高考大题之数列 20页

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  • 2021-05-13 发布

高考大题之数列

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‎21.(本小题满分14分)‎ 已知数列中,,,其前项和满足,令.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,求证:().‎ 解:(1)由题意知即 -------2分 ‎∴ -------3分 ‎----5分 检验知、时,结论也成立,故. -------7分 ‎(2)由于 ‎-------10分 故 ‎---------12分 ‎. ---------14分 ‎19. (本题满分12分)‎ 各项为正数的数列的前n项和为,且满足:‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)设函数求数列 ‎19、解:(1)由①得,当n≥2时,②;‎ 由①-②化简得:,又∵数列各项为正数,∴当n≥2时,,故数列成等差数列,公差为2,又,解得;‎ ‎……………………………………5分 ‎(2)由分段函数 可以得到:‎ ‎;‎ ‎…………………………7分 当n≥3,时,,‎ ‎19、(本小题满分14分) 已知等差数列的公差大于,且、是方程的两根.数列的前项和为,满足 ‎ ‎(Ⅰ) 求数列,的通项公式;‎ ‎(Ⅱ) 设数列的前项和为,记.若为数列中的最大项,求实数的取值范围.‎ ‎)解:(Ⅰ)由+=12,=27,且>0,所以=3,=9,‎ 从而, (3分)‎ 在已知中,令,得 当时,,,两式相减得,,‎ ‎, (6分)‎ ‎(Ⅱ)‎ 则 (8分)‎ 当时,‎ ‎ (11分)‎ 有时,‎ 时,‎ 则有 ‎ ‎19.(本小题满分14分)已知数列满足,.‎ ‎(Ⅰ)试判断数列是否为等比数列,并说明理由;‎ ‎(Ⅱ)设,数列的前项和为.求证:对任意的,‎ ‎.‎ 解:(1),‎ ‎.又,‎ 故是以3为首项,公比为-2的等比数列. ………7分 ‎(2)由(1)得.‎ 所以,,‎ ‎.‎ 所以. ‎ ‎19.(本题满分14分)数列中,且满足N*).‎ ‎(I)求证:数列为等差数列,并求通项公式;‎ ‎(II)数列满足,N*),问从第几项开始有.‎ ‎19.(本题满分14分)已知数列{}的前n项和为,满足 ‎ (1)证明:数列{+ 2}是等比数列.并求数列{}的通项公式;‎ ‎ (2)若数列{}满足,设是数列的前n项和.求证:.‎ ‎(19)(本题满分14分) 已知数列的首项,,‎ ‎ (1)若,求证是等比数列并求出的通项公式;‎ ‎ (2)若对一切都成立,求的取值范围。‎ ‎(1) 由题意知,, ,‎ ‎, ……………………………… 4分 所以数列是首项为,公比为的等比数列;……………5分 ‎ , ……………………8分 ‎(2)由(1)知, ……………10分 由知,故得 ……………11分 ‎ 即 得,又,则 ‎19.(本题满分14分)已知数列,满足:,当时,;对于任意的正整数,.设的前项和为.‎ ‎(Ⅰ)计算,并求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求满足的的集合.‎ ‎(Ⅰ)在中,取,得,又,,故同样取 可得……………………分 由及两式相减可得:,所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列,公差为,而,故是公差为的等差数列,……………………分 注:猜想而未能证明的扣分;用数学归纳法证明不扣分.‎ ‎(Ⅱ)在中令得……………………分 又,与两式相减可得:,,即当时, ‎ 经检验,也符合该式,所以,的通项公式为………………9分 ‎.‎ 相减可得:‎ 利用等比数列求和公式并化简得:……………………11分 可见,,……………………12分 经计算,,注意到 的各项为正,故单调递增,所以满足的的集合为 ‎19.(本小题满分14分)已知正项数列的前项和为,且满足.‎ ‎(I) 求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设数列满足,且数列的前项和为,‎ 求证:数列为等差数列 解:(Ⅰ)由,,两式相减得 ‎ ‎,又由,可得, ‎ 根据,得, ‎ 所以;……………………………………………………………………………7分 ‎(Ⅱ),对数列进行错位相减法得到, ‎ 于是数列,就是数列显然就是一等差数列.‎ ‎(19)(本题满分14分) 已知等差数列的公差大于,且、是方程 的两根.数列的前项和为,满足 ‎ ‎(Ⅰ) 求数列,的通项公式;‎ ‎(Ⅱ) 设数列的前项和为,记.若为数列中的最大项,求实数的取值范围. ‎ ‎19.(本小题满分14分)设数列的前项和为,已知为常数,), .‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)是否存在正整数,使成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对;若不存在,说明理由.‎ 解:(Ⅰ)由题意,知即解之得 ……………2分 ‎,① 当时,,②‎ ‎①②得,, ………………………………………………………4分 又,所以,所以是首项为,公比为的等比数列,‎ 所以.………………………………………………………………………………7分 ‎(Ⅱ)由⑵得,,由,得 ‎,即,……………………………………10分 即,因为,所以,‎ 所以,且,‎ 因为,所以或或.……………………………………………………… 12分 当时,由得,,所以;‎ 当时,由得,,所以或;‎ 当时,由得,,所以或或,‎ 综上可知,存在符合条件的所有有序实数对为:‎ ‎.‎ ‎19.(本小题满分14分)已知是正项数列的前项和,().‎ ‎(1)求证:是等差数列;‎ ‎(2)若数列满足,,求数列的通项公式 ‎(1)‎ 是等差数列,公差为1;‎ ‎(2),‎ ‎,‎ 利用逐差累加得,而.‎ ‎19.(本题满分14分)已知等差数列中,首项,公差。‎ ‎ (1)若=1,,且成等比数列,求整数的值;‎ ‎ (2)求证:对任意正整数,都不成等差数列。‎ ‎19.(本题满分14分)已知为数列的前项的和,满足,其中为常数,且,‎ ‎(1)求通项 ‎(2)若,设问数列的最大项是它的第几项?‎ ‎20.(本题满分15分) 函数的定义域为R,数列满足(且).‎ ‎(Ⅰ)若数列是等差数列,,且(k为非零常数, 且),求k的值;‎ ‎(Ⅱ)若,,,数列的前n项和为,对于给定的正整数,如果的值与n无关,求k的值.‎ 解:(Ⅰ)当时,‎ 因为 ,,‎ 所以 . ‎ 因为数列是等差数列,所以 . ‎ 因为 , 所以. …6分 ‎ [来源:学§科§网]‎ 因为,‎ 所以是首项为,公差为的等差数列. ‎ 所以 .‎ 因为 ‎ ‎, ‎ 又因为的值是一个与n无关的量,‎ 所以 ,‎ 解得. ‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,(p – 1)Sn = p2 – an,n ∈N*,p > 0且p≠1,数列{bn}满足bn = 2logpan.‎ ‎ (Ⅰ)若p =,设数列的前n项和为Tn,求证:0 < Tn≤4;‎ ‎ (Ⅱ)是否存在自然数M,使得当n > M时,an > 1恒成立?若存在,求出相应的M;若不存在,请说明理由.‎ ‎(Ⅰ)解:由(p – 1)Sn = p2 – an (n∈N*) ①‎ ‎ 由(p – 1)Sn – 1 = p2 – an – 1 ②‎ ‎ ① – ②得(n≥2)‎ ‎ ∵an > 0 (n∈N*)‎ 又(p – 1)S1 = p2 – a1,∴a1 = p ‎{an}是以p为首项,为公比的等比数列 an = p bn = 2logpan = 2logpp2 – n ‎∴bn = 4 – 2n ………… 4分 ‎ 证明:由条件p =得an = 2n – 2‎ ‎ ∴Tn = ①‎ ‎ ②‎ ‎① – ②得 ‎= 4 – 2 ×[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎= 4 – 2 ×‎ ‎∴Tn =………… 8分 Tn – Tn – 1 =‎ 当n > 2时,Tn – Tn – 1< 0‎ 所以,当n > 2时,0 < Tn≤T3 = 3‎ 又T1 = T2 = 4,∴0 < Tn≤4.…………10分 ‎ (Ⅱ)解:若要使an > 1恒成立,则需分p > 1和0 < p < 1两种情况讨论 ‎ 当p > 1时,2 – n > 0,n < 2‎ ‎ 当0 < p < 1时,2 – n < 0,n > 2‎ ‎ ∴当0 < p < 1时,存在M = 2‎ ‎ 当n > M时,an > 1恒成立.‎ ‎19.(本题满分14分) 已知数列有,(常数),对任意的正整数,,并有满足.‎ ‎ (Ⅰ)求的值;‎ ‎ (Ⅱ)试确定数列是否是等差数列,若是,求出其通项公式,若不是,说明理由;‎ ‎ (Ⅲ)令,是数列的前项和,求证:.‎ 解:(I),即 ‎ (Ⅱ)‎ ‎ ∴是一个以为首项,为公差的等差数列。‎ ‎ (Ⅲ),‎ ‎,∴‎ ‎ ‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 数列的首项,前项和为,满足关系 ‎(,,3,4…)‎ ‎(I)设数列的公比为,作数列,使,.(,3,4…)求 ‎(II)求…的值 解:(1)证:,两式相减得,‎ 又,又当时,,‎ 即,得,即,‎ 为等比数列 由已知得,‎ 是以为首项,为公比的等比数列。‎ ‎(2)…‎ ‎ =……‎ ‎==‎ ‎19、(本题满分14分)(原创题)已知数列、满足:, , ‎ ‎(Ⅰ)求 (Ⅱ)求使成立的正整数的集合.‎ 解:(1)---------‎ ‎,------------------------ 0.70‎ ‎(2),由得 即-----------------------------------------‎ 当为奇数时,,即得-------‎ 当为偶数时,,即得-------‎ 所以正整数的集合为 ‎19、(改编)(本小题满分14分)Ks**5u 已知数列的前项和为,,若数列是公比为的等比数列. ‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,,求数列的前项和 解:(Ⅰ), , ……………3分 当时,,且 ,, ‎ 所以数列的通项公式为.…………………………4分 ‎ (Ⅱ) ……………3分 ‎ .‎ ‎20.【2011部分重点中学月考卷改编】(本小题满分14分)已知,数列满足,, ‎ ‎(I)求数列的通项公式;‎ ‎ (Ⅱ)求数列中最大项.‎ ‎(1)由题意:‎ 经化简变形得: ………3分高 ‎ ‎ ‎ ………5分高 变形得: ‎ 所以是以1为首项,为公比的等比数列。 ‎ 可求得: ………7分 ‎(2) 由(1)可求得 ‎ ………9分 得,‎ ‎ 得, ………12分 即 ,‎ 所以:n=7或n=8时最大, ‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 已知数列中,,,且.‎ ‎(1)设,是否存在实数,使数列为等比数列.若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎(1)方法1:假设存在实数,使数列为等比数列,‎ 则有. ①……………………………………1分 由,,且,得,.[来源:Z_xx_k.Com]‎ 所以,,,………………2分 所以,‎ 解得或.…………………………………………………………………………………3分 当时,,,且,‎ 有.………………………………………………4分 当时,,,且,‎ 有.…………………………………………5分 所以存在实数,使数列为等比数列.‎ 当时,数列为首项是、公比是的等比数列;‎ 当时,数列为首项是、公比是的等比数列.……………………………………6分 方法2:假设存在实数,使数列为等比数列,‎ 设,……………………………………………………………………………………1分 即,……………………………………………………2分 即.………………………………………………………………………3分 与已知比较,令………………………………………………………4分 解得或.…………………………………………………………………………………5分 所以存在实数,使数列为等比数列.‎ 当时,数列为首项是、公比是的等比数列;‎ 当时,数列为首项是、公比是的等比数列.……………………………………6分 ‎(2)解法1:由(1)知,……………………………………7分 当为偶数时,‎ ‎…………………………8分 ‎ .………………………10分 ‎ 当为奇数时,………………………………11分 ‎ .……………………………………………13分 故数列的前项和 ‎(19)(本小题满分14分)数列中,已知,且,‎ ‎(Ⅰ)若成等差数列,求实数的值;(Ⅱ)数列能为等比数列吗?若能,‎ 试求出满足的条件;若不能,请说明理由。‎ ‎(Ⅰ)为容易题,基本上每个同学都能解答。(Ⅱ)主要考查学生构造数列的能力和对等比数列概念的理解,稍难。本题估计平均分8分左右。‎ 解.(Ⅰ)……2分 因为,所以,得……4分 ‎(Ⅱ)因为,所以,‎ 得:,故是以为首项,-1为公比的等比数列,……8分 所以,得: ……10分 ‎………………12分 为等比数列为常数,易得当且仅当时,为常数 ‎19.(本小题满分12分) ‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎ (本小题满分12分) 已知数列满足,‎ ‎,,‎ 求数列的通项公式;‎ 解:由题意 ①‎ ‎ ②‎ 由②-①得,又 ‎∴,故数列从第二项开始为等比数列…………………………3分 将代入①式,‎ ‎∴时,‎ ‎∴数列的通项 ‎ …………………………6分 ‎(2) ∴‎ ‎ ∵假设存在任意三项 ‎①不防设当 ‎…………………………9分 ‎②假设存在成等差数列的三项中包含时 不妨设且 ‎∴‎ ‎(19) ( 本小题满分14分) 已知数列的前项和为,且. ‎ ‎(Ⅰ)求证:数列是等比数列,并求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,,求证:.‎ ‎(Ⅰ)证明:当时,,‎ 即 时, , ‎ 从而有时,. ‎ 又,得,故,‎ 故数列是等比数列; ‎ 则有,故.………………………..7分 ‎(Ⅱ) ‎ ‎,‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎19.(本小题满分14分) ‎ 已知函数(为常数,且),且数列是首项为4,公差为2的等差 数列. ‎ ‎ (1) 求证:数列是等比数列;‎ ‎ (2) 若,当时,求数列的前项和;‎ ‎(3) 若,问是否存在实数,使得中的每一项恒小于它后面的项?若存在,求出的 范围;若不存在,说明理由.‎ ‎(1) 证:由题意,即, …………1分 ‎∴,∴. …………2分 ‎∵常数且,∴为非零常数,‎ ‎∴数列是以为首项,为公比的等比数列. …………3分 ‎(2) 解:由(1)知,,‎ 当时,. …………4分 ‎∴, ① ‎ ‎ . ② …………5分 ‎②-①,得 ‎ ‎∴ . …………8分 ‎(3) 解:由(1)知,,要使对一切成立,‎ 即对一切成立. …………9分 ‎① 当时,,对一切恒成立; …………10分 ‎② 当时,,对一切恒成立,只需, 11分 ‎∵单调递增,∴当时,‎ ‎. …………12分 ‎∴,且, ∴. …………13分 综上所述,存在实数满足条件.‎