2020版高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 专题突破练6 函数的单调性、极值点、极值、最值 文 7页

专题突破练6　函数的单调性、极值点、极值、最值 ‎1.已知函数f(x)=(k为常数,e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.‎ ‎(1)求k的值;‎ ‎(2)求f(x)的单调区间.‎ ‎2.(2018山东潍坊一模,文21节选)已知函数f(x)=aln x+x2.‎ ‎(1)若a=-2,判断f(x)在(1,+∞)上的单调性;‎ ‎(2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值;‎ ‎(3)略 ‎3.(2018山东师大附中一模,文21)已知函数f(x)=(x-a)ex(a∈R).‎ ‎(1)当a=2时,求函数f(x)在x=0处的切线方程;‎ ‎(2)求f(x)在区间[1,2]上的最小值.‎ 7‎ ‎4.(2018山西晋城一模,文21)已知函数f(x)=ax2+(a-1)x+(1‎-2a)ln x(a>0).‎ ‎(1)若x=2是函数的极值点,求a的值及函数f(x)的极值;‎ ‎(2)讨论函数的单调性.‎ ‎5.已知函数f(x)=ln x-,g(x)=ax+b.‎ ‎(1)若a=2,F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的单调区间;‎ ‎(2)若函数g(x)=ax+b是函数f(x)=ln x-图象的切线,求a+b的最小值.‎ ‎6.(2018福建厦门一模,文21)已知函数f(x)=xex-x2-x,a≤e,其中e为自然对数的底数.‎ ‎(1)当a=0,x>0时,证明f(x)≥ex2;‎ ‎(2)讨论函数f(x)极值点的个数.‎ 7‎ 参考答案 专题突破练6　函数的单调性、‎ 极值点、极值、最值 ‎1.解 (1)由题意得f'(x)=,又f'(1)==0,故k=1.‎ ‎(2)由(1)知,f'(x)=.‎ 设h(x)=-ln x-1(x>0),‎ 则h'(x)=-<0,‎ 即h(x)在(0,+∞)上是减函数.‎ 由h(1)=0知,当00,从而f'(x)>0;‎ 当x>1时,h(x)<0,从而f'(x)<0.‎ 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).‎ ‎2.解 (1)当a=-2时,f'(x)=2x-,‎ 由于x∈(1,+∞),故f'(x)>0,‎ ‎∴f(x)在(1,+∞)上单调递增.‎ ‎(2)f'(x)=2x+,当a≥0时,f'(x)≥0,f(x)在[1,e]上单调递增,‎ ‎∴f(x)min=f(1)=1.‎ 当a<0时,由f'(x)=0解得x=±(负值舍去),设x0=.‎ 若≤1,即a≥-2,也就是-2≤a<0时,x∈[1,e],f'(x)>0,f(x)单调递增,∴‎ 7‎ f(x)min=f(1)=1.‎ 若1<0),由已知f'(2)=‎2a+(a-1)+=‎2a-=0⇒a=,‎ 此时f(x)=x2-x+ln x,f'(x)=x-,‎ 当02时,f'(x)>0,f(x)是增函数,当10),‎ ‎①当≤0,即a≥,01时,f'(x)>0,‎ 所以f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增;‎ ‎②当0<<1,即1时,f'(x)>0,‎ ‎1,即0时,f'(x)>0,‎ ‎10,所以f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增;‎ 综上:①当00),‎ 令F'(x)>0,解得01,故F(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减.‎ ‎(2)设切点,函数f(x)=ln x-的导数为f'(x)=,即切线的斜率为,则a=,ln m-=ma+b,‎ 即有b=ln m--1,a+b=ln m--1,令=t>0,则a+b=-ln t-t+t2-1,‎ 令a+b=φ(t)=-ln t+t2-t-1,则φ'(t)=-+2t-1=,‎ 当t∈(0,1)时,φ'(t)<0,φ(t)在(0,1)上单调递减;‎ 当t∈(1,+∞)时,φ'(t)>0,φ(t)在(1,+∞)上单调递增.‎ 即有t=1时,φ(t)取得极小值,也为最小值.则a+b=φ(t)≥φ(1)=-1,故a+b的最小值为-1.‎ ‎6.解 (1)当a=0,x>0时,f(x)=xex,f(x)≥ex2,即xex-ex2≥0,‎ ‎∵x>0,只要证ex-ex≥0,记g(x)=ex-ex(x>0),则g'(x)=ex-e.‎ 当01时,g'(x)>0,g(x)单调递增.‎ 所以g(x)≥g(1)=0,即f(x)≥ex2,原不等式成立.‎ ‎(2)f'(x)=+x=(x+1)ex-ax(x+1)=(x+1)(ex-ax),‎ 记h(x)=ex-ax,h'(x)=ex-a.‎ ‎(ⅰ)当a<0时,h'(x)=ex-a>0,h(x)在R上单调递增,h(0)=1>0,h-1<0,‎ 所以存在唯一x0∈,h(x0)=0,且当xx0,h(x)>0,‎ ‎①若x0=-1,即a=-时,对任意x≠-1,f'(x)>0,此时f(x)在R上单调递增,无极值点.‎ 7‎ ‎②若x0<-1,即--1时,f'(x)>0.‎ 即f(x)在(-∞,x0),(-1,+∞)上单调递增;当x0x0时,f'(x)>0.‎ 即f(x)在(-∞,-1),(x0,+∞)上单调递增;‎ 当-1ex-ex≥0,从而h(x)>0,‎ 而对任意x<0,h(x)=ex-ax>ex>0;所以对任意x∈R,h(x)>0.‎ 此时令f'(x)<0,得x<-1;令f'(x)>0,得x>-1.‎ 所以f(x)在(-∞,-1)单调递减;在(-1,+∞)上单调递增;此时f(x)有一个极小值点-1,无极大值点.‎ ‎(ⅳ)当a=e时,由(1)可知,对任意x∈R,h(x)=ex-ax=ex-ex≥0,当且仅当x=1时取等号,此时令f'(x)<0,得x<-1;令f'(x)>0,得x>-1,所以f(x)在(-∞,-1)单调递减;在(-1,+∞)上单调递增;此时f(x)有一个极小值点-1,无极大值点.‎ 综上可得:当a<-或-