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  • 2021-05-13 发布

史上最难的全国高考理科数学试卷

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数学月刊七月号 创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 ‎ ‎编者说明 ‎1984年,是中国高考改革有创意的一年。就在这一年,数学命题组提出了高考“出活题,考基础,考能力”的命题指导思想。自1977年恢复高考以来,高考命题基本上是“模仿命题”,模仿课本上的例习题,模仿教参上的参考题,考场上出现了“解题有套”的现象,高校传出了“高分低能”的说法。‎ ‎1984年的数学试卷,创造了大批新题,即所谓活题。广大考生第一次见到这样的新题或活题,感到非常之难。当年,北京市的分数,人均只有17分,创下了新中国成立以来,数学高考难度之“最”。‎ ‎(这份试题共八道大题,满分120分 第九题是附加题,满分10分,不计入总分)‎ 一.(本题满分15分)本题共有5小题,每小题选对的得3分;不选,选错或多选得负1分 ‎1.数集X = {(2n+1)π,n是整数}与数集Y = {(4k1)π,k是整数}之间的关系是 ( C )‎ ‎(A)XY (B)XY (C)X=Y (D)X≠Y ‎2.如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么( C )‎ ‎(A)F=0,G≠0,E≠0. (B)E=0,F=0,G≠0.‎ ‎(C)G=0,F=0,E≠0. (D)G=0,E=0,F≠0.‎ ‎3.如果n是正整数,那么的值 ( B )‎ ‎(A)一定是零 (B)一定是偶数 ‎(C)是整数但不一定是偶数 (D)不一定是整数 ‎4.大于的充分条件是 ( A )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎5.如果θ是第二象限角,且满足那么 ( B )‎ ‎(A)是第一象限角 (B)是第三象限角 ‎ ‎(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角 (D)是第二象限角编者说明 数学试题选择题,同上一年,即1983年一样多,也是5道小题,但考生感到比上年难得多。有的考生拿到第1小题就不能动笔。‎ 首先是因为1984年对选择题的考题要求很严。第一次也是唯一一次提出“得负分”的评分要求。‎ 第二是选择题的设计,命题人第一次考虑到选择题“淘汰法”解题方法。比如第1小题,排除3个错误答案比选择1个正确答案要迅速得多。可是,在刚刚出现选择题(1983年第一次用选择题)的考场上,考生几乎没有这种解题思想。许多交白卷的考生,首先就被第1题挡住了“去路”。‎ 二.(本题满分24分)本题共6小题,每一个小题满分4分只要求直接写出结果)‎ ‎1.已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积 答:‎ ‎2.函数在什么区间上是增函数?‎ 答:x<-2.‎ ‎3.求方程的解集 答:‎ ‎4.求的展开式中的常数项 答:-20‎ ‎5.求的值 答:0‎ ‎6.要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算)‎ 答:‎ 编者说明 ‎1984年的第二大题,含6个小题,比1983年的2个小题多出了4个,从而使整个试卷的题量比1983年多出了3道。题目很活,题量又大,多数考生在规定的时间不能完成解答,这也是1984年数学得分很低的原因之一。‎ 三.(本题满分12分)本题只要求画出图形 ‎1.设画出函数y=H(x-1)的图象 ‎2.画出极坐标方程的曲线 解(1) (2)‎ ‎1. 2.‎ 解:‎ 编者说明 ‎1984年的第三大题,是1983年第二大题的发展。虽然仍为作图题,但比1983年的考题难得多。1983年的题设式子是简单式子,看式便可作图;而1984年的题设式子是“复杂式子”,需要首先将式子变形化简,从而增加了试题难度。‎ 四.(本题满分12分)‎ 已知三个平面两两相交,有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行 证:设三个平面为α,β,γ,且 从而c与b或交于一点或互相平行 ‎1.若c与b交于一点,设 ‎,∴所以,b,c交于一点(即P点)‎ ‎2.若c∥b,则由所以,b,c互相平行 编者说明 ‎1984年的第四大题,考查立体几何内容。题目从表面看去,似乎不难。然而,由于命题人故意没有给“题图”,使得广大考生不知如何画图,从而陷入困境。‎ 五.(本题满分14分)‎ 设c,d,x为实数,c≠0,x为未知数讨论方程在什么情况下有解有解时求出它的解 解:原方程有解的充要条件是:‎ 由条件(4)知,所以再由c≠0,可得 ‎ 又由及x>0,知,即条件(2)包含在条件(1)及(4)中 再由条件(3)及,知因此,原条件可简化为以下的等价条件组:‎ 由条件(1)(6)知这个不等式仅在以下两种情形下成立:‎ ‎①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.‎ 再由条件(1)(5)及(6)可知 编者说明 ‎1984年的第五题,考查对数函数。具体考查对数方程的有解条件。然而设计“创新到了对数底数”,使得一直看惯了“底数只为单一字母”的考生不知所云。‎ 从而,当c>0,d<1且时,或者当c<0,d>1且时,原方程有解,它的解是 六.(本题满分16分)‎ ‎1.设,实系数一元二次方程有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是Z1,Z2求以Z1,Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长(7分)‎ ‎2.求经过定点M(1,2),以y轴为准线,离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程(9分)‎ 解:1.因为p,q为实数,,z1,z2为虚数,所以 由z1,z2为共轭复数,知Z1,Z2关于x轴对称,‎ 所以椭圆短轴在x轴上又由椭圆经过原点,‎ 可知原点为椭圆短轴的一端点 根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的 短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|,‎ 焦距离=‎2c=|z1-z2|=,‎ 长轴长=‎2a=‎ ‎2.因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行于x轴 设椭圆左顶点为A(x,y),因为椭圆的离心率为,‎ 所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的,‎ 从而左焦点F的坐标为 设d为点M到y轴的距离,则d=1‎ 根据及两点间距离公式,可得 ‎ 这就是所求的轨迹方程编者说明 ‎1984年的第六题,考查解析几何。第1小题将椭圆参数藏在复数方程的根中;第2小题求椭圆的轨迹方程,给出的“衍生轨迹”而不是“直接轨迹”。使得广大考生无模式可套。本题得分率也很低。事实上,当年考生,能解答到本卷第六大题的人很少。‎ 七.(本题满分15分)‎ 在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为,b,c,且c=10,‎ ‎,P为△ABC的内切圆上的动点求点P到顶点A,B,C的距离的平方和的最大值与最小值 解:由,运用正弦定理,有 因为A≠B,所以‎2A=π-2B,即A+B=由此可知△ABC是直角三角形 由c=10,‎ 如图,设△ABC的内切圆圆心为O',切点分别为D,E,F,则 AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10,所以内切圆半径r = EC = 2.‎ 如图建立坐标系,则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4‎ 设圆上动点P的坐标为(x,y),则 因为P点在内切圆上,所以,‎ 于是S最大值=88-0=88,S最小值=88-16=72‎ 解二:同解一,设内切圆的参数方程为 从而 因为,所以 S最大值=80+8=88,‎ S最小值=80-8=72‎ 编者说明 ‎1984年的第七大题,已经进入后三大题的范畴,是一道典型的综合题。它是三角、解析几何和代数内容的交叉。由于考查的内容常规,本题的设计难度并不大,满分15分,比上一题第六题还少一分。但由于多数考生已被前面的低档、中档题所难倒,因此,大部分考生无缘与第七题见面,因而,从第七题开始,交白卷的甚多。‎ 八.(本题满分12分)‎ 设>2,给定数列{xn},其中x1=,求证:‎ ‎1.‎ ‎2.‎ ‎3.‎ ‎1.证:先证明xn>2(n=1,2,…)用数学归纳法 由条件>2及x1=知不等式当n=1时成立 假设不等式当n=k(k≥1)时成立 当n=k+1时,因为由条件及归纳假设知 再由归纳假设知不等式成立,所以不等式也成立 从而不等式xn>2对于所有的正整数n成立 ‎(归纳法的第二步也可这样证:‎ 所以不等式xn>2(n=1,2,…)成立)‎ 再证明由条件及xn>2(n=1,2,…)知 因此不等式也成立 ‎(也可这样证:对所有正整数n有 还可这样证:对所有正整数n有 所以)‎ ‎2.证一:用数学归纳法由条件x1=≤3知不等式当n=1时成立 假设不等式当n=k(k≥1)时成立 当n=k+1时,由条件及知 再由及归纳假设知,上面最后一个不等式一定成立,所以不等式也成立,‎ 从而不等式对所有的正整数n成立 证二:用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法:‎ 由条件知再由及归纳假设可得 ‎3.证:先证明若这是因为 然后用反证法若当时,有则由第1小题知 因此,由上面证明的结论及x1=可得 即,这与假设矛盾所以本小题的结论成立 编者说明 ‎1984年的第八大题,是本卷正卷的压轴题,是当年正卷上难度最大的题目。考查的内容是数列与不等式的综合。数列不是用通项公式给定,而是用递推式给定。递推式实为教材的延伸,使得绝大多数考生可望而不可及。90%以上的考生与此题无缘,当年在北京本题得满分的仅仅只有两人。‎ 本题的递推数列对以后的若干年影响很大,在全国高中数学界掀起了研究递推数列的热潮。‎ 九.(附加题,本题满分10分,不计入总分)‎ ‎⌒‎ 如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时,取弧AC的长为,直线PC与直线AO交于点M又知当AP=时,点P的速度为v 求这时点M的速度 解:作CD⊥AM,并设AP = x,AM = y,∠COD=θ 由假设,‎ AC的长为,半径OC=1,可知θ 考虑 ‎∵△APM∽△DCM,‎ 而 编者说明 这是1984年的附加题,在1983年中断一年以后。附加题的重现,是经过了一番讨论的,主要是北大、清华的命题人坚持用附加题选拔尖子学生。当然,这个目的并没有达到,因为考生们连正题都没有完成,所以基本上无人光顾这道附加题,使得此题成为虚设。‎ ‎1984年的数学试题创造了建国以来的难度之最。考后,不少的人(界内和界外)对试题提出了置疑,经过了长达半年的讨论,才基本上在全国统一了看法:难的原因是因为新而活,这个方向是非常正确的,必须坚持,不足之处就是要求急了一点。这种结论对从1985年以后的数学命题取到了良好的导向作用。‎ ‎(有资料表明八四年试题为历年来最难的一次)‎