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- 2021-05-13 发布
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规范答题示例3 空间中的平行与垂直关系
典例3 (15分)如图,四棱锥P—ABCD的底面为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E,F,H分别为AB,PC,BC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:平面PAH⊥平面DEF.
审题路线图 (1)
―→
(2)―→
规 范 解 答·分 步 得 分
构 建 答 题 模 板
证明 (1)取PD的中点M,连接FM,AM.
∵在△PCD中,F,M分别为PC,PD的中点,
∴FM∥CD且FM=CD.
∵在正方形ABCD中,AE∥CD且AE=CD,
∴AE∥FM且AE=FM,
∴四边形AEFM为平行四边形,
∴AM∥EF,4分
∵EF⊄平面PAD,AM⊂平面PAD,
第一步
找线线:通过三角形或四边形的中位线、平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直.
第二步
找线面:通过线线垂直或平行,利用判定定理,找线面垂直或平行;也可由面面关系的性质找线面垂直或平行.
第三步
3
∴EF∥平面PAD.6分
(2)∵侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,
侧面PAD∩底面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,
∴PA⊥底面ABCD,8分
∵DE⊂底面ABCD,∴DE⊥PA.
∵E,H分别为正方形ABCD边AB,BC的中点,
∴Rt△ABH≌Rt△DAE,
则∠BAH=∠ADE,∴∠BAH+∠AED=90°,
∴DE⊥AH,11分
∵PA⊂平面PAH,AH⊂平面PAH,PA∩AH=A,
∴DE⊥平面PAH,
∵DE⊂平面EFD,∴平面PAH⊥平面DEF.15分
找面面:通过面面关系的判定定理,寻找面面垂直或平行.
第四步
写步骤:严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.
评分细则 (1)第(1)问证出AE∥FM且AE=FM给2分;通过AM∥EF证线面平行时,缺1个条件扣1分;利用面面平行证明EF∥平面PAD同样给分;
(2)第(2)问证明PA⊥底面ABCD时缺少条件扣1分;证明DE⊥AH时只要指明E,H分别为正方形边AB,BC的中点得DE⊥AH不扣分;证明DE⊥平面PAH只要写出DE⊥AH,DE⊥PA,缺少条件不扣分.
跟踪演练3 (2018·全国Ⅰ)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.
(1)证明 由已知可得,∠BAC=90°,即BA⊥AC.
又BA⊥AD,AD∩AC=A,AD,AC⊂平面ACD,
所以AB⊥平面ACD.
又AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)解 由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3.
又BP=DQ=DA,所以BP=2.
3
如图,过点Q作QE⊥AC,垂足为E,
则QE∥DC且QE=DC.
由已知及(1)可得,DC⊥平面ABC,
所以QE⊥平面ABC,QE=1.
因此,三棱锥Q-ABP的体积为
VQ-ABP=×S△ABP×QE
=××3×2sin 45°×1=1.
3
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