高考理科数学江苏卷试题与答案word解析版 13页

‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)‎ 数学Ⅰ试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．(2013江苏，1)函数的最小正周期为__________．‎ ‎2．(2013江苏，2)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为__________．‎ ‎3．(2013江苏，3)双曲线的两条渐近线的方程为__________．‎ ‎4．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集．‎ ‎5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n的值是__________．‎ ‎6．(2013江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：‎ 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 ‎87‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎93‎ 乙 ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎92‎ 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为__________．‎ ‎7．(2013江苏，7)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为__________．‎ ‎8．(2013江苏，8)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝__________.‎ ‎9．(2013江苏，9)抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是__________．‎ ‎10．(2013江苏，10)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，，.若(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．‎ ‎11．(2013江苏，11)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为__________．‎ ‎12．(2013江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为(a＞0，b＞0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若，则椭圆C的离心率为__________．‎ ‎13．(2013江苏，13)在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数(x＞0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为__________．‎ ‎14．(2013江苏，14)在正项等比数列{an}中，，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an的最大正整数n的值为__________．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．(2013江苏，15)(本小题满分14分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.‎ ‎(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；‎ ‎(2)设c＝(0,1)，若a－b＝c，求α，β的值．‎ ‎16．(2013江苏，16)(本小题满分14分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．‎ 求证：(1)平面EFG∥平面ABC；‎ ‎(2)BC⊥SA.‎ ‎17．(2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.‎ ‎(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.‎ ‎18．(2013江苏，18)(本小题满分16分)‎ 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.‎ 现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.‎ ‎(1)求索道AB的长；‎ ‎(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ ‎19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项和．记，n∈N*，其中c为实数．‎ ‎(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；‎ ‎(2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.‎ ‎20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝ex－ax，其中a为实数．‎ ‎(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；‎ ‎(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎21．(2013江苏，21)A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)‎ 如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.‎ B．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.‎ C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．‎ D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．‎ ‎(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；‎ ‎(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．‎ ‎23．(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列{an}：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，，…，即当(k∈N*)时，an＝(－1)k－1k.记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)．对于l∈N*，定义集合Pl＝{n|Sn是an的整数倍，n∈N*，且1≤n≤l}．‎ ‎(1)求集合P11中元素的个数；‎ ‎(2)求集合P2 000中元素的个数．‎ ‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)‎ 数学Ⅰ试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．答案：π 解析：函数的最小正周期.‎ ‎2．答案：5‎ 解析：|z|＝|(2－i)2|＝|4－4i＋i2|＝|3－4i|＝＝5.‎ ‎3．答案：‎ 解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为.‎ ‎4．答案：8‎ 解析：由于集合{－1,0,1}有3个元素，故其子集个数为23＝8.‎ ‎5．答案：3‎ 解析：第一次循环后：a←8，n←2；‎ 第二次循环后：a←26，n←3；‎ 由于26＞20，跳出循环，‎ 输出n＝3.‎ ‎6．答案：2‎ 解析：由题中数据可得，.‎ 于是＝[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2，‎ 由，可知乙运动员成绩稳定．故应填2.‎ ‎7．答案：‎ 解析：由题意知m的可能取值为1,2,3，…，7；n的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m，n：若m＝1时，n可取1,2,3，…，9，共9种情况；同理m取2,3，…，7时，n也各有9种情况，故m，n的取值情况共有7×9＝63种．若m，n都取奇数，则m的取值为1,3,5,7，n的取值为1,3,5,7,9，因此满足条件的情形有4×5＝20种．故所求概率为.‎ ‎8．答案：1∶24‎ 解析：由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2，S△ADE∶S△ABC＝1∶4.‎ 因此V1∶V2＝＝1∶24.‎ ‎9．答案：‎ 解析：由题意可知抛物线y＝x2在x＝1处的切线方程为y＝2x－1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：‎ 当直线x＋2y＝0平移到过点A时，x＋2y取得最大值.‎ 当直线x＋2y＝0平移到过点B(0，－1)时，x＋2y取得最小值－2.‎ 因此所求的x＋2y的取值范围为.‎ ‎10．答案：‎ 解析：由题意作图如图．‎ ‎∵在△ABC中，‎ ‎，∴λ1＝，λ2＝.‎ 故λ1＋λ2＝.‎ ‎11．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)‎ 解析：∵函数f(x)为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝∴原不等式等价于或 由此可解得x＞5或－5＜x＜0.‎ 故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．‎ ‎12．答案：‎ 解析：设椭圆C的半焦距为c，由题意可设直线BF的方程为，即bx＋cy－bc＝0.于是可知，.‎ ‎∵，∴，即.‎ ‎∴a2(a2－c2)＝6c4.∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝.‎ ‎∴.‎ ‎13．答案：－1，‎ 解析：设P点的坐标为，则 ‎|PA|2＝.令，则|PA|2＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2(t≥2)．‎ 结合题意可知 ‎(1)当a≤2，t＝2时，|PA|2取得最小值．此时(2－a)2＋a2－2＝8，解得a＝－1，a＝3(舍去)．‎ ‎(2)当a＞2，t＝a时，|PA|2取得最小值．此时a2－2＝8，解得a＝，a＝(舍去)．故满足条件的实数a的所有值为，－1.‎ ‎14．答案：12‎ 解析：设正项等比数列{an}的公比为q，则由，a6＋a7＝a5(q＋q2)＝3可得q＝2，于是an＝2n－6，‎ 则a1＋a2＋…＋an＝.‎ ‎∵，q＝2，‎ ‎∴a6＝1，a1a11＝a2a10＝…＝＝1.‎ ‎∴a1a2…a11＝1.当n取12时，a1＋a2＋…＋a12＝27－＞a1a2…a11a12＝a12＝26成立；当n取13时，a1＋a2＋…＋a13＝28－＜a1a2…a11a12a13＝a12a13＝26·27＝213.当n＞13时，随着n增大a1＋a2＋…＋an将恒小于a1a2…an.因此所求n的最大值为12.‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15． (1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.‎ 又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，‎ 所以2－2a·b＝2，即a·b＝0.‎ 故a⊥b.‎ ‎(2)解：因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以 由此得cos α＝cos(π－β)．由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝，而α＞β，所以，.‎ ‎16．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.‎ 因为EF平面ABC，AB平面ABC，‎ 所以EF∥平面ABC.‎ 同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，‎ 所以平面EFG∥平面ABC.‎ ‎(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC平面SBC，所以AF⊥BC.‎ 又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB平面SAB，所以BC⊥平面SAB.‎ 因为SA平面SAB，所以BC⊥SA.‎ ‎17．解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在.‎ 设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，‎ 由题意，＝1，解得k＝0或，‎ 故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.‎ ‎(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.‎ 设点M(x，y)，因为MA＝2MO，‎ 所以，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．‎ 由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，‎ 即.‎ 由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；‎ 由5a2－12a≤0，得0≤a≤.‎ 所以点C的横坐标a的取值范围为.‎ ‎18．解：(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝.‎ 从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝.‎ 由正弦定理，得＝1 040(m)．‎ 所以索道AB的长为1 040 m.‎ ‎(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t) m，乙距离A处130t m，‎ 所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，‎ 因0≤t≤，即0≤t≤8，故当(min)时，甲、乙两游客距离最短．‎ ‎(3)由正弦定理，得BC＝＝500(m)．‎ 乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.‎ 设乙步行的速度为v m/min，由题意得，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．‎ ‎19．证明：由题设，.‎ ‎(1)由c＝0，得.又因为b1，b2，b4成等比数列，所以＝b1b4，‎ 即，化简得d2－2ad＝0.因为d≠0，所以d＝2a.‎ 因此，对于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.‎ 从而对于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.‎ ‎(2)设数列{bn}的公差是d1，则bn＝b1＋(n－1)d1，即＝b1＋(n－1)d1，n∈N*，代入Sn 的表达式，整理得，对于所有的n∈N*，有＝c(d1－b1)．‎ 令A＝，B＝b1－d1－a＋，D＝c(d1－b1)，则对于所有的n∈N*，有An3＋Bn2＋cd1n＝D.(*)‎ 在(*)式中分别取n＝1,2,3,4，得A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋4cd1，‎ 从而有 由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0.‎ 即＝0，b1－d1－a＋＝0，cd1＝0.‎ 若d1＝0，则由＝0，得d＝0，与题设矛盾，所以d1≠0.‎ 又因为cd1＝0，所以c＝0.‎ ‎20．解：(1)令f′(x)＝＜0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a＞0，进而解得x＞a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)(a－1，＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a．当x＜ln a时，g′(x)＜0；当x＞ln a时，g′(x)＞0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a＞1，即a＞e.‎ 综上，有a∈(e，＋∞)．‎ ‎(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a＞0时，令g′(x)＝ex－a＞0，解得a＜ex，即x＞ln a.‎ 因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即0＜a≤e－1.‎ 结合上述两种情况，有a≤e－1.‎ ‎①当a＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝＞0，得f(x)存在唯一的零点；‎ ‎②当a＜0时，由于f(ea)＝a－aea＝a(1－ea)＜0，f(1)＝－a＞0，且函数f(x)在[ea,1]上的图象不间断，所以f(x)在(ea,1)上存在零点．‎ 另外，当x＞0时，f′(x)＝－a＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．‎ ‎③当0＜a≤e－1时，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝a－1.当0＜x＜a－1时，f′(x)＞0，当x＞a－1时，f′(x)＜0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a－1)＝－ln a－1.‎ 当－ln a－1＝0，即a＝e－1时，f(x)有一个零点x＝e.‎ 当－ln a－1＞0，即0＜a＜e－1时，f(x)有两个零点．‎ 实际上，对于0＜a＜e－1，由于f(e－1)＝－1－ae－1＜0，f(a－1)＞0，且函数f(x)在[e－1，a－1]上的图象不间断，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．‎ 另外，当x∈(0，a－1)时，f′(x)＝－a＞0，故f(x)在(0，a－1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a－1)上只有一个零点．‎ 下面考虑f(x)在(a－1，＋∞)上的情况．先证f(ea－1)＝a(a－2－ea－1)＜0.‎ 为此，我们要证明：当x＞e时，ex＞x2.设h(x)＝ex－x2，则h′(x)＝ex－2x，再设l(x)＝h′(x)＝ex－2x，则l′(x)＝ex－2.‎ 当x＞1时，l′(x)＝ex－2＞e－2＞0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x＞2时，h′(x)＝ex－2x＞h′(2)＝e2－4＞0，‎ 从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x＞e时，‎ h(x)＝ex－x2＞h(e)＝ee－e2＞0.即当x＞e时，ex＞x2.‎ 当0＜a＜e－1，即a－1＞e时，f(ea－1)＝a－1－aea－1＝a(a－2－ea－1)＜0，又f(a－1)＞0，且函数f(x)在[a ‎－1，ea－1]上的图象不间断，所以f(x)在(a－1，ea－1)上存在零点．又当x＞a－1时，f′(x)＝－a＜0，故f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零点．‎ 综合①，②，③，当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1，‎ 当 0＜a＜e－1时，f(x)的零点个数为2.‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎21．证明：连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，‎ 所以∠ADO＝∠ACB＝90°.‎ 又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.‎ 所以.‎ 又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.‎ B．[选修4－2：矩阵与变换]解：设矩阵A的逆矩阵为，则＝，即＝，‎ 故a＝－1，b＝0，c＝0，，从而A的逆矩阵为A－1＝，‎ 所以A－1B＝＝.‎ C．解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.‎ 同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.‎ 联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，.‎ D．证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．‎ 因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，‎ 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．‎ 解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，‎ 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，‎ 所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．‎ 因为cos〈，〉＝‎ ‎＝，‎ 所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.‎ ‎(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.‎ 由|cos θ|＝，得sin θ＝.‎ 因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.‎ ‎23．解：(1)由数列{an}的定义得a1＝1，a2＝－2，a3＝－2，a4＝3，a5＝3，a6＝3，a7＝－4，a8＝－4，a9＝－4，a10＝－4，a11＝5，所以S1＝1，S2＝－1，S3＝－3，S4＝0，S5＝3，S6＝6，S7＝2，S8＝－2，S9＝－6，S10＝－10，S11＝－5，从而S1＝a1，S4＝0×a4，S5＝a5，S6＝2a6，S11＝－a11，所以集合P11中元素的个数为5.‎ ‎(2)先证：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N*)．‎ 事实上，①当i＝1时，Si(2i＋1)＝S3＝－3，－i(2i＋1)＝－3，故原等式成立；‎ ‎②假设i＝m时成立，即Sm(2m＋1)＝－m(2m＋1)，则i＝m＋1时，S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．‎ 综合①②可得Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝Si(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)．‎ 由上可知Si(2i＋1)是2i＋1的倍数，而ai(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1,2，…，2i＋1)，所以Si(2i＋1)＋j＝Si(2i＋1)＋j(2i＋1)是ai(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋1)的倍数．又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是2i＋2的倍数，而a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1,2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋2)的倍数，故当l＝i(2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为i2＋j.‎ 又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.‎