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- 2021-05-13 发布
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21.(本小题满分14分)
已知数列中,,,其前项和满足,令.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求证:().
解:(1)由题意知即 -------2分
∴ -------3分
----5分
检验知、时,结论也成立,故. -------7分
(2)由于
-------10分
故
---------12分
. ---------14分
19. (本题满分12分)
各项为正数的数列的前n项和为,且满足:
(1)求;
(2)设函数求数列
19、解:(1)由①得,当n≥2时,②;
由①-②化简得:,又∵数列各项为正数,∴当n≥2时,,故数列成等差数列,公差为2,又,解得;
……………………………………5分
(2)由分段函数 可以得到:
;
…………………………7分
当n≥3,时,,
19、(本小题满分14分) 已知等差数列的公差大于,且、是方程的两根.数列的前项和为,满足
(Ⅰ) 求数列,的通项公式;
(Ⅱ) 设数列的前项和为,记.若为数列中的最大项,求实数的取值范围.
)解:(Ⅰ)由+=12,=27,且>0,所以=3,=9,
从而, (3分)
在已知中,令,得
当时,,,两式相减得,,
, (6分)
(Ⅱ)
则 (8分)
当时,
(11分)
有时,
时,
则有
19.(本小题满分14分)已知数列满足,.
(Ⅰ)试判断数列是否为等比数列,并说明理由;
(Ⅱ)设,数列的前项和为.求证:对任意的,
.
解:(1),
.又,
故是以3为首项,公比为-2的等比数列. ………7分
(2)由(1)得.
所以,,
.
所以.
19.(本题满分14分)数列中,且满足N*).
(I)求证:数列为等差数列,并求通项公式;
(II)数列满足,N*),问从第几项开始有.
19.(本题满分14分)已知数列{}的前n项和为,满足
(1)证明:数列{+ 2}是等比数列.并求数列{}的通项公式;
(2)若数列{}满足,设是数列的前n项和.求证:.
(19)(本题满分14分) 已知数列的首项,,
(1)若,求证是等比数列并求出的通项公式;
(2)若对一切都成立,求的取值范围。
(1) 由题意知,, ,
, ……………………………… 4分
所以数列是首项为,公比为的等比数列;……………5分
, ……………………8分
(2)由(1)知, ……………10分
由知,故得 ……………11分
即 得,又,则
19.(本题满分14分)已知数列,满足:,当时,;对于任意的正整数,.设的前项和为.
(Ⅰ)计算,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)求满足的的集合.
(Ⅰ)在中,取,得,又,,故同样取
可得……………………分
由及两式相减可得:,所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列,公差为,而,故是公差为的等差数列,……………………分
注:猜想而未能证明的扣分;用数学归纳法证明不扣分.
(Ⅱ)在中令得……………………分
又,与两式相减可得:,,即当时,
经检验,也符合该式,所以,的通项公式为………………9分
.
相减可得:
利用等比数列求和公式并化简得:……………………11分
可见,,……………………12分
经计算,,注意到 的各项为正,故单调递增,所以满足的的集合为
19.(本小题满分14分)已知正项数列的前项和为,且满足.
(I) 求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列满足,且数列的前项和为,
求证:数列为等差数列
解:(Ⅰ)由,,两式相减得
,又由,可得,
根据,得,
所以;……………………………………………………………………………7分
(Ⅱ),对数列进行错位相减法得到,
于是数列,就是数列显然就是一等差数列.
(19)(本题满分14分) 已知等差数列的公差大于,且、是方程
的两根.数列的前项和为,满足
(Ⅰ) 求数列,的通项公式;
(Ⅱ) 设数列的前项和为,记.若为数列中的最大项,求实数的取值范围.
19.(本小题满分14分)设数列的前项和为,已知为常数,), .
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)是否存在正整数,使成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对;若不存在,说明理由.
解:(Ⅰ)由题意,知即解之得 ……………2分
,① 当时,,②
①②得,, ………………………………………………………4分
又,所以,所以是首项为,公比为的等比数列,
所以.………………………………………………………………………………7分
(Ⅱ)由⑵得,,由,得
,即,……………………………………10分
即,因为,所以,
所以,且,
因为,所以或或.……………………………………………………… 12分
当时,由得,,所以;
当时,由得,,所以或;
当时,由得,,所以或或,
综上可知,存在符合条件的所有有序实数对为:
.
19.(本小题满分14分)已知是正项数列的前项和,().
(1)求证:是等差数列;
(2)若数列满足,,求数列的通项公式
(1)
是等差数列,公差为1;
(2),
,
利用逐差累加得,而.
19.(本题满分14分)已知等差数列中,首项,公差。
(1)若=1,,且成等比数列,求整数的值;
(2)求证:对任意正整数,都不成等差数列。
19.(本题满分14分)已知为数列的前项的和,满足,其中为常数,且,
(1)求通项
(2)若,设问数列的最大项是它的第几项?
20.(本题满分15分) 函数的定义域为R,数列满足(且).
(Ⅰ)若数列是等差数列,,且(k为非零常数, 且),求k的值;
(Ⅱ)若,,,数列的前n项和为,对于给定的正整数,如果的值与n无关,求k的值.
解:(Ⅰ)当时,
因为 ,,
所以 .
因为数列是等差数列,所以 .
因为 , 所以. …6分
[来源:学§科§网]
因为,
所以是首项为,公差为的等差数列.
所以 .
因为
,
又因为的值是一个与n无关的量,
所以 ,
解得.
19.(本小题满分14分)
已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,(p – 1)Sn = p2 – an,n ∈N*,p > 0且p≠1,数列{bn}满足bn = 2logpan.
(Ⅰ)若p =,设数列的前n项和为Tn,求证:0 < Tn≤4;
(Ⅱ)是否存在自然数M,使得当n > M时,an > 1恒成立?若存在,求出相应的M;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)解:由(p – 1)Sn = p2 – an (n∈N*) ①
由(p – 1)Sn – 1 = p2 – an – 1 ②
① – ②得(n≥2)
∵an > 0 (n∈N*)
又(p – 1)S1 = p2 – a1,∴a1 = p
{an}是以p为首项,为公比的等比数列
an = p
bn = 2logpan = 2logpp2 – n
∴bn = 4 – 2n ………… 4分
证明:由条件p =得an = 2n – 2
∴Tn = ①
②
① – ②得
= 4 – 2 ×[来源:Z|xx|k.Com]
= 4 – 2 ×
∴Tn =………… 8分
Tn – Tn – 1 =
当n > 2时,Tn – Tn – 1< 0
所以,当n > 2时,0 < Tn≤T3 = 3
又T1 = T2 = 4,∴0 < Tn≤4.…………10分
(Ⅱ)解:若要使an > 1恒成立,则需分p > 1和0 < p < 1两种情况讨论
当p > 1时,2 – n > 0,n < 2
当0 < p < 1时,2 – n < 0,n > 2
∴当0 < p < 1时,存在M = 2
当n > M时,an > 1恒成立.
19.(本题满分14分) 已知数列有,(常数),对任意的正整数,,并有满足.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)试确定数列是否是等差数列,若是,求出其通项公式,若不是,说明理由;
(Ⅲ)令,是数列的前项和,求证:.
解:(I),即
(Ⅱ)
∴是一个以为首项,为公差的等差数列。
(Ⅲ),
,∴
19.(本小题满分14分)
数列的首项,前项和为,满足关系
(,,3,4…)
(I)设数列的公比为,作数列,使,.(,3,4…)求
(II)求…的值
解:(1)证:,两式相减得,
又,又当时,,
即,得,即,
为等比数列
由已知得,
是以为首项,为公比的等比数列。
(2)…
=……
==
19、(本题满分14分)(原创题)已知数列、满足:, ,
(Ⅰ)求 (Ⅱ)求使成立的正整数的集合.
解:(1)---------
,------------------------ 0.70
(2),由得
即-----------------------------------------
当为奇数时,,即得-------
当为偶数时,,即得-------
所以正整数的集合为
19、(改编)(本小题满分14分)Ks**5u
已知数列的前项和为,,若数列是公比为的等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,,求数列的前项和
解:(Ⅰ), , ……………3分
当时,,且 ,,
所以数列的通项公式为.…………………………4分
(Ⅱ) ……………3分
.
20.【2011部分重点中学月考卷改编】(本小题满分14分)已知,数列满足,,
(I)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列中最大项.
(1)由题意:
经化简变形得: ………3分高
………5分高
变形得:
所以是以1为首项,为公比的等比数列。
可求得: ………7分
(2) 由(1)可求得
………9分
得,
得, ………12分
即 ,
所以:n=7或n=8时最大,
19.(本小题满分14分)
已知数列中,,,且.
(1)设,是否存在实数,使数列为等比数列.若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;
(2)求数列的前项和.
(1)方法1:假设存在实数,使数列为等比数列,
则有. ①……………………………………1分
由,,且,得,.[来源:Z_xx_k.Com]
所以,,,………………2分
所以,
解得或.…………………………………………………………………………………3分
当时,,,且,
有.………………………………………………4分
当时,,,且,
有.…………………………………………5分
所以存在实数,使数列为等比数列.
当时,数列为首项是、公比是的等比数列;
当时,数列为首项是、公比是的等比数列.……………………………………6分
方法2:假设存在实数,使数列为等比数列,
设,……………………………………………………………………………………1分
即,……………………………………………………2分
即.………………………………………………………………………3分
与已知比较,令………………………………………………………4分
解得或.…………………………………………………………………………………5分
所以存在实数,使数列为等比数列.
当时,数列为首项是、公比是的等比数列;
当时,数列为首项是、公比是的等比数列.……………………………………6分
(2)解法1:由(1)知,……………………………………7分
当为偶数时,
…………………………8分
.………………………10分
当为奇数时,………………………………11分
.……………………………………………13分
故数列的前项和
(19)(本小题满分14分)数列中,已知,且,
(Ⅰ)若成等差数列,求实数的值;(Ⅱ)数列能为等比数列吗?若能,
试求出满足的条件;若不能,请说明理由。
(Ⅰ)为容易题,基本上每个同学都能解答。(Ⅱ)主要考查学生构造数列的能力和对等比数列概念的理解,稍难。本题估计平均分8分左右。
解.(Ⅰ)……2分
因为,所以,得……4分
(Ⅱ)因为,所以,
得:,故是以为首项,-1为公比的等比数列,……8分
所以,得: ……10分
………………12分
为等比数列为常数,易得当且仅当时,为常数
19.(本小题满分12分)
(1)求数列的通项公式;
(本小题满分12分) 已知数列满足,
,,
求数列的通项公式;
解:由题意 ①
②
由②-①得,又
∴,故数列从第二项开始为等比数列…………………………3分
将代入①式,
∴时,
∴数列的通项
…………………………6分
(2) ∴
∵假设存在任意三项
①不防设当
…………………………9分
②假设存在成等差数列的三项中包含时
不妨设且
∴
(19) ( 本小题满分14分) 已知数列的前项和为,且.
(Ⅰ)求证:数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,,求证:.
(Ⅰ)证明:当时,,
即 时, ,
从而有时,.
又,得,故,
故数列是等比数列;
则有,故.………………………..7分
(Ⅱ)
,
则
19.(本小题满分14分)
已知函数(为常数,且),且数列是首项为4,公差为2的等差
数列.
(1) 求证:数列是等比数列;
(2) 若,当时,求数列的前项和;
(3) 若,问是否存在实数,使得中的每一项恒小于它后面的项?若存在,求出的
范围;若不存在,说明理由.
(1) 证:由题意,即, …………1分
∴,∴. …………2分
∵常数且,∴为非零常数,
∴数列是以为首项,为公比的等比数列. …………3分
(2) 解:由(1)知,,
当时,. …………4分
∴, ①
. ② …………5分
②-①,得
∴ . …………8分
(3) 解:由(1)知,,要使对一切成立,
即对一切成立. …………9分
① 当时,,对一切恒成立; …………10分
② 当时,,对一切恒成立,只需, 11分
∵单调递增,∴当时,
. …………12分
∴,且, ∴. …………13分
综上所述,存在实数满足条件.
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