2020版高考数学二轮复习 专题六 统计与概率 专题对点练19 统计与统计案例 文 5页

专题对点练19　统计与统计案例 ‎1.我国是世界上严重缺水的国家,城市缺水问题较为突出,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准x(单位:吨),用水量不超过x的部分按平价收费,超过x的部分按议价收费.为了了解全市居民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了100名居民某年的月用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)求直方图中a的值;‎ ‎(2)已知该市有80万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;‎ ‎(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(单位:吨),估计x的值,并说明理由.‎ ‎2.为迎接即将举行的集体跳绳比赛,高一年级对甲、乙两个代表队各进行了6轮测试,测试成绩(单位:次/分钟)如下表:‎ 轮次 一 二 三 四 五 六 甲 ‎73‎ ‎66‎ ‎82‎ ‎72‎ ‎63‎ ‎76‎ 乙 ‎83‎ ‎75‎ ‎62‎ ‎69‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎(1)补全茎叶图,并指出乙队测试成绩的中位数和众数;‎ ‎(2)试用统计学中的平均数、方差知识对甲、乙两个代表队的测试成绩进行分析.‎ 5‎ ‎3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎(xi-)2‎ ‎(wi-‎)2‎ ‎(xi-)(yi-)‎ ‎(wi-‎)(yi-)‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1 469‎ ‎108.8‎ 表中wi=wi.‎ ‎(1)根据散点图判断y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)‎ ‎(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;‎ ‎(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:‎ ‎①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?‎ ‎②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?‎ 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为.‎ 5‎ ‎4.某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关,先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制),剔除平均分在30分以下的学生后,共有男生300名,女生200名.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,按性别分为两组,并将两组学生成绩分为6组,得到如下所示频数分布表.‎ 分数段 ‎[40,50)‎ ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100]‎ 男 ‎3‎ ‎9‎ ‎18‎ ‎15‎ ‎6‎ ‎9‎ 女 ‎6‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎2‎ ‎(1)估计男、女生各自的成绩平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表),从计算结果看,判断数学成绩与性别是否有关;‎ ‎(2)规定80分以上为优分(含80分),请你根据已知条件作出2×2列联表,并判断是否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“数学成绩与性别有关”.‎ 优　分 非优分 合　计 男生 女生 合计 ‎100‎ 附表及公式 P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2=,其中n=a+b+c+d.‎ 5‎ 专题对点练19答案 ‎1.解 (1)由频率分布直方图,可得(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0. 04)×0.5=1,解得a=0.30.‎ ‎(2)由频率分布直方图可知,100名居民每人月用水量不低于3吨的频率为(0.12+0.08+0.04)×0.5=0.12.‎ 由以上样本频率分布,可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800 000×0.12=96 000.‎ ‎(3)∵前6组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30)×0.5=0.88>0.85,‎ 而前5组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52)×0.5=0.73<0.85,‎ ‎∴2.5≤x<3.‎ 由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.‎ 因此,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.‎ ‎2.解 (1)补全茎叶图如下:‎ 乙队测试成绩的中位数为72,众数为75.‎ ‎(2)=72,‎ ‎[(63-72)2+(66-72)2+(72-72)2+(73-72)2+(76-72)2+(82-72)2]=39;‎ ‎=72,‎ ‎[(62-72)2+(68-72)2+(69-72)2+(75-72)2+(75-72)2+(83-72)2]=44.‎ 因为,所以甲、乙两队水平相当,但甲队发挥较稳定.‎ ‎3.解 (1)由散点图可以判断y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.‎ ‎(2)令w=,先建立y关于w的线性回归方程.‎ 因为=68,‎ ‎=563-68×6.8=100.6,‎ 所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为=100.6+68.‎ ‎(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68=576.6,‎ 年利润z的预报值=576.6×0.2-49=66.32.‎ ‎②根据 (2)的结果知,年利润z的预报值 ‎=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.‎ 所以当=6. 8,即x=46.24时,取得最大值.‎ 故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.‎ ‎4.解 (1)=45×0.05+55×0.15+65×0.3+75×0.25+85×0.1+95×0.15=71.5.‎ ‎=45×0.15+55×0.10+65×0.125+75×0.25+85×0.325+95×0.05=71.5.‎ 从男、女生各自的成绩平均分来看,并不能判断数学成绩与性别有关.‎ 5‎ ‎(2)由频数分布表可知,在抽取的100名学生中,“男生组”中的优分有15人,“女生组”中的优分有15人,据此可得2×2列联表如下:‎ 优　分 非优分 合　计 男生 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ 女生 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 可得K2=≈1.79.‎ ‎∵1.79<2.706,∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“数学成绩与性别有关”.‎ 5‎