相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程为，点F是抛物线的焦点，且是正三角形，则双曲线C的方程为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B 解：抛物线的焦点为，其准线方程为，‎ 为正三角形，‎ 16‎ ‎，‎ 将代入双曲线可得，‎ 双曲线的一条渐近线方程是，，‎ ‎，，‎ 双曲线的方程为．‎ 故选：B．‎ 抛物线的焦点为，其准线方程为，利用为正三角形，可得A的坐标，代入双曲线的方程，可得a，b的方程，利用双曲线的一条渐近线方程是，可得a，b的方程，从而可得a，b的值，即可求出双曲线的方程．‎ 本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用抛物线、双曲线的性质是关键．‎ ‎11. 抛物线：的焦点F是双曲线：的右焦点，点P为曲线，的公共点，点M在抛物线的准线上，为以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：抛物线：的焦点F是双曲线：的右焦点，，，则，‎ P在双曲线上，满足：，‎ 解得，，‎ 所求双曲线的离心率为：．‎ 故选：C．‎ 16‎ 求出抛物线以及双曲线的焦点坐标，利用已知条件推出P的坐标，代入双曲线方程，然后求解a、c，即可求解双曲线的离心率即可．‎ 本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的综合应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎12. 已知P是双曲线上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则的值是 ‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎（正确答案）A 解：设，则，即，‎ 由双曲线的渐近线方程为，‎ 则由解得交点；‎ 由解得交点 ‎，，‎ 则．‎ 故选：A．‎ 设，则，即，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．‎ 本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ 16‎ ‎13. 设抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则 ______ ．‎ ‎（正确答案）‎ 解：抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，可得，‎ ‎，解得．‎ 故答案为：．‎ 求出抛物线的焦点坐标，利用已知条件求出b即可．‎ 本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎14. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值为______．‎ ‎（正确答案）6‎ 解：双曲线的方程，‎ ‎，，可得，‎ 因此双曲线的右焦点为，‎ 抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，‎ ‎，解之得．‎ 故答案为：6．‎ 根据双曲线的方程，可得，从而得到双曲线的右焦点为，再根据抛物线的简单几何性质，可得，解之即可得到实数p的值．‎ 本题给出抛物线以原点为顶点，双曲线的右焦点为焦点，求抛物线方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．‎ 16‎ ‎15. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F倾斜角为的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于______．‎ ‎（正确答案）3‎ 解：设，，则，，‎ ‎，即有，‎ 由直线l倾斜角为，‎ 则直线l的方程为：，‎ 即，联立抛物线方程，‎ 消去y并整理，得 ‎，‎ 则，可得，，‎ 则，‎ 故答案为：3．‎ 设出A、B坐标，利用焦半径公式求出，结合，求出A、B的坐标，然后求其比值．‎ 本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎16. 过双曲线右焦点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为______．‎ ‎（正确答案）‎ 解：由题意过双曲线，右焦点且斜率为 2 的直线，‎ 16‎ 与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率，‎ ‎，‎ ‎，‎ 双曲线离心率的取值范围为 故答案为：‎ 先确定双曲线的渐近线斜率小于2，结合离心率，即可求得双曲线离心率的取值范围．‎ 本题考查双曲线的离心率的范围，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用渐近线的斜率与离心率的关系，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共3小题，共30分）‎ ‎17. 已知曲线C：，直线l：为参数 Ⅰ写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．‎ Ⅱ过曲线C上任意一点P作与l夹角为的直线，交l于点A，求的最大值与最小值．‎ ‎（正确答案）解：Ⅰ对于曲线C：，可令、，‎ 故曲线C的参数方程为，为参数．‎ 对于直线l：，‎ 由得：，代入并整理得：；‎ Ⅱ设曲线C上任意一点．‎ P到直线l的距离为．‎ 则，其中为锐角．‎ 16‎ 当时，取得最大值，最大值为．‎ 当时，取得最小值，最小值为．‎ Ⅰ联想三角函数的平方关系可取、得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；‎ Ⅱ设曲线C上任意一点由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以 进一步得到，化积后由三角函数的范围求得的最大值与最小值．‎ 本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎18. 已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E与A，M两点，点N在E上，．‎ 当时，求的面积 ‎ 当时，证明：．‎ ‎（正确答案）解：由椭圆E的方程：知，其左顶点，‎ ‎，且，为等腰直角三角形，‎ ‎ ‎ 轴，设M的纵坐标为a，则，‎ 16‎ 点M在E上，，整理得：，或舍，‎ ‎；‎ 设直线的方程为：，直线的方程为：，由消去y得：，，，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，，‎ 整理得：，‎ 设，‎ 则，‎ 为的增函数，‎ 又，，‎ ‎．‎ 依题意知椭圆E的左顶点，由，且，可知为等腰直角三角形，设，利用点M在E上，可得，解得：，从而可求的面积；‎ 16‎ 设直线的方程为：，直线的方程为：，联立消去y，得，利用韦达定理及弦长公式可分别求得，，‎ 结合，可得，整理后，构造函数，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立．‎ 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解，考查构造函数思想与导数法判断函数单调性，再结合零点存在定理确定参数范围，是难题．‎ ‎19. 如图，已知四边形ABCD是椭圆的内接平行四边形，且BC，AD分别经过椭圆的焦点，．‎ Ⅰ若直线AC的方程为，求AC的长；‎ Ⅱ求平行四边形ABCD面积的最大值．‎ ‎（正确答案）本小题满分14分 Ⅰ解：由，消去y可得：，解得，分 所以A，C两点的坐标为和，分 16‎ 所以 分 Ⅱ解：当直线AD的斜率不存在时，‎ 此时易得，，，，‎ 所以平行四边形ABCD的面积为分 当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为，‎ 将其代入椭圆方程，整理得分 设点，，，‎ 则 ，分 连结，，‎ 则平行四边形ABCD的面积分 又 分 又，‎ 所以 ．‎ 综上，平行四边形ABCD面积的最大值是分 Ⅰ通过，求出x，得到A，C两点的坐标，利用距离公式求解即可．‎ Ⅱ当直线AD的斜率不存在时，求出三个点的坐标，然后求解平行四边形的面积．‎ 当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为，与椭圆方程联立，设点，，，利用韦达定理，连结，，表示出面积表达式，然后求解最值．‎ 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．‎ 16‎