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- 2021-05-13 发布
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2018年甘肃省张掖市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)若集合M={x|4<x<8},N={x|x2﹣6x<0},则M∩N=( )
A.{x|0<x<4} B.{x|6<x<8} C.{x|4<x<6} D.{x|4<x<8}
2.(5分)若(2﹣i)2=a+bi3(a,b∈R),则a+b=( )
A.7 B.﹣7 C.1 D.﹣1
3.(5分)如表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温(°C)的数据一览表.
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最高温
5
9
9
11
17
24
27
30
31
21
最低温
﹣12
﹣3
1
﹣2
7
17
19
23
25
10
已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,根据该一览表,则下列结论错误的是( )
A.最低温与最高温为正相关
B.每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加
C.月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月
D.1月至4月的月温差(最高温减最低温)相对于7月至10月,波动性更大
4.(5分)已知tan(﹣θ)=4cos(2π﹣θ),|θ|<,则tan2θ=( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
5.(5分)已知双曲线的实轴长为8,则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A. B. C. D.
6.(5分)如图所示的程序框图,运行程序后,输出的结果等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.(5分)若实数x,y满足约束条件,则z=4x﹣y的最大值为( )
A.3 B.﹣1 C.﹣4 D.12
8.(5分)设A,B是椭圆的两个焦点,点P是椭圆C与圆M:x2+y2=10的一个交点,则||PA|﹣|PB||=( )
A. B. C. D.
9.(5分)设w>0,函数的图象向右平移个单位后与原图象重合,则w的最小值是( )
A. B. C. D.
10.(5分)f(x)=的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
11.(5分)如图,网格纸上的小正方形的边长为,粗实线画出的某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为( )
A.52π B.45π C.41π D.34π
12.(5分)已知函数,若f(m)=g(n)成立,则n﹣m的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)已知向量,,且,则= .
14.(5分)若(1﹣3x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6,则= .
15.(5分)如图,E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1上的一点,且BD1∥平面B1CE,则异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为 .
16.(5分)在△ABC中,AC=3,CB=4,边AB的中点为D,则= .
三、解答题(本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(一)必考题:
17.(12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an﹣2,{bn}为等差数列,b3=a2,b2+b6=10.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{an(2bn﹣3)}的前n项和Tn.
18.(12分)“扶贫帮困”是中华民族的传统美德,某校为帮扶困难同学,采用如下方式进行一次募捐:在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个,红球三个,每位献爱心的参与这投币20元有一次摸奖机会,一次性从箱中摸球三个(摸完球后将球放回),若有一个红球,奖金10元,两个红球奖金20元,三个全为红球奖金100元.
(1)求献爱心参与者中奖的概率;
(2)若该次募捐有900为献爱心参与者,求此次募捐所得善款的数学期望.
19.(12分)如图,四边形ABCD是矩形,AB=3,BC=3,=2,PE⊥平面ABCD,PE=.
(1)证明:平面PAC⊥平面PBE;
(2)求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
20.(12分)设直线l的方程为x=m(y+2)+5,该直线交抛物线C:y2=4x于P,Q两个不同的点.
(1)若点A(5,﹣2)为线段PQ的中点,求直线l的方程;
(2)证明:以线段PQ为直径的圆M恒过点B(1,2).
21.(12分)已知函数f(x)=ax2﹣ex(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与y轴垂直,求y=f'(x)的最大值;
(2)若对任意0≤x1<x2都有f(x2)+x2(2﹣2ln2)<f(x1)+x1(2﹣2ln2),求a的取值范围.
22.(10分)已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8,曲线C2的极坐标方程为,曲线C1、C2相交于A、B两点.(p∈R)
(Ⅰ)求A、B两点的极坐标;
(Ⅱ)曲线C1与直线(t为参数)分别相交于M,N两点,求线段MN的长度.
23.已知函数f(x)=|x﹣a|﹣|x+3|,a∈R.
(1)当a=﹣1时,解不等式f(x)≤1;
(2)若x∈[0,3]时,f(x)≤4,求a的取值范围.
2018年甘肃省张掖市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)若集合M={x|4<x<8},N={x|x2﹣6x<0},则M∩N=( )
A.{x|0<x<4} B.{x|6<x<8} C.{x|4<x<6} D.{x|4<x<8}
【解答】解:∵集合M={x|4<x<8},
N={x|x2﹣6x<0}={x|0<x<6},
∴M∩N={x|4<x<6}.
故选:C.
2.(5分)若(2﹣i)2=a+bi3(a,b∈R),则a+b=( )
A.7 B.﹣7 C.1 D.﹣1
【解答】解:∵(2﹣i)2=3﹣4i=a+bi3=a﹣bi,
∴a=3,b=4.
∴a+b=7.
故选:A.
3.(5分)如表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温(°C)的数据一览表.
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最高温
5
9
9
11
17
24
27
30
31
21
最低温
﹣12
﹣3
1
﹣2
7
17
19
23
25
10
已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,根据该一览表,则下列结论错误的是( )
A.最低温与最高温为正相关
B.每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加
C.月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月
D.1月至4月的月温差(最高温减最低温)相对于7月至10月,波动性更大
【解答】解:根据题意,依次分析选项:
对于A,知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,由数据分析可得最低温与最高温为正相关,则A正确;
对于B,由表中数据,每月最高温与最低温的平均值依次为:﹣3.5,3,5,4.5,12,20.5,23,26.5,28,15.5,在前8个月不是逐月增加,则B错误;
对于C,由表中数据,月温差依次为:17,12,8,13,10,7,8,7,6,11;月温差的最大值出现在1月,C正确;
对于D,有C的结论,分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月,波动性更大,D正确;
故选:B.
4.(5分)已知tan(﹣θ)=4cos(2π﹣θ),|θ|<,则tan2θ=( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
【解答】解:∵tan(﹣θ)=4cos(2π﹣θ),
∴=4cosθ,
又∵|θ|<,cosθ≠0,
∴sin,cosθ==,tanθ==,
∴tan2θ===.
故选:B.
5.(5分)已知双曲线
的实轴长为8,则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A. B. C. D.
【解答】解:双曲线的实轴长为8,
可得:m2+12=16,解得m=2,m=﹣2(舍去).
所以,双曲线的渐近线方程为:.
则该双曲线的渐近线的斜率:.
故选:C.
6.(5分)如图所示的程序框图,运行程序后,输出的结果等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解答】解:模拟程序的运行,可得:
a=2,s=0,n=1,
s=2,a=,
满足条件s<3,执行循环体,n=2,s=2+=,a=,
满足条件s<3,执行循环体,n=3,s=+=,a=,
此时,不满足条件s<3,退出循环,输出n的值为3.
故选:B.
7.(5分)若实数x,y满足约束条件,则z=4x﹣y的最大值为( )
A.3 B.﹣1 C.﹣4 D.12
【解答】解:实数x,y满足约束条件,
表示的平面区域如图所示,
当直线z=4x﹣y过点A时,目标函数取得最大值,
由解得A(3,0),
在y轴上截距最小,此时z取得最大值:12.
故选:D.
8.(5分)设A,B是椭圆的两个焦点,点P是椭圆C与圆M:x2+y2=10的一个交点,则||PA|﹣|PB||=( )
A. B. C. D.
【解答】解:A,B是椭圆的两个焦点,可知:A(﹣,0)、B(,0),
圆M:x2+y2=10恰好经过AB两点,点P是椭圆C与圆M:x2+y2=10的一个交点,
可得PA⊥PB,
所以,
可得:2|PA||PB|=8,||PA|﹣|PB||2=32,
||PA|﹣|PB||=4.
故选:C.
9.(5分)设w>0,函数的图象向右平移个单位后与原图象重合,则w的最小值是( )
A. B. C. D.
【解答】解:∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合,
∴=,则ω=,
故选:A.
10.(5分)f(x)=的部分图象大致是( )
A. B. C. D.
【解答】解:∵f(﹣x)=f(x)∴函数f(x)为奇函数,排除A,
∵x∈(0,1)时,x>sinx,x2+x﹣2<0,故f(x)<0,故排除B;
当x→+∞时,f(x)→0,故排除C;
故选:D
11.(5分)如图,网格纸上的小正方形的边长为,粗实线画出的某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为( )
A.52π B.45π C.41π D.34π
【解答】解:由三视图可知:该几何体为一个四棱锥,底面ABCD是矩形,其中AB=4,AD=6,侧面PBC⊥底面垂ABCD.
设AC∩BD=O,则OA=OB=OC=OD=,OP=,
∴O该多面体外接球的球心,半径R=,∴该多面体外接球的表面积为S=4πR2=52π.
故选:A
12.(5分)已知函数,若f(m)=g(n)成立,则n﹣m的最小值为( )
A. B. C. D.
【解答】解:不妨设f(m)=g(n)=t,
∴e4m﹣1=+ln(2n)=t,(t>0)
∴4m﹣1=lnt,即m=(1+lnt),n=e,
故n﹣m=e﹣(1+lnt),(t>0)
令h(t)=e﹣(1+lnt),(t>0),
∴h′(t)=e﹣,易知h′(t)在(0,+∞)上是增函数,且h′()=0,
当t>时,h′(t)>0,
当0<t<时,h′(t)<0,
即当t=时,h(t)取得极小值同时也是最小值,
此时h()=﹣(1+ln)=,即n﹣m的最小值为;
故选:C.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)已知向量,,且,则= .
【解答】解:∵,∴=6﹣2m=0,
解得m=3.
∴=(6,﹣2)﹣2(1,3)=(4,8).
∴==4.
故答案为:.
14.(5分)若(1﹣3x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6,则= ﹣4 .
【解答】解:若(1﹣3x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6,
则(1﹣3x)6的通项公式为Tr+1=(﹣3x)r,r=0,1,2,…,6,
可得a2=9=135,
a3=﹣27=﹣540,
可得=﹣4.
故答案为:﹣4.
15.(5分)如图,E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1上的一点,且BD1∥平面B1CE,则异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为 .
【解答】解:连结BC1,交B1C于点O,连结OE,
∵E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1上的一点,
∴BCC1B1是正方形,∴O是BC1中点,
∵BD1∥平面B1CE,∴BD1∥OE,
∴E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1的中点,
以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,
则B(2,2,0),D1(0,0,2),C(0,2,0),E(0,1,2),
=(﹣2,﹣2,2),=(0,﹣1,2),
设异面直线BD1与CE所成成角为θ,
cosθ===.
∴异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为.
故答案为:.
16.(5分)在△ABC中,AC=3,CB=4,边AB的中点为D,则= .
【解答】解:△ABC中,AC=3,CB=4,边AB的中点为D,
则:S△ACD=S△BCD,
所以:=,
整理得:.
故答案为:.
三、解答题(本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(一)必考题:
17.(12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an﹣2,{bn}为等差数列,b3=a2,b2+b6=10.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{an(2bn﹣3)}的前n项和Tn.
【解答】解:(1)根据题意,等比数列{an}中Sn=2an﹣2,
当n=1时,有S1=2a1﹣2=a1,解可得a1=2,
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2an﹣2)﹣(2an﹣1﹣2),变形可得an=2an﹣1,
则等比数列{an}的a1=2,公比q=2,
则数列{an}的通项公式an=2×2n﹣1=2n,
对于{bn},b3=a2=4,b2+b6=2b4=10,即b4=5,
则其公差d=b4﹣b3=1,
则其通项公式bn=b3+(n﹣3)×d=n+1,
(2)由(1)的结论:an=2n,bn=n+1,
an(2bn﹣3)=(2n﹣1)•2n,
则有Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n﹣1)×2n,①
则有2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n﹣1)×2n+1,②
①﹣②可得:﹣Tn=2+2(22+23+…+2n)﹣(2n﹣1)×2n+1,
变形可得:Tn=(2n﹣3)•2n+1+6.
18.(12分)“扶贫帮困”是中华民族的传统美德,某校为帮扶困难同学,采用如下方式进行一次募捐:在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个,红球三个,每位献爱心的参与这投币20元有一次摸奖机会,一次性从箱中摸球三个(摸完球后将球放回),若有一个红球,奖金10元,两个红球奖金20元,三个全为红球奖金100元.
(1)求献爱心参与者中奖的概率;
(2)若该次募捐有900为献爱心参与者,求此次募捐所得善款的数学期望.
【解答】解:(1)设“献爱心参与者中奖”为事件A,
则献爱心参与者中奖的概率.
(2)设一个献爱心参与者参加活动,学校所得善款为X,则X=20,10,0,﹣80,
则,
,
,
,
∴X的分布列为:
X
20
10
0
﹣80
P
若只有一个参与者募捐,
学校所得善款的数学期望为元,
所以,此次募捐所得善款的数学期望为元.
19.(12分)如图,四边形ABCD是矩形,AB=3,BC=3,=2,PE⊥平面ABCD,PE=.
(1)证明:平面PAC⊥平面PBE;
(2)求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
【解答】(1)证明:连接BE交AC于F,
∵四边形ABCD是矩形,AB=,BC=1,,
∴CE=,则,
∵∠ABC=∠BCD=,
∴△ABC∽△BCE,则∠BEC=∠ACB,
∵∠BEC+∠ACE=∠ACB+∠ACE=,
∴AC⊥BE,
∵PE⊥平面ABCD,∴AC⊥PE,
∵PE∩BE=E,∴AC⊥平面PBE,
∵AC⊂平面PAC,
∴平面PAC⊥平面PBE;
(2)解:取PB中点G,连接FG,AG,CG,
∵PE⊥平面ABCD,∴PE⊥DC,
∵PE=,∴PC=3=BC,得CG⊥PB,
∵CG∩AC=C,∴PB⊥平面ACG,则AG⊥PB,
∴∠AGC是二面角A﹣PB﹣C的平面角,
∵AB∥CD,AB=CD,DE=2EC,
∴,
∵CE=,AC=6,∴CF=,AF=,
∵BC⊥CD,BC⊥PE,∴BC⊥平面PCD,
∴BC⊥PC,
∴PB=,则CG=,
∵FG⊥AC,∴FG=FC=,
在Rt△AFG和Rt△CFG中,求得tan∠AGF=3,tan∠CGF=1.
∴tan∠AGC=tan(∠AGF+∠CGF)=.
∴cos∠AGC=.
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣.
20.(12分)设直线l的方程为x=m(y+2)+5,该直线交抛物线C:y2=4x于P,Q两个不同的点.
(1)若点A(5,﹣2)为线段PQ的中点,求直线l的方程;
(2)证明:以线段PQ为直径的圆M恒过点B(1,2).
【解答】解:(1)联立方程组,消去x得y2﹣4my﹣4(2m+5)=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=﹣8m﹣20
因为A为线段PQ的中点,所以,解得m=﹣1,
所以直线l的方程为x+y﹣3=0.
(2)证明:因为,
,
所以,
即
所以,
因此BP⊥BQ,即以线段PQ为直径的圆恒过点B(1,2).
21.(12分)已知函数f(x)=ax2﹣ex(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与y轴垂直,求y=f'(x)的最大值;
(2)若对任意0≤x1<x2都有f(x2)+x2(2﹣2ln2)<f(x1)+x1(2﹣2ln2),求a的取值范围.
【解答】解:(1)由f'(x)=2ax﹣ex,得,,
令g(x)=f'(x)=ex﹣ex,则g'(x)=e﹣ex,
可知函数g(x)在(﹣∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以g'(x)max=g'(1)=0.
(2)由题意得可知函数h(x)=f(x)+x(2﹣2ln2)=ax2+x(2﹣ln2)﹣ex在[0,+∞)上单调递减,
从而h'(x)=2ax+(2﹣2ln2)﹣ex≤0在[0,+∞)上恒成立,
令F(x)=2ax+(2﹣2ln2)﹣ex,则F'(x)=2a﹣ex,
当时,F'(x)≤0,所以函数F(x)在[0,+∞)上单调递减,则F(x)max=F(0)=1﹣2ln2<0,
当时,F'(x)=2a﹣ex=0,得x=ln2a,所以函数F(x)在[0,ln2a)上单调递增,
在[ln2a,+∞)上单调递减,
则F(x)max=F(ln2a)=2alo2a+2﹣2ln2﹣2a≤0,
即2aln2a﹣2a≤2ln2﹣2,
通过求函数y=xlnx﹣x的导数可知它在[1,+∞)上单调递增,故,
综上,实数a的取值范围是(﹣∞,1].
22.(10分)已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8,曲线C2的极坐标方程为,曲线C1、C2相交于A、B两点.(p∈R)
(Ⅰ)求A、B两点的极坐标;
(Ⅱ)曲线C1与直线(t为参数)分别相交于M,N两点,求线段MN的长度.
【解答】解:(Ⅰ)由得:,
∴ρ2=16,
即ρ=±4.
∴A、B两点的极坐标为:或.
(Ⅱ)由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2(cos2θ﹣sin2θ)=8,
得到普通方程为x2﹣y2=8.
将直线代入x2﹣y2=8,
整理得.
∴|MN|==.
23.已知函数f(x)=|x﹣a|﹣|x+3|,a∈R.
(1)当a=﹣1时,解不等式f(x)≤1;
(2)若x∈[0,3]时,f(x)≤4,求a的取值范围.
【解答】解:(1)当a=﹣1时,不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1;
当x≤﹣3时,不等式转化为﹣(x+1)+(x+3)≤1,不等式解集为空集;
当﹣3<x<﹣1时,不等式转化为﹣(x+1)﹣(x+3)≤1,解之得;
当x≥﹣1时,不等式转化为(x+1)﹣(x+3)≤1,恒成立;
综上所求不等式的解集为.
(2)若x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成立,即|x﹣a|≤x+7,亦即﹣7≤a≤2x+7恒成立,
又因为x∈[0,3],所以﹣7≤a≤7,
所以a的取值范围为[﹣7,7].
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